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1.调和数列目录调和数列的定义 调和数列的性质 1. 调和数列的前n项和不是整数。 2. 调和级数发散展开调和数列的定义 调和数列的性质 1. 调和数列的前n项和不是整数。 2. 调和级数发散展开调和数列的定义定义1：自然数的倒数组成的数列,称为调和数列.定义2：若数列an满足1/a（n+1）-1/an=d（nN*，d为常数），则称数列an调和数列调和数列的性质调和数列的前n项和不是整数。对任意正整数nN，有Sn=1+1/2+1/3+.1/n不是整数。证明：若不然，则令1+1/2+1/3+.1/n=K（KZ）。考察正整数i，使得2in2i+1，由整数的唯一分解性，对任意整数a=n有a=2j*g，其中j2i+1n，矛盾！）。令B=1,2,3.n为1n最小公倍数，则有B*K为偶数（因为B中显然有因子2），但B*(1/2i)为奇数（因为B中最多只有i个因子2），B*(1/a)为偶数（因为j1/2 1/5+1/6+1/7+1/81/2 1/2(k-1)+1+1/2(k-1)+2+1/2k2(k-1)(1/2k)=1/2 对于任意一个正数a，把a分成有限个1/2 必然能够找到k，使得 1+1/2+1/3+1/4+ +1/2ka 所以n时，1+1/2+1/3+1/4+ +1/n（由1/n1/(sqrt(n)21/(sqrt(n)+sqrt(n-1)=sqrt(n)-sqrt(n-1)（sqrt(n)表示n的开方）也可证明。）2.sn=1+1/2+1/3+.1/n,证明：当n2时，sn22（s2/2+s3/3+.sn/n)2011-01-25 23:08Sn2=(S(n-1)+1/n)2=S(n-1)2+2S(n-1)/n+1/n2=S(n-1)2+2S(n-1)+2/n/n-1/n2=S(n-1)2+2Sn/n-1/n2以此类推可得Sn2=S12-1/22-1/32-1/n2+2(s2/2+s3/3+.sn/n) 只要证明n=2时，S12-1/22-1/32-1/n2=0即可因为，S1=1且对任意n=1均有，1/n-1/(n+1)2=(n+1)2-n/n(n+1)2=(n2+n+1)/n(n+1)2(n2+n)/n(n+1)2=1/(n+1)故S12-1/22-1/32-1/n2=(1/12-1/22)-1/32-1/n21/2-1/32-1/n21/3-1/n21/(n-1)-1/n20原式得证。3.已知Sn=1+1/2+1/3+.1/n,用归纳法证明S2的n次方1+2分之n,n要大于1，n为整数法一：证明：由已知条件可得S21+1/23/2假设n大于1且n为整数时，(S2)n1+n/2成立当n2时，左边(S2)n3/2*3/29/4，右边1+2/22左边大于右边，所以当n2时不等式成立假设当nn时，左边(S2)n（3/2）n，右边1+n/2，左边大于右边，则当nn+1时，左边(S2)n（3/2）（n+1） 3/2*(3/2)n3/2*（1+n/2）（6+3n）/4（6+2n）/4右边1+（n+1）/23/2+n/2（6+2n）/4左边右边所以，n大于1且n为整数时，(S2)n1+n/2成立法二：用数学归纳法证明如下：S2=1+1/2=3/2当n=2时，(S2)2=(3/2)2=9/41+2/2=2；假设当n1，(S2)n1+n/2成立，则(S2)(n+1)=S2(S2)n=(3/2)(S2)n(3/2)(1+n/2)=3/2+3n/43/2+2n/4=3/2+n/2=1+(n+1)/2成立，故有S2的n次方1+2分之n，n大于1且n为整数4.用数学归纳法证明4的（2n+1)次方+3的（n+2）次方能被13整除法一：证明：（1）N=1： 4(2+1)+3(1+2)=64+27=91=7*13显然能够被13整除。（2）假设N=K时，原式能够被13整除。那么当N=K+1时有：42(k+1)+1+3(k+1+2)=4(2k+3)+3(k+3)=4(2k+1)*16+3(k+2)*3=4(2k+1)*(13+3)+3(k+2)*3=13*4(2k+1)+3*4(2k+1)+3*3(k+2)=13*4(2k+1)+3*4(2k+1)+3(k+2)因为：4(2k+1)+3(k+2)能够被13整除，所以，上式也能够被13整除。综上所述，4的（2n+1)次方+3的（n+2）次方能被13整除法二：证明：n=0 时，4(2n+1) + 3(n+2) = 41 + 32 = 4 + 9 = 1313/13 = 1命题成立假设 n = k 时 命题成立，即f(k) = 4(2k+1) + 3(k+2) f(k)/13 是整数，并设 f(k) = 13*m，其中 m 是整数则 n=k+1时f(k+1) = 42(k+1)+1 + 3(k+1)+2= 4(2k+3) + 3(k+3)= 16*4(2k+1) + 3(k+3)= 16*f(k) - 3(k+2) + 3*3(k+2)= 16*f(k) - 16*3(k+2) + 3*3(k+2)= 16*f(k) - (16-3) * 3(k+2)= 16*f(k) - 13 * 3(k+2)因此 f(k+1)/13 = 16*f(k)/13 - 3(k+2)= 16m - 3(k+2)因为 16m - 3(k+2) 是整数所以 f(k+1)/13 是整数，即 f(k+1) 能被13整除。