空间向量与立体几何--新教材_新理念_新设计(选修2-1).doc

第三章 空间向量与立体几何31 空间向量及其运算311 空间向量的线性运算一、学习目标经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解平面向量和空间向量的本质和向量运算性质二、知识梳理(一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1化简 ( )ABCD2已知向量，则下列等式中错误的是( )ABCD3在空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则等于( )ABCD4在正方体ABCDA1B1C1D1中，以其顶点为始点和终点的向量中与共线的有_个( )A0B1C2D3(二)填空题5在空间四边形ABCD中，_6设则_.7棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1，以正方体AC1的顶点为始点和终点的向量中，模长等于的向量有_个，模长等于的向量有_个8(1)，其中运算结果等于的是_(填序号)9_.(三)解答题10如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设，E、F分别是AD1，BD中点(1)用向量表示；(2)化简：11已知，用向量表示向量12如图所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1，点E、F分别是上底面A1C1和侧面CD1的中心，求下列各题中x、y的值(1）；(2）(3)三、自我评价完成时间成功率札记312 空间向量的基本定理(1)一、学习目标了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的共线条件，空间向量的共面条件二、知识梳理(一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1下列命题中正确的是( )A若与共线，与共线，则与共线B向量共面即它们所在的直线共面C相反向量共线D若，则存在唯一的实数l，使2下列各组向量不平行的是( )A(1，0，0)，(3，0，0)B(0，1，0)，(1，0，1)C(0，1，1)，(0，1，1)D(1，0，0)，(0，0，0)3如果共面也共面，则下列说法正确的是( )A若与不共线，则共面B若与共线，则共面C当且仅当时共面D若与不共线，则不共面4、是两个非零向量，M是一个平面，下列所给命题中，正确的是( )A、是共面向量，则/B成立的充要条件是、是共面向量C设、所在的直线分别为l1，l2(l1，l2不重合)，若l1M，l2M，/，则l1l2D设、所在的直线分别为l1，l2，若l1M，l2M，、共面，则l1与l2平行或异面(二)填空题5若与不平行，则x_，y_6非零向量不共线，若与共线，则k_7对于不共面的三个向量，若，则_，y_，z_8已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外任一点O，有，则A、B、C、M_(共面、不共面)9空间四边形OABC中，点M在OA上，且OM2MA，N为BC的中点，则_(用表示)(三)解答题10已知，若不共面，求实数x，y的值11如图，已知长方体AC1中，M为DD1的中点，N在AC上，且ANNC21，E为BM的中点，求证：A1，E，N三点共线12已知非零向量不共线，如果，求证：A、B、C、D共面三、自我评价完成时间成功率札记312 空间向量的基本定理(2)一、学习目标掌握空间向量分解定理，学会确定空间向量的一个基底，并能用空间向量的一个基底表示空间中的任意一个向量二、知识梳理(一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1空间四边形ABCD中，则( )AB.CD2若是空间的一个基底，向量，那么可以与构成空间另一个基底的向量是( )ABCD3平行六面体OABCOABC中，设G为BC的中点，用，表示向量，则( )ABCD4已知平行六面体ABCDA1B1C1D1，若则xyz( )A1BCD(二)填空题5已知空间四边形OABC，点M、N分别是OA、BC的中点，且，用表示向量_.6如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1中，点M为CC1的中点，若则x_，y_，z_.7在空间平移ABC到A1B1C1，ABC与A1B1C1不在同一平面内，连接对应顶点，设M是BC1的中点，N是B1C1的中点，用基底表示向量_.8已知是空间的一个基底，从以下向量，中选出三个向量，使它们构成空间的基底，请你写出这个空间中的三组基底_9已知O、A、B、C为空间不共面的四点，且向量向量中能与构成空间基向量的是_(三)解答题10如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，试用基底表示11如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，设，M是A1B的中点，点N在CM上，且CNCM14，试用基底表示.12如图，空间四边形OABC中，G、H分别是ABC、OBC的重心，D为BC的中点，设，试用向量表示向量和.