（新课标）高考数学大一轮复习精品讲义 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入（含解析）.DOC

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算基础盘查一向量的有关概念(一)循纲忆知1了解向量的实际背景；2理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3理解向量的几何表示(二)小题查验1判断正误(1)向量与向量是相等向量()(2)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小()(3)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量()(4)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关()答案：(1)(2)(3)(4)2.(人教a版教材例题改编)如图，设o是正六边形abcdef的中心，分别写出图中与，相等的向量解：；.基础盘查二向量的线性运算(一)循纲忆知1掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；2掌握向量数乘的运算及其几何意义；3了解向量线性运算的性质及其几何意义(二)小题查验1判断正误(1)两个向量的差仍是一个向量()(2) ()(3)向量ab与ba是相反向量()(4)两个向量相加就是两个向量的模相加()答案：(1)(2)(3)(4)2(人教a版教材习题改编)化简：(1)()_.(2)_.答案：(1)(2)0基础盘查三共线向量定理(一)循纲忆知理解两个向量共线的含义，掌握向量的共线定理及应用(二)小题查验1判断正误(1)若向量a，b共线，则向量a，b的方向相同()(2)若ab，bc，则ac()(3)向量与向量是共线向量，则a，b，c，d四点在一条直线上()(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有ba，反之成立()答案：(1)(2)(3)(4)2已知a与b是两个不共线的向量，且向量ab与(b3a)共线，则_.答案：(基础送分型考点自主练透)必备知识(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于1个单位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量题组练透1给出下列命题：若|a|b|，则ab；若a，b，c，d是不共线的四点，则是四边形abcd为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab；若ab，bc，则ac.其中正确命题的序号是()abc d解析：选a不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确，|且，又a，b，c，d是不共线的四点，四边形abcd为平行四边形；反之，若四边形abcd为平行四边形，则且|，因此，.正确ab，a，b的长度相等且方向相同，又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac.不正确当ab且方向相反时，既使|a|b|，也不能得到ab，故|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件不正确考虑b0这种特殊情况综上所述，正确命题的序号是.故选a.2设a0为单位向量，下述命题中：若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.假命题的个数是()a0 b1c2 d3解析：选d向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3.类题通法平面向量有关概念的核心(1)向量定义的核心是方向和长度(2)非零共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制(3)相等向量的核心是方向相同且长度相等(4)单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度(5)零向量的核心是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线(重点保分型考点师生共研)必备知识1向量的加法定义：求两个向量和的运算运算法则(几何意义)：如图运算律：(1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)ca(bc)2向量的减法定义：向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差，即a(b)ab.求两个向量差的运算叫做向量的减法运算法则(几何意义)：如图3向量的数乘定义：实数与向量a的积运算，即a.运算法则(几何意义)：如图，a的长度与方向规定如下：(1)|a|a|.(2)当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反；当0时，a0.运算律：(a)()a；()aaa；(ab)ab.提醒(1)实数和向量可以求积，但不能求和或求差；(2)0或a0a0.典题例析1(2014新课标全国卷)设d，e，f分别为abc的三边bc，ca，ab的中点，则()a b.c d.解析：选a()()()，故选a.2(2013江苏高考)设d，e分别是abc的边ab，bc上的点，adab，bebc.