椭圆及其标准方程.doc

【基础知识精讲】 （一） 知识结构图 （二）知识点精讲 1. 椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.这里应特别注意常数应大于|F1F2|. 因为当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和等于|F1F2|时，其动点轨迹就是线段F1F2；当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和小于|F1F2|时，其轨迹不存在.2. 椭圆的标准方程 如图，取过焦点 的直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴,建立直角坐标系.设 为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是 （ ）.则 ，又设P与 距离之和等于 ( )（常数） ， ，化简，得 ，由定义 , ，令 代入，得 ，两边同除 得 ， 此即为椭圆的标准方程.它所表示的椭圆的焦点在 轴上，焦点是 ，中心在坐标原点的椭圆方程. 其中 . 注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程.如果椭圆的焦点在 轴上（选取方式不同，调换 轴）焦点则变成 ,只要将方程 中的 调换，即可得 ，也是椭圆的标准方程.注意：（1）标准方程中的两个参数a和b，确定了椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件；（2）焦点F1、F2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型.（3）任何一个椭圆，只要选择适当的坐标系，其方程均可以写成标准形式，当且仅当椭圆的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才具有标准形式.【应用举例】【例1】写出适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；两个焦点坐标分别是（0，2）和（0,2）且过（ , ） 解：（1）因为椭圆的焦点在 轴上，所以设它的标准方程为 所以所求椭圆标准方程为 因为椭圆的焦点在 轴上，所以设它的标准方程为 由椭圆的定义知， ，又 ， ，所以所求标准方程为 【例2】已知B，C是两个定点，BC6，且 的周长等于16，求顶点A的轨迹方程 解：以BC所在直线为 轴，BC中垂线为 轴建立直角坐标系，设顶点 ，根据已知条件得|AB|+|AC|=10.再根据椭圆定义得 .所以顶点A的轨迹方程为 （ 0）（特别强调检验)因为A为ABC的顶点，故点A不在 轴上，所以方程中要注明 0的条件.【例3】如图，在圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 ， 为垂足当点 在圆上运动时，线段 的中点 的轨迹是什么？分析：点 在圆 上运动，由点 移动引起点 的运动，则称点 是点 的伴随点，因点 为线段 的中点，则点 的坐标可由点 来表示，从而能求点 的轨迹方程解：设 ， ； 为线段 的中点， .又 在圆 上， ， ，即 .所以点M的轨迹是一个圆.【例4】如图，设 ， 的坐标分别为 ， 直线 ， 相交于点 ，且它们的斜率之积为 ，求点 的轨迹方程 分析：若设点 ，则直线 ， 的斜率就可以用含 的式子表示，由于直线 ， 的斜率之积是 ，因此，可以求出 之间的关系式，即得到点 的轨迹方程解：设点 ，则 ， ； 由已知有 ， 化简，得点 的轨迹方程为 通过以上学习你可以自我检查一下，是否完成了本课的学习目标：理解椭圆标准方程的推导，掌握椭圆的标准方程，会根据条件求椭圆的标准方程 .【自我检测】 【同步训练初级】1. 已知F1，F2是椭圆 的两个焦点，若AB是过焦点F1的弦，则ABF2的周长等于【 】A. 2a B. 2b C. 4a D. 4b 2. 、 的两个焦点，点P是该椭圆上的一点，若线段PF1的中点在y轴上，则|PF1|：|PF2|等于【 】A. 7 B. 5 C. 4 D. 33. 已知椭圆C的长轴长为2a, 短轴长为2b, 焦距为2c, 则a、b、c满足关系式【 】A. B. C. D. b+c=a4. 已知AB为经过椭圆 的中心的弦，F(c, 0)为椭圆的右焦点，则AFB的面积的最大值为【 】A. b2 B. ab C. ac D. bc5. 设P是椭圆 上的一点，F1、F2是椭圆的两个焦点. 若PF1PF2, 则|PF1|与|PF2|之差的绝对值为【 】A. B.10 C. D. 【同步训练高级】6. 已知方程 是焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是_.7. 椭圆的两个焦点F1，F2都在y轴上, 且它们到原点的距离都是2，CD是过F2的弦，且CDF1的周长为12，则椭圆的方程为_.8. 过点P(3, 0)，且长轴长是短轴长的三倍的椭圆的标准方程是_.9. 以直线3x + 4y12 = 0和两坐标轴的交点分别作为一个顶点和一个焦点的椭圆的标准方程是_.10椭圆 的焦点分别是F1和F2，过中心O作直线与椭圆交于A，B，若