三、自我评价完成时间成功率札记313 空间向量的数量积一、学习目标掌握空间向量的夹角、空间向量相互垂直、异面直线、异面直线所成的角、数量积等概念，能运用空间向量的数量积判断空间向量的共线与垂直二、知识梳理(一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1若，且，则与的夹角为( )A30B60C120D1502已知，则( )A22B48CD323在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA13则( )( )A1B3C0D34设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，则BCD是( )A钝角三角形B锐角三角形C直角三角形D不确定(二)填空题5已知，则与的夹角为_6已知空间四边形ABCD，则_.7已知直线a、b是异面直线，A，Ba，C，Db，ACb，BDb，且AB2，CD1，则直线a与b所成的角是_8已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角是60，则对角线AC1的长是_9下列命题中：(1)则0或0；(2) ；(4)若与均不为，则它们必垂直其中真命题的序号是_(三)解答题10如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求OA与BC夹角的余弦值11如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，求下列向量的数量积(1)；(2)；(3)；(4)12如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b，A1ABA1AD120(1)求AC1的长；(2)证明：AC1BD；(3)求直线BD1与AC所成角的余弦值三、自我评价完成时间成功率札记314 空间向量的直角坐标运算(1)一、学习目标掌握空间向量的正交分解及其空间坐标表示，掌握空间向量的坐标运算，掌握共线的空间向量的坐标表示、垂直的空间向量的坐标运算二、知识梳理(一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1已知(1，2，1)，(1，2，1)，则( )A(2，4，2)B(2，0，0)C(2，0，2)D(2，4，2)2(1，5，2)，()，若，则x( )A0BC6D63设()，()，若，则m，n的值分别为( )A，8B，8C，8D，84下列各组向量是共面向量的是( )ABCD(二)填空题5设向量，若，则t_6已知P1(1，2，3)，P2(2，1，3)，P3(3，2，1)，设，若k与垂直，则k_7已知为单位正交基，且，则向量与向量的坐标分别是_8已知A(4，1，3)、B(2，5，1)，C为线段AB上一点，满足，则点C的坐标为_9如图，单位正方体ABCDA1B1C1D1，则点E的坐标是_，点E的位置在_(三)解答题10(1)已知，求;(2)已知A(1，2，3)，B(1，1，1)求的坐标11若(1，5，1)，(2，3，5)，(1)若(k)/(3)求k；(2)若(k)(3)，求k12如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是DD1、BD的中点，建立适当的空间直角坐标系，证明：EFB1C三、自我评价完成时间成功率札记314 空间向量的直角坐标运算(2)一、学习目标掌握空间向量数量积的坐标运算法则，掌握空间向量的模、夹角等数量的计算二、知识梳理选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1已知向量(0，2，1)，(1，1，2)，则与的夹角为( )A0B45C90D1802设A(3，3，1)、B(1，0，5)、C(0，1，0)，则AB的中点M到点C的距离( )ABCD3已知(2，1，3)，(4，2，)，若与夹角是钝角，则x取值范围是( )A且x6B(，2)CD4已知(1，2，3)，(2，1，2)，(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为( )ABCD(二)填空题5设点A(2，1，3)是点P关于坐标平面yoz的对称点，则的坐标是_6已知(2，3，0)，若与成120的角，则k_7已知向量(4，2，4)，(6，3，2)，则在方向上的投影是_8已知2(0，5，10)，(1，2，2)，4，12，则_.9已知A(x，5x，2x1)，B(1，x2，2x)，当取最小值时，x的值等于_(三)解答题10如图，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，BC1，PA2，求直线AC与PB所成角的余弦值11如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱与底面垂直，CACB1，BCA90，棱AA12，M、N分别是A1B1，A1A的中点(1)求的长；(2)求的值；(3)求证：A1BC1M12已知空间几何体PABCD的底面ABCD是一个直角梯形，其中BAD90，ADBC，ABBCa，AD2a，且PA底面ABCD，PD与底面成30角(1)若，求该几何体的体积；(2)若AE垂直PD于E，证明：BEPD；(3)在条件(2)之下，PB上是否存在点F，使得EFBD，若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由三、自我评价完成时间成功率札记32 