若12 (1，2为实数)，则12的值为_解析：()，所以1，2，即12.答案：类题通法1向量线性运算的解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解2两个结论(1)p为线段ab的中点()；(2)g为abc的重心0.演练冲关1(2015聊城二模)在abc中，c，b.若点d满足2，则()a.bcb.cbc.bc d.bc解析：选a如图，可知()c(bc)bc.故选a.2若典例2条件变为：若2，则_.解析：，2.又2，2().，即.答案：(题点多变型考点全面发掘)必备知识共线向量定理向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数，使得ba.提醒限定a0的目的是保证实数的存在性和唯一性一题多变典型母题设两个非零向量e1和e2不共线如果e1e2，2e13e2，3e1ke2，且a，c，f三点共线，求k的值解e1e2，2e13e2，3e12e2.a，c，f三点共线，从而存在实数，使得.3e12e23e1ke2，又e1，e2是不共线的非零向量，因此k2.实数k的值为2.题点发散1在本例条件下，试确定实数k，使ke1e2与e1ke2共线解：ke1e2与e1ke2共线，存在实数，使ke1e2(e1ke2)，即ke1e2e1ke2，解得k1.题点发散2在本例条件下，如果e1e2，3e12e2，8e12e2，求证：a，c，d三点共线证明：e1e2，3e12e2，4e1e2，又8e12e2，2，与共线又与有公共点c，a，c，d三点共线类题通法1共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值(2)若a，b不共线，则ab0的充要条件是0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛2证明三点共线的方法若，则a，b，c三点共线一、选择题1给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小a0(为实数)，则必为零，为实数，若ab，则a与b共线其中错误的命题的个数为()a1b2c3 d4解析：选c错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小错误，当a0时，不论为何值，a0.错误，当0时，ab0，此时，a与b可以是任意向量故选c.2已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但ab与c共线，且bc与a共线，则向量abc()aabbcc d0解析：选d依题意，设abmc，bcna，则有(ab)(bc)mcna，即acmcna.又a与c不共线，于是有m1，n1，abc，abc0，选d.3(2015福建四地六校联考)已知点o，a，b不在同一条直线上，点p为该平面上一点，且22，则()a点p在线段ab上b点p在线段ab的反向延长线上c点p在线段ab的延长线上d点p不在直线ab上解析：选b因为22，所以2，所以点p在线段ab的反向延长线上，故选b.4设d，e，f分别是abc的三边bc，ca，ab上的点，且2，2，2，则与 ()a反向平行 b同向平行c互相垂直 d既不平行也不垂直解析：选a由题意得，因此()，故与反向平行5在平行四边形abcd中，点e是ad的中点，be与ac相交于点f，若mn (m，nr)，则的值为()a2 bc2 d.解析：选a设a，b，则manb，ba，由向量与共线可知存在实数，使得，即manbba，又a与b不共线，则，所以2.6设o在abc的内部，d为ab的中点，且20，则abc的面积与aoc的面积的比值为()a3 b4c5 d6解析：选bd为ab的中点，则()，又20，o为cd的中点，又d为ab中点，saocsadcsabc，则4.二、填空题7设点m是线段bc的中点，点a在直线bc外，216，|，则|_.解析：由|可知，则am为rtabc斜边bc上的中线，因此，|2.答案：28(2015江门模拟)已知d为三角形abc边bc的中点，点p满足0，则实数的值为_解析：如图所示，由且0，则p为以ab，ac为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此2，则2.答案：29已知o为四边形abcd所在平面内一点，且向量，满足等式，则四边形abcd的形状为_解析：，ba綊cd，四边形abcd为平行四边形答案：平行四边形10已知d，e，f分别为abc的边bc，ca，ab的中点，且a，b，给出下列命题：ab；ab；ab；0.其中正确命题的个数为_解析：a，b，ab，故错；ab，故正确；()(ab)ab，故正确；baabba0.正确命题为.答案：3三、解答题11已知a，b不共线，a，b，c，d，e，设tr，如果3ac,2bd，et(ab)，是否存在实数t使c，d，e三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由解：由题设知，dc2b3a，ec(t3)atb，c，d，e三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得k，即(t3)atb3ka2kb，整理得(t33k)a(2kt)b.因为a，b不共线，所以有解之得t.故存在实数t使c，d，e三点在一条直线上12.如图所示，在abc中，d，f分别是bc，ac的中点，a，b.