教案：平面向量与解析几何相结合.doc

专题:平面向量与解析几何相结合教学目标:1、知识与技能目标：从整体的高度，了解平面向量与解析几何之间的联系；学会利用向量方法解决解析几何问题。 2、过程与方法目标：培养综合应用知识解决问题的能力。 3、情感、态度与价值观目标：体会形数的统一美，提升学习兴趣，培养辩证唯物主义世界观；通过知识间的相互融合，培养创新意识。教学重点：理解并能灵活运用平面向量的解决圆锥曲线的基本问题。教学难点：平面向量与解析几何的内在联系和知识综合，选择适当的方法解决解析几何的综合问题。教学方法：讲练结合，探究式教学，反思教学。教学过程基础知识梳理:1、向量的概念、向量的加法和减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、平面向量的数量积及其几何意义、平面两点间的距离公式、线段定比分点人坐标公式和向量的平移公式；2、椭圆、双曲线、抛物线的定义及简单几何性质的灵活运用；3、直线与圆锥曲线的位置关系问题（交点、弦长、中点弦与斜率、对称问题）确定参数的取值范围；4。、平面向量作为工具综合处理有关长度、角度、垂直、射影等问题以及圆锥曲线中的典型问题。引入：平面几何与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，解决此类问题基本思路是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算；或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题。例题讲解例1、已知，若过定点、以为法向量的直线与过点、以为法向量的直线相交于动点。（1）求直线和的方程；（2）求直线和的斜率之积的值，并证明必存在两个定点、，使得恒为定值；（3）在（2）的条件下，若是上的两个动点，且，试问当取最小值时，向量与是否平行，并说明理由。解：（1）直线的法向量，的方程：，即为； 直线的法向量，的方程：，即为。（2）。设点的坐标为，由，得。由椭圆的定义知存在两个定点，使得恒为定值4。此时定点为椭圆的两个焦点。（3）设，则，由，得。；当且仅当或时，。此时，所以。例2、已知是轴正方向的单位向量，设=, =,且满足|+|=4。(1) 求点的轨迹C的方程。(2) 如果过点且方向向量为的直线与点的轨迹交于两点，当的面积取到最大值时，求的值。解：(1) =, |=,且|+|=4。点到点(,0)，(-,0)的距离这和为4，故点的轨迹方程为(2)设，依题意直线的方程为代入椭圆方程，得，则+，因此，当时，即时，思考1：已知是轴正方向的单位向量，设=, =,且满足|-|=2。求点的轨迹C的方程。（双曲线）思考2：已知是轴正方向的单位向量，设=, =,且满足=|。求点的轨迹C的方程。（抛物线）思考3：已知是轴正方向的单位向量，设=, =,且满足|+|=4。求点的轨迹C的方程。（圆）思考4：已知是轴正方向的单位向量，设=, =,且满足6。求点的轨迹C的方程。 (圆)例3、已知为抛物线上两点，直线过焦点在准线上的射影分别为，（1）若，求抛物线的方程。（2）是否恒存在一点，使得解：（1）提示：记、设直线方程为代入抛物线方程得（2）设线段中点在在准线上的射影为，则0故存在点即点，使得（实质：以为直径的圆与准线相切）思考1：轴上是否恒存在一点，使得。（以为直径的圆与轴相切）思考2：求证： 思考3：求证：存在实数使得 。（证明三点共线）思考4: 设线段中点在在准线上的射影为，证明：思考5： 已知A、B为抛物线上两点，点坐标为（1）求证：（2）若（）且试求点的轨迹方程。思考6：如图，过抛物线的对称轴上任一点作直线与抛物线交于两点，点是点关于原点的对称点。设点分有向线段所成的比为，证明:；解：依题意，可设直线AB的方程为 代入抛物线方程得 设A、B两点的坐标分别是 、x2是方程的两根。所以 由点P（0，m）分有向线段所成的比为，得又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标是（0，m），从而。 所以 例4、在直角坐标系中，椭圆：的左、右焦点分别为。也是抛物线：的焦点，点为与在第一象限的交点，且。（1）求的方程；（2）平面上的点满足，直线lMN，且与交于两点，若=0，求直线l的方程。解：（1）由：知设，在上，因为，所以，得，在上，且椭圆的半焦距，于是消去并整理得，解得（不合题意，舍去）故椭圆的方程为（2）由知四边形是平行四边形，其中心为坐标原点，因为，所以与的斜率相同，故的斜率设的方程为由消去并化简得设，则，因为，所以所以此时，故所求直线的方程为，或例5、如图，已知点，动点在轴上，点在轴上，其横坐标不小于零，点在直线上，且满足，。