空间向量在立体几何中的应用321 直线的方向向量与直线的向量方程一、学习目标理解直线的方向向量，掌握直线的参数方程，掌握利用向量的方法证明直线与直线平行、垂直，证明直线与平面平行，证明平面与平面平行，求解直线与直线所成的角二、知识梳理(一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1已知点A(2，4，0)，B(1，3，3)，在直线上有一点Q，满足AQQB12，则Q点坐标为( )ABCD(1，0，1)2已知直线的向量参数方程为(x，y，z)(5，0，3)t(0，3，0)，当时，则对应直线上的点的坐标是( )A(5，0，3)BCD3若直线l1，l2的方向向量分别为，则l1，l2的位置关系是( )A垂直B重合C平行D平行或重合4已知，且均在平面a 内，直线l的方向向量，则( )Ala Bl与a 相交Cla Dla 或la (二)填空题5在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1和平面AC的位置关系是_，与平面A1C1的位置关系是_.6在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A、E、C的平面的位置关系是_.7如图所示，ABCD为直角梯形，ABC90，ABBCaAD2a，E是AD的中点，PA平面ABCD，PAa，则PC和BE是否垂直_ (填“是”或“否”)8如图所示，已知正四棱锥SABCD侧棱长为，底面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成角的大小为_9已知正方体ABCDA1B1C1D1中，点P为线段DD1上任意一点，则在正方体的所有棱中与平面ABP平行的共有_条.(三)解答题10如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，P分别是BC，A1D1的中点，M，N分别是AE，CD1的中点，ADAA1a，AB2a求证：MN面ADD1A111如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，点D是AB的中点()求证：ACBC1；()求证：AC1平面CDB112在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：平面AB1D1平面BDC1三、自我评价完成时间成功率札记322 平面的法向量与平面的向量表示(1)一、学习目标理解平面法向量的概念、平面的向量表示的概念，会求平面的法向量二、知识梳理(一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1已知平面a 的一个法向量，又且在a 内，则( )ABCD2下列命题中正确的是( )A若是平面ABC的一个法向量，则和平面ABC内任意一条直线的方向向量垂直B若和平面ABC内两条直线的方向向量垂直，则是平面ABC的法向量C若既是平面a 的法向量，又是平面b 的法向量，则a b D若a b ，则它们所有共同的法向量在一条直线上3如图所示，ABCD为矩形，PA平面ABCD，PAAD，M、N分别是PC、AB中点，则MN与平面PCD所成角的大小为( )A30B45C60D904在正方体ABCDA1B1C1D1中，下面结论错误的是( )ABD平面CB1D1BAC1BDCAC1平面CB1D1D异面直线AD与CB1所成的角为60(二)填空题5已知，则平面ABC的一个法向量为_6已知空间一点A(1，2，1)，空间一点M(x，y，z)满足，则x，y，z之间的关系是_7已知向量(1，7，8)，(0，14，16)，(0，)，若平面OAB，则_8直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，BAC30，BC1，AA1，M是AA1的中点，则_(是，不是)平面AB1C1的一个法向量9下列命题中：(1)平面可以用平面内两条平行直线的方向向量表示；(2)平面的法向量不一定在一条直线上；(3)平面的所有法向量都是共线向量；(4)若两个平面垂直，则它们的法向量也垂直其中正确命题的序号是_(三)解答题10已知(2，2，1)，(4，5，3)求平面ABC的单位法向量11如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：平面A1BD平面CD1B112如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M为BC的中点，N为AB的中点，P为BB1的中点()求证：BD1B1C；()求证：BD1平面MNP三、自我评价完成时间成功率札记322 平面的法向量与平面的向量表示(2)一、学习目标掌握点、线在平面内的射影概念、平面斜线的概念，能运用向量证明三垂线定理及其逆定理，并能运用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直、线面垂直二、知识梳理(一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1下列命题中，正确的命题有( )(1)平面的每条斜线都垂直于这个平面内无数条直线；(2)若一条直线垂直于平面的斜线，则此直线必垂直斜线在此平面内的射影；(3)若平面的两条斜线段相等，则它们在同一平面内的射影也相等；(4)若一条线段在平面外且不垂直于这个平面，则它的射影长一定小于线段的长A1个B2个C3个D4个2P是边长为a的正六边形ABCDEF所在平面外一点，PAAB，PAAF，为求P与CD间距离，作PQCD于Q，则( )AQ为CD的中点BQ与D重合CQ与C重合D以上都不对3直角三角形ABC的斜边BC在平面a 