(1)用a，b表示向量，；(2)求证：b，e，f三点共线解：(1)延长ad到g，使，连接bg，cg，得到平行四边形abgc，所以ab，(ab)，(ab)，b，(ab)a(b2a)，ba(b2a)(2)证明：由(1)可知，又因为，有公共点b，所以b，e，f三点共线第二节平面向量的基本定理及坐标表示基础盘查一平面向量基本定理(一)循纲忆知了解平面向量的基本定理及其意义(二)小题查验1判断正误(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(2)在abc中，向量，的夹角为abc()(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的()(4)设a，b是平面内的一组基底，若实数1，1，2，2满足1a1b2a2b，则12，12()答案：(1)(2)(3)(4)2(人教a版教材复习题改编)设m是abcd的对角线的交点，o为任意一点，则_.答案：4基础盘查二平面向量的坐标运算(一)循纲忆知1掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；2会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算(二)小题查验1判断正误(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同()(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标()(3)已知点a(2,1)，b(1,3)，则(3,2)()答案：(1)(2)(3)2(人教a版教材例题改编)已知a(2,1)，b(3,4)，则3a4b_.答案：(6,19)基础盘查三平面向量共线的坐标表示(一)循纲忆知理解用坐标表示的平面向量共线的条件(二)小题查验1判断正误(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可表示成()(2)已知向量a(4，x)，b(4,4)，若ab，则x的值为4()答案：(1)(2)2o是坐标原点，(k,12)，(4,5)，(10，k)，当k_时，a，b，c三点共线？答案：2或11(基础送分型考点自主练透)必备知识平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底题组练透1如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是()ae1与e1e2be12e2与e12e2ce1e2与e1e2 de13e2与6e22e1解析：选d选项a中，设e1e2e1，则无解；选项b中，设e12e2(e12e2)，则无解；选项c中，设e1e2(e1e2)，则无解；选项d中，e13e2(6e22e1)，所以两向量是共线向量2如图，在梯形abcd中，adbc，且adbc，e，f分别为线段ad与bc的中点设a，b，试用a，b为基底表示向量，.解：babba，bba，bab.类题通法(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决(基础送分型考点自主练透)必备知识(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2); (2)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)；(3)若a(x，y)，则a(x，y)；|a|.题组练透1已知平面向量a(1,1)，b(1，1)，则向量ab()a(2，1)b(2,1)c(1,0) d(1,2)解析：选da，b，故ab(1,2)2(2015昆明一中摸底)已知点m(5，6)和向量a(1，2)，若3a，则点n的坐标为()a(2,0)b(3,6)c(6,2) d(2,0)解析：选a3a3(1，2)(3,6)，设n(x，y)，则(x5，y6)(3,6)，所以即选a.3已知a(2,4)，b(3，1)，c(3，4)设a，b，c，且3c，2b，(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求m，n的坐标及向量的坐标解：由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得(3)设o为坐标原点，3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)m(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，n(9,2)，(9，18)类题通法平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解(题点多变型考点全面发掘)必备知识设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.则abx1y2x2y10.一题多变典型母题平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求满足ambnc的实数m，n；(2)若(akc)(2ba)，求实数k.解(1)由题意得(3,2)m(1,2)n(4,1)，所以得(2)akc(34k,2k)，2ba(5,2)，由题意得2(34k)(5)(2k)0.k.题点发散1在本例条件下，若d满足(dc)(ab)，且|dc|，求d.解：设d(x，y)，dc(x4，y1)，ab(2,4)，由题意得得或d(3，1)或d(5,3)题点发散2在本例条件下，若manb与a2b共线，求的值解：manb(3mn,2m2n)，a2b(5，2)，由题意得2(3mn)5(2m2n)0.