高等几何与解析几何的诞生.doc

高等几何与解析几何的诞生所有科学，包括逻辑和数学在内，都是有关时代的函数。E.H.Moore中世纪的欧洲，历史上称为黑暗时代。战乱频繁，经济落后，生产水平十分低下。及至宗教的禁锢，圣经就是一切，几何学同其它科学一样，处于蒙昧状态。数学工作仅限于翻译和诠释古希腊的部分数学成果 ，数学发展的中心逐渐转向中国、印度和一些阿拉伯国家。十五世纪够半夜其实的两个世纪，后世称为欧洲文艺复兴时期。从这时开始，才渐渐打破万马齐喑的局面。经济的复苏和繁荣推动了科学技术的进步，产生了对数学的强烈需求。作为建筑、绘画理论基础的射影几何开始萌芽；天文和力学的迅猛发展，导致解析几何的诞生。1. 文艺复兴与影射几何的肇始文艺复兴的号角首先在意大利吹响。意大利处于地中海北侧，欧洲南沿，海岸曲线曲折蜿蜒，地理位置十分优越。成为当时的东西方商业贸易中心、经济中心和文化交流中心。正如恩格斯在自然辩证法一书中所说：“社会一旦有了技术上的需要，则这种需要就会比十所大学更能把科学推向前进。”1492年，意大利人哥仑布（Columbus）发现了新大陆。1542年，哥白尼（Copernicus）出版了著名的天体运行论，提出了违反天主教圣经教义的太阳中心说。1590年，意大利的著名科学家伽利略（Galilei）在比萨斜塔上完成了著名的自由落体实验；同时，他把自制的望远镜对准星空，不仅验证了哥白尼的太阳中心说，而且发现太阳有黑子，土星有光环，木星有卫星，真是千姿百态，美不胜收。“从此，自然科学便开始从神学中解放出来。”实现了“人类从来没有经历过的最伟大、最进步的变革。”（引自恩格斯的自然辩证法）。数学方面的进展尽管不能同文学、艺术、建筑和其它科学领域的进展相比美，但也迈出了有创造性的几步。天资非凡的勒奥拉多达芬奇（LeonardodaVinci 14521519）出生在意大利离佛罗伦萨不远的芬奇（Vinci）城。从1495年起，应米兰大公之邀，用了两年时间，为米兰圣玛丽亚教堂格拉茨分院的墙壁上完成了一幅巨作最后的晚餐。这幅壁画描绘耶稣同他的门徒的秘密会见，当耶稣讲完“你们中间有一个人出卖了我”后的一瞬间。耶稣的神情庄重而安详，智慧而忧伤，一副听天由命姿态，使他无论在画中还是在观众心中都是注目的焦点。十二个门徒，十二种气质，十二张脸谱，有条不紊地安排在画中心耶稣的两旁。不，不是脸谱，而是由于听到老师可怕的话而像人那样感到痛苦的面孔。最后的晚餐不仅是艺术史上的旷世杰作，而且严格地按照透视法原理构图，在摄影几何史中有着重要地位。达芬奇不是第一个熟谙透视，甚至集合对绘画的指导作用的人。在他前后，布鲁内希、阿尔贝蒂、弗朗瑟斯卡、丢勒等对透视法都很有研究。然而，只有达芬奇能够最确切、最形象地阐述透视原理的基本思想，并且通过最后的晚餐及其他作品天才地实践这些思想。由于自然界中的物体都是立体的，而画家都只能使用画布或墙壁这样的平面作画。因此，他考虑，必须让画在平面上的物体具有凹凸不平的立体感，或者说是画幅和被画的对象对观众产生同样的印象，这就得探讨人的视觉规律。为此目的，达芬奇写了绘画专论一书，书中称透视法是“绘画的舵轮和准绳。”其中有句名言：“观点是存在于观者的眼睛的。”他建议画一只眼睛所能看到的景物。从景物的每一个能看到的点出发的光线能进入人的眼睛，经过瞳孔的折射，最后在视网膜上形成物体的印象。现在假定在人的眼睛与景物之间放一片透明薄膜，从能看到的点进入眼睛的每一条光线，都穿过这张薄膜上的一点。所有这些点的集合形成了景物在薄膜上的象。这个这一过程，几何上称为中心射影。人眼所在的S点称为射影中心，象点称为射影。通过中心射影所建立起来的景物同它的摄影之间的一一对应称为透视对应，简称透视。