北极航线模型_2000年全国大学生数学建模竞赛C题参赛论.pdf

收稿日期 2001 03 06 作者简介 何波 1978 男 四川隆昌人 阿坝师专数学系 98 级学生 北 极 航 线 模 型 2000 年全国大学生数学建模竞赛 C 题参赛论文改进 何波 龙兵 龚奇 阿坝师专数学系 98级学生 四川汶川 623000 摘 要 本文讨论了北京和底特律之间的两条飞行航线所用时间 对于球形状的假设 建立了两个优化 模型 模型一假设地球为球体 利用大圆弧的极小性质 对局部最小航线和全局最小航线进行了模拟 模型二 似设球为旋转椭球体 我们根据模型的特点给出了一个较为合理的近似算法 两个模型的结果相当接近 新 航线比原航线至少要节约 3 94 小时 结合实际情况 我们适当地解释了 北京和底特律的飞行时间可节约 4 小时 的估计 关键词 数学建模 椭球体 曲面距离 测地线 近似测地线 中图分类号 Q141 4 文献标识码 A 文章编号 1008 414 2001 01 101 06 Models of the Arctic Air line He Bo Long Bing Gong Qi Abstoact The paper is mainly concerned with the time it takes to fly along the two Beijing to Detroit Air line Based on the ball shaped hypothesis it presents two optimal models Model presents that the earth is a spheroid and it makes Stimulations of the partialmininum air line and the whole mininum air line byviotue of the feature of the smallness of an arc s limit value whereas model 2 supposes the earth to be a spinning ellipsoid and it gives a reasonable approximate calculation The resucts of these two models are quite near It wouldtake at least 3 94 hours less to fly along the new air line than to fly along the original air line Considered the practical situation it is estimated that 4 hour can be saved when it comes to the flight between Beijing and Detroit Key Words mathematical modelling ellipsoid camber distance 一 问题的重述 航线的选取是影响飞行时间的重要因素 北京至底特律的民航航线原来途经太平洋上空 且需中途降落加油 现在准备在北极上空开辟新航线 以节省飞行时间 如何解释新航线比 原航线飞行时间的节约情况 二 模型的假设 飞行航线不考虑地形 天气 航线冲突等外界因素的影响 2001 年第 1 期 No 1 2001 阿 坝 师 范 高 等 专 科 学 校 学 报 JOURNAL OF ABA TEACHERS COLLEGE 2001 年 5 月 May 2001 飞行过程中认为飞机能以恒定速度突然变向 三 符号及常量说明 v 飞行的平均速度 h 飞行的平均高度 r0 球体半径R0 r0 h r1 椭球体赤道半径R1 r1 h r2 椭球体午线半径R2 r2 h 0i 0i 地理坐标 2 2 转化后坐标 p i i 椭球体上点的坐标 u p 的测地离心度 Ti 原航线中 ai 1 ai间飞行时间T 新航线飞行时间 t 飞机起降额外时间 新航线飞行时间 a 切割椭圆的长半轴b 切割椭圆的短半轴 D ai aj ai aj间球面最短距离 d ai aj 在球面上 ai aj间所有可能距离之一 L p1 p2 椭球面上两点 p1 p2的近似最短距离 