经典高考数学试题.doc

数学例题例1. 设是两个实数，集合，集合，集合是平面内点的集合,讨论是否存在 使得（1），（2）两个条件同时成立.【解】 为直线在时点的集合，为抛物线在时点的集合。，即存在及整数使成立，其几何意义是点在直线上，又的几何意义是点在圆内或边界上，因此要使(1),(2)同时成立，即要求点既在直线上又在圆的内部或边界上，所以，圆心到直线的距离，即，这与为整数矛盾，因此这样的实数不存在.例2. 设，求证：.【解】 不妨构造一个等腰直角三角形， ，在上取一点，记，则，利用，可得，在时等号成立.例3. 在中，已知，且，求.【解】 在中，在上取一点使，则，设，则有，在中，所以，例4. 已知，求证：为定值.【解】 构造三点，则由重心坐标公式可得的重心坐标为，即的重心坐标为.又在圆心为原点的单位圆上，所以的重心与外心重合，故是正三角形.不妨设的顺序是逆时针方向，则，于是例5. 已知，求证：【解】 设椭圆，则在椭圆上，又也满足椭圆的方程，可知也在椭圆上，过点的切线方程为，即，又满足，所以点也在切线上，由过椭圆上一点的切线唯一知，重合，于是，所以.（设椭圆的标准方程为，切点为，则（1），对椭圆求导得，即切线斜率，故切线方程为,以(1)代入并化简得切线方程为）例6. 若关于的方程有两个不等的实根，求的取值范围.【解】 原方程可化为，故要使方程有解，在的值域范围内即可. .当时取等号,故原方程有唯一解；而当时，每一个值对应两个值（若满足，则必满足）。故当时，原方程有两解.例7. 解方程.【解】 令，得，原方程转化为，即，亦即. ,此时，经检验是原方程的根. 例8. 实数满足求的值.【解】 由，可得；由，可得.设，则在上单调递增.又，于是，故例9. 求函数的值域.【解】 由得，问题转化为求的取值范围，使关于的方程在上有实根.设，由二次函数的图像可知：或，解得. 例10. 已知两点，若抛物线与线段有两个交点，求实数的取值范围. 【解】 问题等价于方程组有两组解，即 在上有两解.设，则有 ， 例11. 已知方程有唯一实根，求实数的取值范围. 【解】 由 得 （1）当，即时， ，满足，满足条件.（2）当，即时，,又 ，故要满足题意，必须，或，解得. 所求的取值范围为. 例12. 已知函数的值域为，求的值.【解】 设 ，则，根据求值域的判别式法.当时，由，得由题意知方程有两解，由韦达定理 ，解得 当时，对应的，故不满足条件，所以 例13. 求同时满足下列条件的所有复数：（1）是实数，且；（2）的实部和虚部都是整数. 【解】 设，则，故，.由的实部是整数，知只能在2,4,6中取，但同时使为整数的值只能取2,6，故同时满足条件的复数是. 例14. 求方程的正根的个数.【解】 如果通过解出方程的根再判断正根的个数，那么要解一元三次方程，这很困难。可转化为求函数与函数图像在轴右侧的交点个数，问题就迎刃而解了。通过画草图可知，函数图像开口向下，过三、四象限，而函数的图像位于一、三象限，结合图像可知两函数图像在轴右侧没有交点。所以方程的正根的个数为0个。例15. 若一元二次方程的两个正根满足，求实数的取值范围.【解】 由韦达定理得， 即 ， ，即 . 当时，有最小值；当时，有最小值.故求实数的取值范围是例16. 设不等式对满足的一切实数均成立，求实数的取值范围.【解】 原问题等价于在时恒成立。因此有 ，解得，因此，使得原不等式在时恒成立的的取值范围是 例17. 一条河宽1km，两岸各有城镇和，和的直线距离为4km，今需铺设一条电缆连接与，已知地下电缆的修建费是2万元/km，水下电缆的修建费是4万元/km，问应如何架设电缆方可使总的修建费最少？（假设两岸为平行的直线）【解】 过点作与成30的射线，过作于，过作于，交于。则总修建费用，.例18. 已知关于的不等式的解集是，求的值.【解】 不等式可化为不等式的解集是，是关于的方程的解，且，解得.例19. 已知函数，设，证明： 【解】 ，令，则由，得.又 ，即 又设则由 ，得 ， 即 故原不等式成立.例20. 设在高校篮球联赛中，某高校男子篮球队要从8名队员中选出平均身高最高的出场阵容，队员的号码、身高及擅长的位置如下表所示：队员号码身高/m擅长位置11.92中锋21.90中锋31.88前锋41.86前锋51.85前锋61.83后卫71.80后卫81.78后卫同时要求出场阵容必须满足下列条件：中锋只能上场1名；至少有1名后卫；如果1号队员和4号队员上场，则6号队员不能上场；2号队员和6号队员必须至少保留一个不上场。试确定该篮球队符合要求的出场阵容?【解】 设则满足以下约束条件：(1)中锋只能上场1名;(2)至少有1名后卫;(3)如果1号队员和4号队员上场,则6号队员不能上场;(4)2号队员和6号队员必须至少保留一个不上场;又因为篮球比赛要求每队上场队员为5名，所以还应该有.根据上述分析可以得到所讨论问题的数学模型(线性规划模型) 如下:通过MATLAB 编程处理,程序如下:clearf=-1.92,-1.90,-1.88,-1.86,-1.85,-1.83,-1.80,-1.78;A=1 ,1 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,-1 ,-1 ,-1 1 ,0 ,0 ,1 ,0 ,1 ,0 ,0 0 ,1 ,0 ,0 ,0 ,1 ,0 ,0 1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ;b=1 ; - 1 ;2 ;1 ;5 ;x=bintprog(f ,A ,b , , )h=-f*x/5解为x = 1 0 1 1 1 0 1 0h =1.8620即经计算得该球队符合要求的出场阵容是:1 ,3 ,4 ,5号和7号队员,球队的平均身高为1.862 m.例21. 设，已知，求的值.【解】 构造函数模型，则已知条件等价于因为为R上的单调奇函数，所以，由得，例22. 解方程.【解】 构造函数，因为的定义域为，而当时，所以原方程的解为.例23. 解方程.【解】 原方程可变形为，构造函数，则的值域为