内，顶点A在平面a 外，则三角形ABC的两条直角边在平面a 内的射影与斜边组成的图形只能是( )A一条线段B一个锐角三角形C一个钝角三角形D一条线段或一个钝角三角形4在正方体ABCDA1B1C1D1中，过8个顶点中的任意3个可以作平面，其中与某一对角线垂直的平面我们称其为“有效垂面”，则这样的“有效垂面”一共有( )A4个B6个C8个D10个(二)填空题5从平面a 外一点A向平面a 引斜线AB、AC，斜足为B、C，ABAC，且AB2，直线AB与平面a 成30角，则线段AC长的取值范围是_6PO平面ABC，O为垂足，ACB90，BAC30，BC5，PAPBPC10，则PO的长等于_7P为ABC所在平面外一点，则在ABC，PAB，PBC，PCA中，直角三角形最多可能有_个8如图，E、F分别是正方体的ADD1A1面、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体面上的射影可能是下图中的_(要求：把可能的图的序号都填上)9已知平面a 的一条斜线l1和另一条直线l2在平面a 内的射影分别为图形F1F2，给出下列关于F1，F2的形状描述：(1)为两条相交直线；(2)为两条平行直线；(3)依次为一个点和一条直线；(4)依次为一条直线和一个点；(5)为两个点；(6)为一个点；(7)为一条直线则其中可能正确的描述有_(填上所有可能正确的描述序号)(三)解答题10如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1A，AB上的点，若NMC190，求证：MB1MN11如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，ABBC2，BB11，E为BB1的中点，求证：平面AEC1平面AA1C1C12如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都相等，E是AB1的中点，点F在BC上，满足BFFC13，求证：EFBC三、自我评价完成时间成功率札记323 直线与平面的夹角一、学习目标掌握直线与平面所成的角的概念和公式，会利用向量求解线面角的大小二、知识梳理(一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1若斜线段AB是它在平面a 内的射影长的2倍，则AB与a 所成的角为( )A60B45C30D1202矩形ABCD中，AB1，PA平面ABCD，PA1，则PC与平面ABCD所成的角是( )A30B45C60D903已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC4，CC12，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值等于( )ABCD4PA、PB、PC是从P点引出的三条射线，每两条的夹角为60，则直线PC与平面APB所成角的余弦值为( )ABCD(二)填空题5直角三角形ABC的斜边AB在平面a 内，AC和BC与a 所成的角分别为30，45，CD是AB边上的高，CD与a 所成的角为_*6自平面a 外一点P，向平面a 引垂线段PO及两条斜线段PA、PB它们在平面a 内的射影长分别为2cm 和12cm ，且这两条斜线与平面a 所成的角相差45，则垂线段PO的长为_7如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是_8如图所示，BOC在平面a 内，OA是平面a 的一条斜线，若AOBAOC60，OAOBOCa，BCa，则OA与平面a 所成的角是_9如图所示，三棱锥PABC中侧面PAC与底面ABC垂直PAACPC3ABBC，则AC与平面PBC所成角的余弦值为_.(三)解答题10四面体SABC中，SA、SB、SC两两垂直，SBA45，SBC60，(1)求BC与平面SAB所成的角；(2)SC与平面ABC所成角的正弦值11在如图所示的几何体中，EA平面ABC，DB平面ABC，ACBC，ACBCBD2AE，M是AB的中点，求CM与平面CDE所成的角*12四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，SO底面ABCD，O在CB上已知ABC45，AB2，BC，SASB，求直线SD与平面SAB所成角的正弦值三、自我评价完成时间成功率札记324 二面角及其度量一、学习目标掌握二面角的概念，会利用向量和平面的法向量求解二面角的大小二、知识梳理(一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1已知二面角a lb 的大小为，直线aa ，a与b 所成的角为q ，则( )Aq Bq C当90时，q ；当90时，q D与q 