研究同一种物体的不同射影之间的共同性质和数量关系的几何学，称为射影几何。回到最后的晚餐的画面，观众能看到的，发生所画事件的房间中的每一个点，对应着画面上的一个定点。房间中的每一条线段（桌子边缘、窗户边缘等），对应着画面上的一条线段。但是房间中的相等线段，画在画面上不一定再相等，某些角也一样，发生了变化。比如房间的天花板是矩形的，画面上都成了梯形。更为突出的是，原物中墙壁与天花板的两条交线是平行的，而画面上的对应直线的延长线却交于一点。实际上，交于耶稣的头象处，这就使画面上的主要人物耶稣基督，处于一个突出的、值得强调的核心位置上，产生感人心脾的艺术效果。不过，透视理论的发展，从萌芽到成为专门的学科射影几何。前后经历了三百年。只有像达芬奇这样兼具艺术家的气质、工程师的才干和数学家头脑的天才，才能冲破中世纪万马齐喑的局面，开除文艺复兴时代几何学的一朵艳丽之花。达芬奇的知识很渊博。艺术上他是无与伦比的天才大师；医学上，他绘制了比较详细的人体解剖图；工程上，他模仿鸟的结构，设计过各种飞行器；几何上，他巧妙地用圆柱滚动一周的方法解决了花圆为方的难题。他研究过等腰梯形、圆内接正多边形的作图，四面体的重心等。他认为：“在科学上，凡使用不上任何一种数学的地方，凡是和数学没有联系的地方，都是不可靠的。”他毕生留下了六千页以上的手稿，被誉为“艺术家中的科学家，科学家中的艺术家”，为绘画、音乐、建筑、植物、动物、生理、地质、天文、力学、光学、数学等各门科学的现代发展开了先河。在射影几何漫长的发展过程中，1639年，自学成才的法国建筑师笛沙格迈出了具有决定意义的一步，他照当时的惯例印发了一本有一个引人注目的长名称的小册子：试论圆锥和平面相截所得结果的初稿这本小册子中，笛沙格首先提出一个新观点，即平行线的射影有交点，因此平行线应在无穷远处相交，他称平行线的无穷远交点为无穷远点。图中，平面上的无穷远点对应于平面上的普通点。同时他还假定直线上的无穷远点与任何其余的点等价。用现代的语言来说，就是笛沙格在欧氏空间中添进了新元素无穷远点，而且所有的无穷远点都共面，称为无穷远平面。这种扩充了的欧氏空间作为新空间的模型是笛沙格最先想到的，现在称为射影空间。射影空间中的几何，称为射影几何。冠上“射影”二字，着重说明这种新几何的内容源自于绘画和建筑中对射影的研究。笛沙格坚持，所有的圆锥曲线，无论是抛物线、椭圆或双曲线，都能从同一种曲线变化而来。因此，能从最简单的圆锥曲线圆出发，了解到椭圆及其他圆锥曲线的性质。直线是半径为无穷大的圆的一部分；平行直线在无穷远处相交；焦点重合的椭圆退化为圆；焦点之一为无穷远点的椭圆是抛物线。这是一种研究圆锥曲线的独特而又巧妙的方法，是笛沙格的创新。笛沙格提出了射影几何中最漂亮的定理：如果两个三角形对应的交点共线（视为透视轴），那么这两个三角形的对应顶点连线共点（视为透视心）。这个定理现在称为笛沙格定理，满足笛沙格定理的几何图形称为笛沙格构图。在笛沙格构图中，共有十个点，十条直线，地位是平等的。任何一点都可作透视心，任何一条直线都可作透视轴。沿着任何一点（或一直线），都可以找到以该点为透视心（或该线为透视轴）的两个三角形。笛沙格考察射影空间时，发现一个类似于欧氏空间中的距离的量，这就是交比。交比是射影几何的基本概念，它在射影变化下保持不变。笛沙格从最简单的圆锥曲线（圆）开始，考察了圆的中心射影性质点线结合性质，这类性质对任何圆锥曲线都适用。假定平面上有一个圆和圆外一点M，从M点（可以是无穷远点）向圆作两条切线（可以是平行线），两个切点确定一条直线m是点M的极线，而点M称为直线m极点。过极点和圆心作直线，交圆周于A、B两点：交极线于N点，这样，直线上出现两对点：一对在圆周上，另一对是极点和对应极线上的点。