题点发散3若本例条件变为：已知a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)，判断a，b，c三点能否共线解：(4,0)，(1，1)，4(1)010，不共线a，b，c三点不共线类题通法1向量共线的两种表示形式设a(x1，y1)，b(x2，y2)：abab(b0)；abx1y2x2y10.至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用.2两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值一、选择题1.如图，在平行四边形abcd中，e为dc边的中点，且a，b，则()ababbacab dab解析：选aababa.2已知平行四边形abcd中，(3,7)，(2,3)，对角线ac与bd交于点o，则的坐标为()a.b.c. d.解析：选d(2,3)(3,7)(1,10).故选d.3在平面直角坐标系xoy中，四边形abcd的边abdc，adbc.已知a(2,0)，b(6,8)，c(8,6)，则d点的坐标为()a(0，2) b(4,2)c(16,14) d(0,2)解析：选a设d(x，y)，由题意知，即(x6，y8)(8，8)(2，2)(6，10)，故选a.4设向量a(1，3)，b(2,4)，c(1，2)，若表示向量4a,4b2c,2(ac)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d()a(2,6) b(2,6)c(2，6) d(2，6)解析：选d设d(x，y)，由题意知4a(4，12)，4b2c(6,20)，2(ac)(4，2)，又4a4b2c2(ac)d0，所以(4，12)(6,20)(4，2)(x，y)(0,0)，解得x2，y6，所以d(2，6)5已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若a，b，c三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是()ak2 bkck1 dk1解析：选c若点a，b，c不能构成三角形，则向量，共线，(2，1)(1，3)(1,2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1)，1(k1)2k0，解得k1.6(2015山西四校联考)在abc中，点d在线段bc的延长线上，且3，点o在线段cd上(与点c，d不重合)，若x(1x)，则x的取值范围是()a. b.c. d.解析：选d依题意，设，其中1，则有()(1).又x(1x)，且，不共线，于是有x1，即x的取值范围是.二、填空题7设e1，e2是平面内一组基向量，且ae12e2，be1e2，则向量e1e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1e2_a_b.解析：由题意，设e1e2manb.因为ae12e2，be1e2，所以e1e2m(e12e2)n(e1e2)(mn)e1(2mn)e2.由平面向量基本定理，得所以答案：8已知两点a(1,0)，b(1,1)，o为坐标原点，点c在第二象限，且aoc135，设 (r)，则的值为_解析：由aoc135知，点c在射线yx(x0)上，设点c的坐标为(a，a)，a0，则有(a，a)(1，)，得a1，a，消掉a得.答案：9在abc中，点p在bc上，且2，点q是ac的中点，若(4,3)，(1,5)，则_.解析：(3,2)，2(6,4)(2,7)，3(6,21)答案：(6,21)10(2015九江模拟)pa|a(1,1)m(1,2)，mr，qb|b(1，2)n(2,3)，nr是两个向量集合，则pq等于_解析：p中，a(1m,12m)，q中，b(12n，23n)则得此时ab(13，23)答案：三、解答题11已知a(1,0)，b(2,1)求：(1)|a3b|；(2)当k为何实数时，kab与a3b平行，平行时它们是同向还是反向？解：(1)因为a(1,0)，b(2,1)，所以a3b(7,3)，故|a3b|.(2)kab(k2，1)，a3b(7,3)，因为kab与a3b平行，所以3(k2)70，即k.此时kab(k2，1)，a3b(7,3)，则a3b3(kab)，即此时向量a3b与kab方向相反12已知点o为坐标原点，a(0,2)，b(4,6)，t1t2.(1)求点m在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t11时，不论t2为何实数，a，b，m三点共线解：(1)t1t2t1(0,2)t2(4,4)(4t2,2t14t2)当点m在第二或第三象限时，有故所求的充要条件为t20且t12t20.(2)证明：当t11时，由(1)知(4t2,4t22)(4,4)，(4t2,4t2)t2(4,4)t2，a，b，m三点共线第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例基础盘查一平面向量的数量积(一)循纲忆知1理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2了解平面向量的数量积与向量投影的关系(二)小题查验1判断正误(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()(3)两个向量的夹角的范围是()答案：(1)(2)(3)2(人教a版教材例题改编)已知|a|5，|b|4，a与b的夹角120，则ab_答案：10基础盘查二平面向量数量积的性质及其坐标表示(一)循纲忆知1掌握数量积的性质及坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；2能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系(二)小题查验1判断正误(1)由ab0，可得a0或b0()(2)两向量ab的充要条件：ab0x1x2y1y20()(3)若ab0，则a和b的夹角为锐角；若ab0，则a和b的夹角为钝角()答案：(1)(2)(3)2(人教a版教材复习题改编)已知|a|，|b|2，a与b的夹角为30，则|ab|_.