的大小关系不确2自二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是( )A相等B互补C相等或互补D既不相等也不互补3如图所示，PAPBPC，且它们所成的角均为60，则二面角BPAC的余弦值是( )ABCD4在正三角形ABC中，ADBC于D，沿AD折成二面角BADC后，这时二面角BADC的大小为( )A60B45C90D120(二)填空题5ABC的边BC在平面a 内，A在a 内的射影是A1，设ABC的面积为S，它和平面a 交成的一个二面角的大小为q (q 锐角)，则A1BC的面积是_6若P是ABC所在平面外一点，而PBC和ABC都是边长为2的正三角形，PA，则二面角PBCA的大小是_7已知二面角a ABb 是直二面角，P是棱AB上一点，PE、PF分别在面a ，b 内，EPBFPB45，那么EPF的大小是_8给出下列四个命题：(1)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直；(2)过平面外一定直线有且只有一个平面与已知平面垂直；(3)垂直于同一平面的两个平面可能相互平行，也可能相互垂直；(4)如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面那么这两个二面角的平面角相等或互补其中正确的命题的序号是_9已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，PA3，AB2，则二面角PBDA的正切值为_(三)解答题10在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA11，ADDC，在线段A1C1上有一点Q，且，求平面QDC与平面A1DC所成锐二面角的大小11如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中ADBC，ABC90，PA平面ABC，PA4，AD2，AB，BC6，求二面角APCD的余弦值*12如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E在棱AB上移动AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为三、自我评价完成时间成功率札记325 距离(1)一、学习目标了解距离的概念，会利用向量求点到点的距离、点到线的距离、点到面的距离二、知识梳理(一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1已知平面a 平面b ，到a 的距离与到b 的距离之比为21的点的集合是( )A1个平面B2个平面C3个平面D4个平面2正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，E是CC1的中点，则E到A1B的距离是( )ABCD3二面角a lb 等于120，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面a 、b 内，ACl，BDl，且ABACBD1，则CD的长等于( )ABC2D4已知ABCA1B1C1是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点则点C1到平面AB1D的距离( )ABCD(二)填空题5A、B是直线l上的两点，AB4，ACl于A，BDl于B，ACBD3，又AC与BD成60的角，则C、D两点间的距离是_6与空间四边形ABCD四个顶点的距离相等的平面共有_个7已知平面a 和平面b 交于直线l，P是空间一点，PAa ，垂足为A，PBb ，垂足B，且PA1，PB2，若点A在b 内的射影与点B在a 内的射影重合，则点P到l的距离为_8在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是A1B1、CD的中点，则点B到截面AEC1F的距离为_9已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，点A1到平面DBEF的距离为_(三)解答题10在平行四边形ABCD中，ABAC1，ACD90，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，求B、D间的距离11设A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(5，4，8)，求D到平面ABC的距离*12如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB4，BC2，CC13，BE1()求BF的长；()求点C到平面AEC1F的距离三、自我评价完成时间成功率札记325 距离(2)一、学习目标会利用向量求线到线的距离、线到面的距离、面到面的距离二、知识梳理(一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1已知直线l及平面a ，且l不在平面a 内，如果直线l上有两个点到平面a 的距离相等，则l与平面a 的位置关系是( )A平行B相交C平行或相交D垂直2已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则棱A1B1所在直线与对角线BC1所在直线的距离为ABa