从而得出，线段AN和NB的长度比等于线段AM和MB的长度比。写成等式：或与之等价的等式通常称为点对N、M调合分割线段AB，或直线上四点N、M与A、B称调合共轭。进一步地，只保留上图中的直线本身及线上四点，取直线外任一点为射影中心，过中心和成调合共轭的四点分别引射线，我们称之为成调合共轭的四条射线。值得注意的是，任做一条直线同这些射线相交，得到的四个新点也是调合的。因为图上没有圆周和极线，从表面上看，很难确定四点是不是成调合共轭。不过，可以通过度量，先求两个比和再求这两个比之比。如果是1，那么四点是调合的。若是别的什么数，称为四点的交比。而且在中心射影变换下，四点的交比保持不变。证明很简单，只要求出从点S出发的线段长度以及它的夹角的正弦，并利用三角形的面积公式即得。笛沙格的想法是独特的，理论是新颖的，只是其中用了一些古怪的术语。他的同时代人热衷于笛卡儿的解析几何，没法接受笛沙格的思想,称他为“怪人”。他的只印了五十本的小册子：试论，也和笛沙格本人一样，不被他的同时代人所理解，没有为社会带来任何进步，也没有为作者赢得应有的声望，而且很快就全部流失了。过了二百多年，法国几何史专家沙尔才找到一个抄本，到了这个时候，才奠定了笛沙格作为射影几何的创始人和奠基者的地位。差不多与笛沙格同时，对射影几何做出重要贡献的另一位重要人物是巴斯加。1640年，年仅16岁的神童巴斯加发表了论圆锥曲线的八页论文，文中包含了三条定义，三个引理和一些定理，但证明没有一一列出。他出生于法国克勒芒，自幼多病，他的父亲埃巴斯加是发现一种特殊螺线（巴斯加螺线）的有才能数学家，为了不让小巴斯加过早接触数学，以免过度紧张的思考损害他的健康，老巴斯加将一切数学书籍都收藏起来。严格的禁令反而激发小巴斯加的好奇心。12岁时他就问父亲：“几何究竟是什么？”父亲回答：“几何学是一门提供正确作图，并找出各种图形之间存在的关系的学科。”说完之后，禁止巴斯加再谈这类问题。然而，巴斯加听了父亲的谈话后，激动的心情不能自已。他自立定义，把欧氏几何中的线段叫做棒棒，圆叫做圈圈，迷恋着棒棒和圈圈组成的图形。她自行证明，独立地发现了三角形内角和定理，并把结果告诉了父亲。父亲惊喜交加，不仅解除了禁令，而且给了他一本欧几里德的几何原本，鼓励他认真学习。16岁时，巴斯加发现射影几何上有着重要地位的六边形定理，他称为“神秘的六边形。”并传说由此推出了近400条结论。19岁时发明了历史上第一架机械传动的计算机。他在概率论和微积分方面也做过一些开创性的工作。更可贵的是他作为笛卡儿的学生，在解析法风靡一时，几何学家都用笛卡儿的方法的潮流下能独树一帜，用纯几何方法取得了自古希腊阿波罗尼以来，研究圆锥曲线的最佳成果。巴斯加才华横溢，思维敏捷。在几何学、概率论、组合论、物理学诸方面成果甚丰。然而自幼体弱多病，短暂的一生几乎都为疾病所折磨。成年后笃信宗教，企图把神学与科学加以调合，后来在失望和痛苦中只活到三十九岁就过早地去世了。他死后，综合几何衰落了两个世纪。2. 解析几何的诞生和发展十七和十八两个世纪中研究几何学的通用方法是笛卡儿发现的解析法。大概这就是导致笛沙格和巴斯加的著作失传及射影几何冷落达二百年的根本原因吧。早在古希腊时代，前面提到过的著名几何学家阿波罗尼就写过论平面轨迹一书，不过已经失传。在流传下来的阿波罗尼的著作中坐标的思想已经见端倪。他把圆锥体的底面直径及过顶点的垂线作为类似于横轴和纵轴的结构。比阿波罗尼略晚一些，另一位希腊数学家希帕恰斯，已经知道星球的位置可以由经纬度来确定。文艺复兴时期，韦达和他的学生用代数方法解决几何问题，几乎走到发现解析几何的大门前。但是解析几何的诞生和发展只有等到数学特别是代数符号系统得到充分发展以后才成为可能。