第六章 定积分答案一.doc

习 题 六（A）2不计算积分，比较下列积分值的大小（1）与 （2）与（2）与 （4）与解：（1）由定积分的比较性可知在范围内，所以前者大于后者（2）由定积分的比较性可知在范围内，所以前者小于后者（3）由定积分的比较性可知在范围内，所以前者小于后者（4）由定积分的比较性可知在范围，所以前者小于后者3用定积分性质估计下列积分值（1） （2） （3） （4）解：（1）因为在范围内的最大值为1，最小值为所以由定积分的估值定理可知： （2）因为在的最大值为2，最小值为1。所以由定积分的估值定理可知： （3）设则令则解得：所以在上单调递增所以在的最小值为0，最大值是所以由定积分的估值定理可知：（4）易证： 得到：，从中由定积分性质有：4利用定积分的几何意义计算下列积分（1） （2）解：（1）该定积分的几何意义是以原点为圆心为半径的一个圆面积的一半，且在x轴的上方所以原式（2）该定积分的几何意义是以为圆心，以1为半径的一个圆面积的四分之一加一个边长为一的正方形的面积所以原式5求下列函数的导数（1） （2）（3） （4）解：（1）（2）设（3）设则（4）提示：6求下列极限（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9）解：（1）原式（2） 原式（3）原式（4）原式（5）（6）（7）（8）原式（9）7设在上连续，且求证：（1）； （2）在内有且仅有一个实根解：证明：（1）（2）因为上单调增加，又因为又因为在区间上连续所以在区间内只有一个实根8设为连续函数，且存在常数满足求及常数解：对等式两边求导，得：所以.在中令x=a所以9设，说明提示：在两边对x求导可得 10用牛顿-莱布尼茨公式计算下列积分（1） （2） （3） （4）（5） （6） （7） （8）（9） （10） （11） （12）（13） （14） （15） （16）解：（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）14. （15）（16）11设，问取何值时，取极大值或极小值解： 因为在，上大于0，在内小于0 所以在上单调递增，在内单调递增 所以当时，取极大值，时，取极小值。12设比较的大小解：利用奇函数的性质可知, 13用换元积分法计算下列各定积分（1） （2） （3）（4） （5） （6）（7） （8） （9）（10） （11） （12）（13） （14）解：（1）令, 原式（2）令，则.，时；，时（3）=（4）令 （5）令（6）令 （7）令，则积分区域为到（）令（9）令则（10）令则（11）令,则积分上下限变为与1.令积分上下限为:（12）（13）令则（14）令14用分部积分法计算下列各定积分（1） （2） （3）（4） （5） （6）（7） （8） （9）（10） （11） （12）（13） （14）解： （2）（3）=（4） （7）（8）（9）（10）令得，（11）（12）令(13)提示：（14）15利用函数奇偶性计算下列积分（1） （2） （3）解：（1）设 , 则 所以为奇函数，所以原式等于0；（2）设 所以为奇函数且在（-1，1）上连续, 所以原式等于0；（3）提示: 上式中被积函数为奇函数.16求，其中是到离它最近的整数的距离解：17求，其中是不超过的最大整数，简称“取整”解：18设函数，在上连续，且满足等式，求的极小值点