CD3平面a 上有不共线的三点到平面b 的距离相等，则平面a 与平面b 的位置关系是( )A相交B垂直C平行或相交D平行4在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，平面AB1C与平面A1 C1D间的距离是( )ABCD(二)填空题5棱长为a的正四面体ABCD相对两条棱之间的距离是_6二面角a MNb 为60，平面a 内一点A到平面b 的距离AB4(B在b 内)，则点B到平面a 的距离等于_7已知平面a b g ，自上而下a 、b 的距离为3cm，a 、g 的距离为7cm，直线l交a 、b 、g 依次为A、B、C，AC14cm，则AB_8已知梯形ABCD，ABCD，且AB3CD，AB平面a ，梯形对角线AC、BD交于点O，O到平面a 的距离是5，直线CD到平面a 的距离是_9已知平面a 平面b ，Aa ，Bb ，AB6，AB在平面b 内的投影为3，则两平面间的距离为_(三)解答题10已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，设M、N、E、F分别是A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，求平面AMN与平面EFBD的距离11如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，E是AB上一点，PEEC已知PD，CD2，AE，求异面直线PD与EC的距离*12如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，AB，BC1，PA2，E为PD的中点()求直线AC与PB所成角的余弦值；()在侧面PAB内找一点N，使NE面PAC，并求出点N到AB和AP的距离三、自我评价完成时间成功率札记单元达标一、选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1已知平行四边形ABCD中，A(4，1，3)、B(2，5，1)、C(3，7，5)，则顶点D的坐标为( )AB(2，3，1)C(3，1，5)D(5，13，3)2若(0，1，1)，(1，1，0)且，则实数的值是( )A1B0C2D13在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是( )ABCD4在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是( )ABCD5若两个二面角的面分别垂直且它们的棱互相平行，则它们的角度之间的关系为( )A相等B互补C相等或互补D无法确定二、填空题6已知，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是7已知点A(2，1，4)与点P(x，y，z)的距离为5，则x、y、z满足的关系式为_8在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列给出四个命题：(1)；(3)的夹角为60；(4)四边形ABB1D1的面积为则错误命题的序号是_(填出所有错误命题的序号)9若异面直线a，b所成角为60，AB是公垂线，E，F分别是异面直线a，b上到A，B距离为2，1的两点，当EF3时，线段AB的长为_三、解答题10如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，ABCD，AB2DC2，E为BD1的中点，F为AB的中点，DAB60(1)求证：EF平面ADD1A1；(2)若，求A1F与平面DEF所成角的正弦值11如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点(1)求证：AB1平面A1BD；(2)求二面角AA1DB的余弦值；(3)求点C1到平面A1BD的距离*12如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形且C1CBC1CDBCD60(1)证明：C1CBD；(2)假定CD2，CC1，求二面角C1BDC的平面角的余弦值；(3)当的值为多少时，A1C平面C1BD?请给出证明参考答案第三章 空间向量与立体几何31 空间向量及其运算311 空间向量的线性运算1C 2C 3C 4D 5. 6 724；8 8(1)(2)(3)(4)9 1011. 12x1；xy；xy312 空间向量的基本定理(1)1C 2B 3A 4C 50，0 61 70，0，0 8共面 910解：，存在一实数l，使得x13l，82l，2y4lx13，y811证明：设则A1、E、N三点共线12解：令则即不共线，A、B、C、D共面312 空间向量的基本定理(2)1C 2C 3C 4B 5 6 78 9或 1011解：M是A1B的中点，N在CM上，且CNCM1412解：又D为BC的中点，而313 空间向量的数量积1C 2A 3D 4B 5 60 760 8 9(4)10解：OA与BC夹角的余弦值11解：(1)；(2)；(3)；(4）12解：(1) 2abcos120(2)，即AC1BD(3)，0a2abcos120a2abcos120ab，又异面直线所成角的范围为(0，90，直线BD1与AC所成角的余弦值为314 空间向量的直角坐标运算(1)1B 2B 3A 4A 511 