现代公认的解析几何的创始人是法国第一流的哲学家、物理学家、生物学家、数学家的笛卡儿（R.Descartes 15961650）。笛卡儿出生于法国著名军港土伦附近的拉哈耶（La Haye），父亲是一位富有的律师，笛卡儿大学毕业后，一边游历，一边作律师，还到军队里服过役。1617年他在荷兰为一道数学难道所吸引，产生了研究数学的浓厚兴趣。1619年，他随军队驻防多瑙河畔的诺伊堡（Neuberg），苦苦思索怎样把几何与代数结合起来的问题。11月10日晚，他一连做了几个梦，受梦的启示：“我开始懂得这一惊人发现的基本原理”，即解析几何的基本原理。1621年他离开了军队，继续游历，四年后回到巴黎。1628年移居荷兰，一住就是二十年，潜心于哲学和数理的研究，写成宇宙论、方法论等多种著作。但由于他一生笃信科学，反对经院哲学，受到教会的迫害，他的著作被列为禁书。晚年，他被聘为瑞典女王克里斯琴（Christina）的私人教师，为女王讲授哲学，由于这位年轻女王生性怪诞，非要风烛残年的笛卡儿每天早晨五点去为他上课。北欧的隆冬，寒风刺骨，奇冷难熬。严酷的气候和苛刻的条件是笛卡儿染上了肺炎。1650年2月，笛卡儿长眠于瑞典首都斯德哥尔摩。笛卡儿对欧式几何十分偏爱，又深感不安。几何命题的每一步证明，总是要求某种新的、依赖于图形直观的奇巧构思。能不能有更好的一般方法呢？他深信，只要把几何和代数的力量结合在一起，互相取长补短，就能弥补欧式几何的缺陷，就能找到一种解所有几何问题的统一方法。1637年，更好地指导推理和寻求科学真理的方法论（简称方法论）一书出版，作为该书三个附录之一的几何学，阐述了他的坐标几何的思想，标志着解析几何的诞生。笛卡儿的几何学（不单指几何，当时几何与数学是同义语）共分三卷。卷一讨论直线型和圆的尺规图，用语言叙述代替坐标的使用；卷二讨论曲线的性质及巴布什的轨迹问题；卷三讨论当时流行的图解方程问题，特别是三次以上的代数方程图解问题，其中包含了笛卡儿的符号法则。笛卡儿在几何学中通过选定一条射线作为基线的方法建立了倾斜坐标系。用两个坐标x,y表示平面点的位置，形成了明确的坐标概念。然后，他借助于坐标，并通过点动成线的观点用以建立曲线的方程。笛卡儿的方程不只是已知数和未知数之间的一个关系式，不只是古典代数学家心目中的方程，而是两个变数之间的一个关系式，而是平面曲线的一种全新的表示方法。这就实现了代数与几何的相互结合，开创了一门崭新的数学学科坐标几何。1792年拉克鲁瓦（Lacroix）定名为解析几何。解析几何的课题有两类：一类是已知方程求曲线，用方程的代数性质研究对应曲线的几何性质。另一类是已知曲线或仅仅是曲线的某些几何特征，确定曲线的方程，并用曲线的几何性质探讨对应方程的代数性质。总之，笛卡儿的功绩在于：它证明了几何问题可以转化为代数问题，因此，可以使用代数方法研究几何对象，或者说，用形来表示数，用数来研究形，进而探讨周围变化着的客观世界。因为客观世界不过是固体化了的空间，或者说是几何学的化身。正如笛卡儿所说：“给我延展和运动，我将把宇宙构造出来。”笛卡儿的解析几何向着实现这一目标，前进了一大步。笛卡儿研究了线段的定比分点、两点间的距离、三角形的面积等简单几何问题，并用含已知点的坐标的代数公式给出了这些几何问题的解。进一步，它指出，如果两条曲线以同一个坐标系为参考，则其交点有它们的方程的公共解来确定。求出曲线y=f(x)与直线y=0的交点，相当于找到了代数方程f(x)=0的解，这就创造了一种用几何曲线解代数方程的图解法。虽然他称之为几何学，实质上并不是解析几何，只是一部几何代数学。值得一提的是，笛卡儿对坐标几何的贡献只是他研究哲学的附产品，他的唯一数学专著几何学，只是他的哲学著作方法论的三个附录之一。