辐射场的量子化哈密顿正则法.pdf

2004 年 2 月 第 1期 浙 江 教 育 学 院 学 报 JOURNAL OF ZHEJIANG EDUCATION INSTITUTE January 2004 No11 收稿日期 2003 10 30 作者简介 包良桦 1962 男 浙江宁波人 浙江教育学院物理系讲师 理学硕士 辐射场的量子化哈密顿正则法 包良桦 浙江教育学院 理学分院 浙江 杭州 310012 摘 要 对光学问题进行全量子化处理 必须对辐射场进行量子化 文章用矢势 和哈密顿正则方程的方法 将辐射场量子化 关键词 矢势 哈密顿方程 量子化 中图分类号 O43112 文献标识码 A 文章编号 1671 6574 2004 01 0061 04 在研究激光物理 共振荧光等物理现象时 往往涉及研究原子与光场的相互作用 在讨论 原子与光场的相互作用时 对原子的描写采用量子化算符 对辐射场采用经典电动力学描述 这样不能全面反映光场的波粒二象性 为了揭示光场的波粒二象性 充分反映光场与物质相互 作用系统的量子特征 必须将辐射场量子化 辐射场量子化一般采用仿谐振子量子化 即将电 磁场放在一个谐振腔内 形成驻波 每一个驻波可认为一个振子 再用量子力学将其量子化 本 文主要用矢势和分析力学中的哈密顿正则方程 1 的方法 将辐射场量子化 这种方法虽然步骤 比较多 但方法严谨 物理意义明确 1 电磁场的经典描述 真空中的电磁场也称自由电磁场 它的麦克斯韦方程是 E 0 1 1 B 0 1 2 E 5 B 5t 1 3 B 1 c2 5 E 5t 1 4 引入矢势 A 进行规范不变性 消除任意性 取 A 0 E 5 A 5t 1 5 B A 1 6 由 1 5 1 6 代入 1 4 得到关于矢势 A 的波动方程 即 A c2 2 A 0 1 7 假定电磁场限定在边长为 L 的立方体腔体内 体积为 V 在立方体的腔壁上满足周期性 边界条件 用分离变量法 令 A r t T t A r 1 8 得 2 A r k 2 A r 0 1 9 T t X2T t 0 1 10 其中 k 是一个常数 k X c 1 11 解方程求得矢势 A r t 1 V E k Tk t Ak r T k t A k r 1 12 k 2P L exnx eyny eznz nx ny nz 0 1 2 1 13 Tk t Tk 0 e iXkt 1 14 Ak r ekexp i k r 1 15 由 1112 1114 1115 115 116 得 电场强度 E r t i 1 V E k Tk t Ak r T k t A k r Xk 1 16 磁感应强度 B r t i 1 V E k k ekTk t exp i k r k ekT k t exp i k r 1 17 真空中电磁场的能量密度 2 为 w E0 2 E2 1 2L0B 2 1 18 利用矢势 A 的正交完备性 Q dS A k Akc Dkkc 1 19 可以求出 V 内电磁场的总能量为 W E0 E k X2kTk t T k t T k t Tk t 1 20 2 用哈密顿正则法 将电磁场量子化 由上面讨论可以得到 电磁场的哈密顿量 用矢势 A 的时间分量可以表示如下 H E0E k X 2 k Tk t T k t T k t Tk t 2 1 由哈密顿正则方程 q 5H 5p 2 2 p 5H 5q 2 3 因为Tk t T k t 不是实函数 不满足哈密顿正则方程 所以要进行变量变换 令 qk Tk T k 2 4 pk Tk T k iXk Tk T k 2 5 它的逆变换为Tk 1 2 qk i Xkpk 2 6 62浙江教育学院学报 2004 年 T k 1 2 qk i Xkpk 2 7 将 2 6 2 7 代入 2 1 得电磁场的哈密顿量 H E0 2 E k p2k X2kq2k 2 8 可以看出 上式是频率为 X 质量为 1 的无穷多个谐振子的经典能量 pk和 qk分别为广义动量 和广义坐标 可以证明它们的对易关系 qk pk i Dkk c 2 9 再引入算符 ak t a k t 令 ak XkE0 2 qk i Xkpk 2 10 a k XkE0 2 qk i Xkpk 2 11 由 2 8 2 11 得电磁场哈密顿算符即辐射场的哈密顿算符 H E k Xk a kak 1 2 可以证明其中 ak t a k t 即为湮灭算符和产生算符 由 2 8 2 10 可以证明它的对易关 系 ak a k c Dkk c 2 12 令粒子数算符nk a kak 2 13 辐射场就被量子化了 它的哈密顿算符 3 H E k Xk nk 1 2 nk 0 1 2 2 14 例如一电磁波 它的光子能量为En 它的能量本征态为 n4 则它的能量本征方程为 H n4 E k Xk nk 1 2 n4 E En n4 2 15 若电磁波为单模 则方程为H n4 X n 1 2 n4 En n4 2 16 由上式可以得En 1 En X 2 17 及H 04 1 2 X 04 E0 04 2 18 即可求得光子的基态能量 也叫零点能 为 E0 1 2 X 以及各态能量 En n 1 2 X n 0 1 2 若电磁波为多模 同理只要对不同的波长求和即可 参考文献 1 周衍柏 理论力学教程 M 北京 人民教育出版社 1979 295 298 2 刘克哲 物理学 M 北京 高等教育出版社 1999 434 437 3 杨伯君 量子光学基础 M 北京 北京邮电大学出版社 1996 70 72 63第 1期 包良桦 辐射场的量子化哈密顿正则法 Quantization Method of the Radiation Field the Hamiltonian Equation BAO Liang Hua Science School Zhejiang Education Institute Hangzhou 310012 China Abstract In order to deal with the optics problem the quantization of the radiation field must be carried out With the methods of the vector potential and Hamiltonian equation the field of radiation has been quantized Key words vector potential Hamiltonian equation quantization 上接第 38页 Construction and Perfection of Library Knowledge Management System in Knowledge Economic Period WANG Wen yan Linhai Institute Zhejing Radio secondly knowledge type assistants based on qualified person nel resourcesmanagement be trained thirdly t