答案：13已知向量a(1,2)，向量b(x，2)，且a(ab)，则实数x等于_答案：9基础盘查三平面向量数量积的运算律(一)循纲忆知掌握向量数量积的运算律，并能进行相关计算(二)小题查验1判断正误(1)(ab)ca(bc)()(2)abac(a0)，则bc()答案：(1)(2)2(人教a版教材习题改编)已知单位向量e1，e2的夹角为60，则向量a2e1e2与b2e23e1的夹角为_答案：150(基础送分型考点自主练透)必备知识1平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，把数量|a|b|cos 叫做a和b的数量积(或内积)，记作ab.即ab|a|b|cos ，规定0a0.2向量数量积的运算律(1)abba.(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)cacbc.3平面向量数量积的几何意义数量积ab等于a的模|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积提醒投影和两向量的数量积都是数量， 不是向量题组练透1(2015云南统一检测)设向量a(1,2)，b(m,1)，如果向量a2b与2ab平行，那么a与b的数量积等于()abc. d.解析：选da2b(12m,4)，2ab(2m,3)，由题意得3(12m)4(2m)0，则m，所以ab121.2.(2013湖北高考)已知点a(1,1)，b(1,2)，c(2，1)，d(3,4)，则向量在方向上的投影为()a. b.c d解析：选a(2,1)，(5,5)，由定义知在方向上的投影为.3(2014重庆高考)已知向量a与b的夹角为60，且a(2，6)，|b|，则ab_.解析：因为a(2，6)，所以|a|2，又|b|，向量a与b的夹角为60，所以ab|a|b|cos 60210.答案：104(2015东北三校联考)已知正方形abcd的边长为2，2，()，则_.解析：如图，以b为原点，bc所在直线为x轴，ab所在直线为y轴建立平面直角坐标系则b(0,0)，e，d(2,2)由()知f为bc的中点，故，(1，2)，2.答案：类题通法向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cos a，b(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.提醒(1)在向量数量积的运算中，若abac(a0)，则不一定得到bc.(2)实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(ab)c不一定等于a(bc)(常考常新型考点多角探明)必备知识已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)：结论几何表示坐标表示模|a|a|夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y20多角探明平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题归纳起来常见的命题角度有：(1)平面向量的模；(2)平面向量的夹角；(3)平面向量的垂直.角度一：平面向量的模1已知平面向量a，b的夹角为，且|a|，|b|2，在abc中，2a2b，2a6b，d为bc中点，则|等于()a2b4c6 d8解析：选a因为()(2a2b2a6b)2a2b，所以|24(ab)24(a22bab2)44，则|2.2(2014北京高考)已知向量a，b满足|a|1，b(2,1)，且ab0(r)，则|_.解析：|a|1，可令a(cos ，sin )， ab0.即由sin2cos21得25，得|.答案：角度二：平面向量的夹角3向量a，b均为非零向量，(a2b)a，(b2a)b，则a，b的夹角为()a. b.c. d.解析：选b(a2b)a|a|22ab0，(b2a)b|b|22ab0，所以|a|2|b|2，即|a|b|，故|a|22ab|a|22|a|2cos a，b0，可得cosa，b，又因为0a，b，所以a，b.4(2014江西高考)已知单位向量e1与e2的夹角为，且cos ，向量a3e12e2与b3e1e2的夹角为，则cos _.解析：因为a2(3e12e2)29232cos 49，所以|a|3，b2(3e1e2)29231cos 18，所以|b|2，ab(3e12e2)(3e1e2)9e9e1e22e991128，所以cos .答案：角度三：平面向量的垂直5(2014重庆高考)已知向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，且(2a3b)c，则实数k()a b0c3 d.解析：选c因为2a3b(2k3，6)，(2a3b)c，所以(2a3b)c2(2k3)60，解得k3，选c.6在直角三角形abc中，已知(2,3)，(1，k)，则k的值为_解析：当a90时，0.213k0，解得k.