他根据自己的经验和体会，总结出一套科学研究的方法：将一切问题化为代数方程求解的问题，最后将方程的解给以几何的或物理的解释。这种解题模式充分体现了笛卡儿宣称的科学的本质是数学的观点。为科学研究提供了最重要的数学方法代数分析法。笛卡儿认为：古希腊人只能证明那些偶然想到的定理，他们没有系统的方法。只有他自己，把代数解析的方法用于几何，才解决一般问题。笛卡儿之前的数学家都认为：只有量才是靠得住的，数只有能用来表示量时才有意义，如a称为长度数，称为面积数，称为体积数等等。换言之，只有几何才是数学，算数、代数是不严格的、经验的，仅仅是几何的附庸，致使几何统治数学达两千年之久。笛卡儿充分认识到代数的重要性。从逻辑上看，代数的地位更基础一些，分析也是代数的延展，这就使代数不仅从几何中独立出来，而且成为一个重要的数学分支。自然，笛卡儿的工作也不是完美无缺的。他没有引入第二条坐标轴，即y轴；也没有明确使用过“横坐标”、“纵坐标”、“坐标”等解析几何的语言。他的坐标轴只有正向而没有负向，因此，他的曲线仅限于x取正值的第一象限之内。加之语言晦涩，过于精简，人们很难弄清它的基本思想，这就大大限制了他的新颖思想在数学上乃至整个科学上的革命性意义。严格地说，笛卡儿创立的新几何应称为代数几何或坐标几何。现在统称为解析几何是历史原因形成的。在十八世纪，人们把“代数”和“解析”两个词等同对待，当时的解析法即为代数法。因此，为这门新几何命名时，称之为解析几何，后来，一直沿用到现在。同笛卡儿几乎同时的另一位著名法国数学家费马（Fer mat16011665），出生于法国南部的图卢兹（Toulouse）。他与笛卡儿相区别：笛卡儿侧重从轨迹出发然后寻找它的方程，而他则从方程出发然后来研究轨迹；笛卡儿对希腊人的传统持批判的观点，而他是从继承希腊人的思想开始工作的。但他俩确实异途同终，同时而又各自独立地创立了解析几何，理应分享这一崇高的殊荣。1629年费马写成平面和空间轨迹引论一书，内容是关于直线、圆盒圆锥曲线方面的。只是过了半个世纪才公开发表。书中通过引进坐标，找到了用研究代数方程推断曲线性质的一般方法，从而将几何命题的证明归结为一种代数技巧，降低了几何证明的繁难程度。为此，他在平面上取一条底线，考察平面上任意曲线的一般点J，J的位置用两个字母A、E确定。A是底线上O到Z的距离，E是Z到J的距离，ZJ是倾斜于底线OZ的。易于看出，费马所用的坐标就是今天的倾斜坐标，A、E就是X、Y。随后，他给出了几种常见曲线的轨迹方程。用现在的记法，就是：过原点的直线：ax=by； 任意直线：d(a-x)=by； 圆：； 椭圆：； 双曲线：； 另一种双曲线：xy=a； 抛物线：； 费马精辟地加以概括：“凡含有两个未知数的方程，总可确定一个轨迹，并能画出一条直线或曲线。”但是，费马和笛卡儿一样，既没有y轴的概念，也不用负数，不能认为是成熟的坐标几何。费马一生的职业是法官，要求尽量避开社交界，以超凡脱俗的姿态审案判案。为此，他把全部余暇用于数学。对十七世纪数学的所有分支，无论是解析几何、数论、微积分、概率论等都卓有建树。被称为“业余数学家之王”。他一生谦虚谨慎，性格怪异，很少发表文章。他的成果很多是他去世后留下的故纸堆或书籍边缘的空白处发现的，也散见于他与朋友的书信中，许多资料直到现在，还很有研究价值，笛卡儿和费马创立的解析几何都很不完善。稍后一点，英国数学家，皇家学会创始人、牛津大学几何教授瓦里斯（Wallis16161703）在1655年出版的圆锥曲线论一书中，才引进了纵横轴和负坐标，把曲线范围扩大到整个实平面，才是笛卡儿和费马创立的解析几何完善起来。这部著作中，他还考察了阿波罗尼的圆锥曲线理论，用代数方程定义圆锥曲线，历史上第一次搞清了圆锥曲线就是含，的二次方程所表示的曲线。