I ai aj 椭球面上两点 ai aj间所有可能距离之一 四 问题的分析 飞行时间分为两部分 一是以平均 980 千米 小时的正常速度飞行所用的时间 二是起降时由于变速所需的额外 时间 两种对地球形状的假设下 航线均在离地面高度为 h 的球面或椭球面上 即 对于球体 R0 r0 h 对于椭球体 赤道半径 R1 r1 h 子午线短半轴 R2 R2 h 为了方便描述 我们对地理坐标作如下处理 纬度 i oi 在北半球 oi 其它 经度 j 0i 在东半球 360 oi 其它 假设北京 底特律所在点分别为 a0 a11 在 Internet 的网站上查找到地理坐标分别为 北纬 39 92度 东经 116 33 度 北纬 42 2 度 西经 83 08 度 原航线飞经的地区 纬度跨较小 照点的分布情况 我们应认为 飞行过程中经过地区的经度递增 或递减 也就是若从北京飞 往底特律 中途顺次经过 a1 a2 a10 五 模型的建立及求解 航线从 a0 an 1 途径 a1 ai an点 设原航线中 ai 1 ai间飞行时间为 ti i 1 2 102 阿坝师范高等专科学校学报 总第 32期 n0ao an 1两地新航线飞行时间为 d t0 则节约时间为 1i 1 i 0 新航线用时为 a to 则节约时间为 hi 1 Ti td 根据分析 建立如下基本模型 max hi 1 i 0 s t Td 0 Ti 0 i 1 2 n 1 我们引入如下理论 引理 1 曲面上局部范围内 测地线是两点间的最短线 由此 显然推出 定理 1 曲面上顺次经过点序列的路程 以这些点作为拐点的逐段测地线之和最短 定理 1 曲面上一条曲线为测地线的充要条件是这条曲线上每点的主法线向量与曲面在 这点的法线平行 一 模型一 假设地球为球体 设球面上 ai aj 两点间所有可能距离为 d ai aj 针对具体情况 我们建立模型一如下 max hk 1 i 0 s t Td d a0 an 1 0 TI d ai 1 ai 0 i 1 2 n 1 在此情况下 易由引理得局部测地线为较短的大圆弧 对于计算我们使用引理 3 两点 的大圆弧 满足 cos sin 1 sin 2 cos 1cos 2cos 1 2 据此可知 地球面最短距即本模型最优解为 D ai aj R0 cos 1 sin 1 sin 2 cos 2cos 1 2 模型一的算法如下 Step1 顺次输入点的坐标 Step2 计算球面距离 Step3 计算并输出原航线逐段球面距离之和 共用时间 Step4 计算并输出新航线的球面距离 所用时间 Step5 计算并输出节约路程 时间 二 模型二 假设地球为椭球体 如果我们能得出椭球面上任意两点间的测地线公式 那么就能求出最短距离 但要用到较 多和微分几何知识 这超出了我们的知识范围 因此较可行的办法是设计一个近似算法 下文 中椭球面距离均指在近似算法下的意义 设球面上两点间所有可能距离为 I ai aj 针对具体情况 我们建立如下模型 max hi 1 i d 103 第 1 期 何波 龙兵 龚奇 北极航线模型 s t Td l a0 an 1 0 TI l ai 1 ai 0 i 1 2 n 1 按经纬度的定义 我们以旋转椭球中心为原点 北极点为 Z 同方向 地理坐标 0 0 为 X 轴方向 地理坐标 0 90 为 Y 轴方向 建立空间直角坐标系 则 的空间坐标为 x R1 cos cos y R1 cos sin z R2 sin 下面 根据引理 2 来讨论旋转椭球体表面的测地线 设椭球面上两点 p1 1 1 p2 2 2 间的测地线方程为 F p1 p2 我们得到如下结果 定理 2 旋转椭球面上两点 p1 1 1 p2 2 2 间测地线 F p1 p2 为平面曲线 当且仅当 1 2 或 1 2 0 证 因为旋转椭球由一生成椭圆绕轴旋转半周而成 首先考虑点的纬度特性 将 z 0 平面 投影到 X 轴上 如图对于 p 点 凡过 p 的测地线与 Z 轴有一交点 设为 0 z0 由引理可知 两条直线 法线 X R1 cos z z0 z0 R2sin 切面投影线 X cos R1 z sin R2 0 正交 故 z0 R2 R21 R2 sin 回到椭球面上 1 1 2时 z1 z2 仅当 1 2时 z01 z0i p1p2在同一平面上 2 当 1 2时 z1 z2 