当b90时，又(1，k)(2,3)(1，k3)，2(1)3(k3)0，解得k.当c90时，1(1)k(k3)0，即k23k10.k.答案：或或.类题通法平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos ，要注意0，(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：abab0|ab|ab|.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：a2aa|a|2或|a|.|ab|.若a(x，y)，则|a|.(重点保分型考点师生共研)典题例析(2013江苏高考)已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)若|ab|，求证：ab；(2)设c(0,1)，若abc，求，的值解：(1)证明：由题意得|ab|22，即(ab)2a22abb22.又因为a2b2|a|2|b|21，所以22ab2，即ab0，故ab.(2)因为ab(cos cos ，sin sin )(0,1)，所以由此得，cos cos ()，由0，得0.又0，所以，.类题通法平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等演练冲关已知向量a，b，c(，1)，其中xr，(1)当ab时，求x的取值集合；(2)设函数f(x)(ac)2，求f(x)的最小正周期及其单调递增区间解：(1)abcos cos sin sin cos x，x2k(kz)所求x的取值集合为xx2k，kz.(2)ac，f(x)(ac)22252cos 2sin 5454sin.最小正周期为t.由2k2k(kz)，得x(kz)单调递增区间是(kz)一、选择题1(2015惠州调研)已知向量p(2，3)，q(x,6)，且pq，则|pq|的值为()a.b.c5 d13解析：选b由题意得263x0x4|pq|(2，3)(4,6)|(2,3)|.2(2015长春调研)已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)，若为实数，(ba)c，则的值为()a bc. d.解析：选aba(1,0)(1,2)(1，2)，c(3,4)，又(ba)c，(ba)c0，即(1，2)(3,4)3380，解得，故选a.3已知向量a，b满足(a2b)(5a4b)0，且|a|b|1，则a与b的夹角为()a. b.c. d.解析：选c因为(a2b)(5a4b)0，|a|b|1，所以6ab850，即ab.又ab|a|b|cos cos ，所以cos ，因为0，所以.4在abc中，()|2，则abc的形状一定是()a等边三角形 b等腰三角形c直角三角形 d等腰直角三角形解析：选c由()|2，得()0，即()0,20，a90.又根据已知条件不能得到|，故abc一定是直角三角形5(2015东北三校联考)已知abc中，|10，16，d为边的中点，则|等于()a6 b5c4 d3解析：选d由题知()，16，|cosbac16.在abc中由余弦定理得，|2|2|22|cosbac，102|2|232，|2|268，|2(222)(6832)9，|3，故选d.6在边长为1的正方形abcd中，m为bc的中点，点e在线段ab上运动，则的取值范围是()a. b.c. d.解析：选c将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设e(x,0)，0x1.又m，c(1,1)，所以，(1x,1)，所以(1x,1)(1x)2.因为0x1，所以(1x)2，即的取值范围是.二、填空题7(2015北京东城质量检测)已知平面向量a(2,4)，b(1，2)，若ca(ab)b，则|c|_.解析：由题意可得ab214(2)6，ca(ab)ba6b(2,4)6(1，2)(8，8)，|c|8.答案：88(2015山西四校联考)圆o为abc的外接圆，半径为2，若2，且|，则向量在向量方向上的投影为_解析：2，o是bc的中点，故abc为直角三角形在aoc中，有|，b30.由定义，向量在向量方向上的投影为|cos b23.答案：39单位圆上三点a，b，c满足0，则向量，的夹角为_解析：a，b，c为单位圆上三点，|1，又0，2()2222，可得cos ，向量，的夹角为120.答案：12010(2014江苏高考)如图，在平行四边形abcd中，已知ab8，ad5，3，2，则的值是_解析：因为，所以|2|22，将ab8，ad5代入解得22.答案：22三、解答题11已知|a|4，|b|8，a与b的夹角是120.(1)计算：|ab|，|4a2b|；(2)当k为何值时，(a2b)(kab)解：由已知得，ab4816.(1)|ab|2a22abb2162(16)6448，|ab|4.|4a2b|216a216ab4b2161616(16)464768，|4a2b|16.(2)(a2b)(kab)，(a2b)(kab)0，ka2(2k1)ab2b20，即16k16(2k1)2640.k7.即k7时，a2b与kab垂直12在平面直角坐标系中，o为坐标原点，已知向量a(1,2)，又点a(8,0)，b(n，t)，c(ksin ，t).(1)若a，且|，求向量；(2)若向量与向量a共线，当k4，且tsin 取最大值4时，求.解：(1)由题设知(n8，t)，a，8n2t0.又|，564(n8)2t25t2，得t8.当t8时，n24；t8时，n8，(24,8)或(8，8)(2)由题设知(ksin