（1）当点在轴上移动时，求点的轨迹；（2）过定点作互相垂直的直线与，与（1）中的轨迹交于、两点，与（1）中的轨迹交于、两点，求四边形面积的最小值；（3）将（1）中的曲线推广为椭圆：，并将（2）中的定点取为焦点，求与（2）相类似的问题的解。解：（1）设点坐标为，点的轨迹：（2）由题设，可设直线的方程为，直线的方程为，又设、， 则由，消去，整理得 ， 故，同理， 则，当且仅当时等号成立，因此四边形面积的最小值为。 （3）当时可设直线的方程为，由，得， 故， ， 当且仅当时等号成立。 当时，易知，得，故当且仅当时四边形面积有最小值。 课堂小结以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题主要题型：1三点共线问题；2公共点个数问题；3弦长问题；4中点问题；5定比分点问题；6对称问题；7平行与垂直问题；8角的问题。近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为（1）考查对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。（2）考查把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。特别提醒：D法和韦达定理是解决直线和圆锥曲线位置关系的重要工具。课后巩固1、在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，若点的坐标满足，其中，且，则点的轨迹方程是_。2、已知是轴正方向的单位向量，设=, =,且满足|+|=4。则点的轨迹是。( C )A椭圆B双曲线C线段D射线3、设分别是双曲线的左、右焦点若点在双曲线上，且，则（ B ）ABCD4、设分别是椭圆的左、右焦点。（）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;（）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。解：（）解法一： 易知 ，所以，设，则因为，故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值-2当x=2，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值1解法二：易知，所以，设，则（以下同解法一）（）显然直线不满足题设条件，可设直线，联立，消去，整理得：由得：或又，又，即 故由、得或5、如图，点,，点在轴上运动，点在轴上运动，点为动点，且0，0。（1）求点的轨迹的方程；（2）过点的直线（不与轴垂直）与曲线交于两点，设点，与的夹角为,求证：0。解：（1）（2）证明：设AB的方程为yk（xa），代入y24ax得k2x22a（k22）xk2a20设A（x1 , y1）、B（x2 , y2），则x1x2x1 x2a2 （x1a , y1）, （x2a , y2）（x1a）（x2a）y1 y2 x1x2a ( x1x2)a2() ()a2aa24a20，与的夹角为，与不共线，0，cos0 , 即0。6、已知点，动点满足（1）若动点的轨迹记作曲线，求曲线的方程。（2）已知曲线交轴正半轴于点，过点）作斜率为的直线交曲线于点，求证：无论如何变化，以为直径的圆过点。解：（1）设P(x，y)，则有 得： （2）由 得Q (0，) 设直线C的方程为y=kx-代入x2+2y2=4得 (1+2k2) x2设M(x1，y1) N(x2，y2) 又= 点Q在以MN为直径的圆上。7、在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于两点（1）求证：“如果直线过点，那么3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由解（1）设过点T(3,0)的直线l交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2)。当直线l的钭率不存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于点A(3,)、B(3,)。 =3；当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为，其中，由得 又 ，综上所述，命题“如果直线过点T(3,0)，那么=3”是真命题；(2)逆命题是：设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(