6 7(1，2，1)、(5，7，7)8，提示：设C(x，y，z)，应用向量相等的条件得结果9，BD的中点10解：(1)，(5，3，7)，(16，8，24)，20；(2)11解：(1)(1，5，1)，(2，3，5)(1)(2)，(k2)7(5k3)(4)(k5)(16)0，12证明：如图，建立以D为原点的空间直角坐标系Dxyz，由已知得、C(0，1，0)、B1(1，1，1)，(1，0，1)，即314 空间向量的直角坐标运算(2)1C 2C 3A 4C提示：设出Q点的坐标，对数量积的结果配方即可5(2，1，3) 6 78120提示：,所以再利用夹角公式算得其余弦值为9提示：(1x，2x3，33x)，10、如图建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(，0，0)，C(，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)(,1,0)，(，0，2)AC与PB所成角的余弦值为11、如图，以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz(1)由题得B(0，1，0)，N(1，0，1)(2)由题得A1(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)B1(0，1，2)(3)由题得C1(0，0，2)，M，12、如图，建立空间直角坐标系，则各点的坐标为：A(0，0，0)，B(a，0，0)，C(a，a，0)，D(0，2a，0)，P(0，0，)(1)(0，a，0)，此时(2)由三角函数知识可得0BEPD(3)由EFBD，E点的竖坐标为，F点的竖坐标为设F(x，0，)，由，得x存在32 空间向量在立体几何中的应用321 直线的方向向量与直线的向量方程1B 2C 3D 4B 5平行；在平面内 6平行 7是 860 92、3或4，提示：建立空间直角坐标系分析，当点P位于线段DD1内部时，有3条，分别是A1B1、C1D1、CD；当点P位于点D时，有4条，分别是A1B1、C1B1、C1D1、A1D1；当点P位于D1点时，有2条，分别是A1B1，CD；10以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立直角坐标系，则A(a，0，0)，B(a，2a，0)，C(0，2a ，0)，A1(a，0，a)，D1(0，0，a)E，P，M，N分别是BC，A1D1，AE，CD1的中点，则又MN平面ADD1A1，MN平面ADD1A111直三棱柱ABCA1B1C1底面三边长AC3，BC4，AB5，AC、BC、C1 C两两垂直，如图，以C为坐标原点，直线CA、CB、CC1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，B1(0，4，4)，(1)，(2)设CB1与C1B的交点为E，则E(0，2，2)，(3，0，4)，DE/AC1AC1平面DB1C，DE平面DB1C，AC1平面DB1C12证明：如图建立直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，B1(1，1，1)，C1(0，1，1)则由图知AD1与AB1，DC1与BC1分别相交，且AD1，AB1在平面AD1B1内，DC1，BC1在平面BDC1内不难得出：，所以AD1平面BDC1，AB1平面BDC1所以平面AB1D1平面BDC1322 平面的法向量与平面的向量表示(1)1C 2A 3D 4D 5(2，3，1) 610 7 8是9(2)(3)(4) 10解：设面ABC的法向量(x，y，1)，则且，即，且，即即，单位法向量为或11证明：以D为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系，设棱长为1，则A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B(1，1，0)(1，0，1)，(0，1，1)，(1，1，0)，(0，1，1)设平面A1BD的法向量为则令z1，得x1，y1平面A1BD的一个法向量为(1，1，1)设平面CD1B1的一个法向量为则令z1，得x1，y1(1，1，1).平面A1BD平面CD1B112证明：()如图建立空间直角坐标系则B(2，2，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，D1(0，0，2)(2，2，2)，(2，0，2)，4040()M(1，2，0)，P(2，2，1)，N(2，1，0)，(1，0，1)，(1，1，0)，2020，2200，又MNPMM，BD1平面MNP322平面的法向量与平面的向量表示(2)1A 2C 3D 4C 5 6 74 8(2)(3)提示：四边形BFD1E在正方体上、下、前、后四个面的射影均为(2)，在左右两个面上的射影为(3) 9(1)(2)(4)(7)10解：C1B1平面ABB1A1，MB1是斜线C1M在平面ABB1A1上的射影NMC190， C1MMNMB1MN11证明：由题建立如图的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，E(0，0，)则设平面AA1C1C的一个法向量为则令x1，得y1设平面AEC1的一个法向量为则令z4，得x1，y1平面