因此 n = k+1 时，命题成立综上所述，4(2n+1) + 3(n+2) 能被13 整除。5.用数学归纳法证明3的2n+2次方-8n-9能被64整除数学归纳法当n=1 的时候 上面的式子 = 34-8-9=64 成立假设 当n=k 的时候3(2k+2)-8k-9能够被64整除当n=k+1 式子= 3(2k+4)-8k-17=93(2k+2) -8k-9 +64k+64因为 3(2k+2)-8k-9能够被64整除 93(2k+2) -8k-9 +64k+64 能够被64整除n=k+1 时 ，成立根据上面的由数学归纳法 知道3的2n+2次方-8n-9能被64整除。6.请用数学归纳法证明: n平方 小于 2的n次方应该是n=5时n2=5即k22k则n=k+1(k+1)2=k2+2k+1=5所以(k-1)2-20所以k22k+1所以2kk22k+1所以2k+1-2k0所以(k+1)22(k+1)综合(1),(2)命题得证7.求满足不等式（1+1/n）的N次方n的正整数的N的范围，用数学归纳法证明法一：n=1或2时不成立.1当n=3时,等式成立.2假设当n=k时原式成立,即(1+1/k)的k次方k;当n=k+1时,(1+1/(1+k)的k+1次方(1+1/k)的k+1次方k*(1+1/k)=k+1.由1,2可知,原命题得证法二：N等于1,2时显然不成立。下面证明n不小于3时不等式恒成立。对(1+1/x)的X次方求导，得-(1/X)In(1+1/x)(1+1/x)的x次方。当为正数时恒大于零，所以原式在正数范围内严格递增。由e=lim(1+1/x)的x次方（x趋于无穷大）得(1+1/x)的x次方e3，所以原不等式当x大于3时恒成立。8.用数学归纳法证明：1+1/2+1/3+.+1/2的N次方-1nn=1,1=1,不等式成立，设n=k时1+1/2+1/3+.+1/2的k次方-1k则n=k+1时左边=1+1/2+1/3+.+1/2的k次方-1+1/（2(k-1)+1）+1/（2(k-1)+2）+1/（2k)右边=k+1根据假设1+1/2+1/3+.+1/2的k次方-1 k1/（2(k-1)+1）+1/（2(k-1)+2）+1/（2k)2(k-1)*1/(2(k-1)=1所以左边k+1.成立综上，不等式对一切自然数成立9.用数学归纳法证明抽屉原理桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。这一现象就是我们所说的抽屉原理。 抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n1或多于n1个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里至少有两个元素。” 抽屉原理有时也被称为鸽巢原理（“如果有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有2只鸽子”）。它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原理。它是组合数学中一个重要的原理。 一 抽屉原理最常见的形式 原理1 把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。 证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k1)，这不可能. 原理2 把多于mn个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。 证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能. 原理1 2都是第一抽屉原理的表述 第二抽屉原理： 把（mn1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m1）个物体。 证明（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能10.Sn=1+1/22+1/32+.1/n211. 高中数列题1. 设f(x) = xn +nx -1; f(0)= -1=0;所以在f(x)在（0，1/2上必有一根；另f(x) =nx(n-1)+n0 x0; 所以在正数上f(x)是增函数f(x) 在（0，1/2 上有且仅有一根，即an;2. ann+n*an-1= 0 0ann1, nan1;即： 1/(n+1)=an1/n; 可见 an是单调递减的3. bn = n*ann; 所以 n/(n+1)n