仅可能为一条纬线的一部分 而纬线的切线与 Z 轴平行 仅当 1 2 0时 p1p2间诸点才与椭球相切 综上所述 当且仅当 1 2或 1 2 0 时 p1 p2间测地线为平面曲线 我们难以处理一般空间曲线的求长 考虑用一条平面曲线去近似替代旋转椭球表面的测 地线 这条平面曲线当两点经度相同或同处在赤道上时就是严格的测定地线 我们称它为近 似测地线 在定理2 的证明中 我们看到不同纬度的点主法线与Z 轴的交点不同 所以平面化的一个 较可行的办法是选择个合理的 Z 轴与平面的交点 定义 对于旋转椭球表面上一点 p 其主法线和 Z 轴的交点到原点的距离与北极点 到原点的距离的比值 U 1 R12 R22 sin 称为 p点的测地离心度 p1 p2间近似测地线的离心度我们选择 1 2的平均 以替代整条测地线的离心度 即 1 R21 R22 sin 1 2 2 这样就把任意的测定地线平面化了 接着 我们来处理这条平面曲线 其所在平面过 p1 p2 0 0 R2 三点 方程为 AR2x BR2y CR1z C R1R2 0 其中 104 阿坝师范高等专科学校学报 总第 32期 A cos 1sin 1 sin 2 s 2sin 2 sin 1 B cos 2sin 2 sin 1 cos 2sin 1 sin 2 C cos 1cos 2sin 2 1 它与 Z 平面的夹角满足 cos R1 C A2R22 B2R22 C2R21 由近似测地线所在椭圆方程 AR2x BR2y CR1z C R1R2 0 x2 R21 y2 R12 z2 R22 0 可知该椭圆的两条轴的长度分别为 a R 1 2 R21 R22ctg2 R21 R22ctg 2 R1R2R12tg2 R22 1 2 R21tg2 R22 cos 我们在该椭圆平面上建立新坐标系 OX Y 以近似测定地线椭圆的中心为原点 两条半轴 的方向分别为 x y 方向 这样便于求解夹角 该原点在空间坐标系中坐标满足 zd R21R2 R21 R22ctg 2 xd Azd A2 B2tg yd Bzd A2 B2tg OX 在原坐标下方向为 B A 0 OPi i 1 2 为 xi d yi yd zi zd 故 OX 与 OPi的 夹角满足 cos i B xi d A yi yd A2 B2 xi d 2 yi yd 2 zi zd 2 那么旋转椭球体上两点 p1 p2间近似曲面距离满足 L p1 p2 2 1 2sin2t b2cos2tdt 该公式计算椭圆积分 客观上的限制使其不能化简为初等函数 因此也不能直接用计算机 实现 我们根据参数方程黎曼和的实质 将积分区间均争为足够多的小区间 此时 小区间上 的椭圆弧可近似认为是圆孤 这些圆弧均以椭圆中心为圆心 分别以小区间端点到椭圆中心 的躏离的平均值为半径 夹角即原椭圆板夹角 然后累加这些圆弧的长度 近似计算出这个积 分式 我们称此方法为椭圆积分的圆弧逼近法 模型二的算法如下 Step1 顺次输入点的坐标 Step2 同圆弧逼近法计算椭球面距离 Step3 计算并输出原航线逐段球面距离之和 共用时间 Step4 计算并输出新航线的球面距离 所用时间 Step5 计算并输出节约路程 时间 105 第 1 期 何波 龙兵 龚奇 北极航线模型 六 模型的检验及误差分析 1 计算结果 将题目所给数据和在 Internet 上查得的北京 底特律的坐标数据输入程序 1 和程序 2 其 结果如下 原航线长度原航线时间新航线长度新航线时间节约时间 km h km h h 模型 114534 3214 8310671 7310 893 94 模型 214506 6014 8010638 9410 863 95 两个模型的计算结果相当接近 节约时间 的偏差不到一分钟 这说明我们的模型是十分 有效的 2 误差分析及解释 模型二折衷了整条测地线的要求 用 Z 轴上一点与椭球面两点所在平面与椭球相交的椭 圆弧线近似替代测地线 存在误差 但由于假设的地球表面为扁型旋转椭球面 且长短半轴的 比值很接近 1 所以带来的误差是能够接受的 我们用圆周率的近似值以及模型二中的椭圆 积分的原函数是非初等函数 采用了近似计算 与真实值有微小误差 算结果是根据理想航线 得出的 而实际中的航线会因为地形 航线冲突而作安排 且数据只给出途径的某些离散点的 地理坐标 在无从得知航线实现细节的情况下