把坐标几何推广到三维空间的是拉希尔（LHire）的工作，他在1679年的论文中，用三个坐标表示空间的点，并给出了空间曲面的方程，尽管这之前，笛卡儿和费马也有类似的设想，不过始终没能变为事实。1691年雅各伯努利（JakobBernoulli16541705）引入了极坐标，先后发现了双纽线，悬链线、对数螺线和旋轮线等多种特殊曲线。1704年，牛顿(Nenton16421727)在他的三次曲线之枚举一书中，将平面三次曲线细分为七十二种。书中定义了三次曲线的直径概念。任意直线l，一般交三次曲线于三点，将看作质量相同的三点时，可求（i=1，2，3）的重心M。牛顿用坐标变换和韦达定理证明了一组平行于l的直线与三次曲线相交所得的交点的重心M的轨迹是一条直线m，牛顿称直线m为三次曲线对应于l方向的直径。牛顿的想法容易推广到n次平面曲线。特别当n=2时，就是我们所熟悉的二次曲线的直径，这是一组平行弦中点（重心）的轨迹。牛顿与瓦里斯一样，正确地使用了纵横轴和负坐标，曲线与方程名副其实地形成一一对应的关系。1705年居西尼（Guisnee）在代数在几何中的应用一书中，第一次明确使用直角坐标系。1731年，法国的克雷洛(Clairaut17131765)指出，表示空间曲线需要两个曲面方程；而x,y,z的齐次方程则表示顶点在原点的锥面。这之后一年，赫尔曼(Hermann16781733)在克雷洛的成果中加了一条：方程表示是绕z轴旋转的旋转曲面。第一本现代形式的解析几何教程是1784年出版的欧拉（Euler17071783）的无穷小分析引论。该书的第二部分专讲几何学，引入了直角坐标、斜角坐标和极坐标的概念；使用了弧度制，定义了三角函数，给出了六种三角函数的现代记号；详尽地研究了一般二次曲线以及部分高次曲线；定义了欧拉角，给出了空间直角坐标变换的公式，考察了一般形式的三元二次方程表示的曲面，以及将它化为锥面、柱面、椭球面、单叶双曲面和双叶双曲面、椭圆抛物面和双曲抛物面的方法。1788年法国数学家、天文学家、物理学家拉格朗日（Lagrange17361813）发表了他的最重要的力学著作解析力学，书中使用向量表示力、速度和加速度等具有方向的量，用于研究质点力学和刚体力学，为向量几何奠下了第一块基石。1804年法国数学家蒙日(Monge17461818)和他的学生哈歇特(Hachette)在代数在几何中的应用一书中，证明了二次曲面的平截线是二次曲线，单叶双曲面和双曲抛物面都是直纹曲面。欧拉，拉格朗日和蒙日公认为是使解析几何成为一门独立学科的最重要的三位数学家。1827年和1831年，德国的莫比乌斯（Mobius）和普吕克(Plucker)，分别在重心计算和解析几何的发展两本书中各自独立地引进了齐次坐标，用以研究曲线的无穷远性质。普吕克还是给出形如（是两条圆锥曲线方程）的圆锥曲线方程的第一人。1844年，德国人格拉斯曼（Grassmann）最先提出多维欧氏空间的概念，引进了向量的记号，定义了向量的数量积，使解析几何从坐标代数进入向量代数的更高阶段。 解析几何的近代发展，产生了无穷维解析几何与代数两门新的几何分支。无穷维解析几何是建立在德国数学家康托(Cantor)无限集基础上的一门新兴的几何学。弗雷歇(Frechet18781973)、里斯(Riesz18801956)、希尔伯特等为他的创立和发展做出了重要贡献。无限维的希尔伯特空间是n为欧氏空间的一种推广，它要求无限个变元的平方和（）收敛，换成几何语言则是希尔伯特空间中任一点到坐标原点有一个有限的距离，这门学科在量子力学上有着广泛的应用。古典的代数几何学以多项式理论为工具，考察三次和三次以上的代数方程或方程组表示的曲线和曲面的结构和性质。前面提到，牛顿研究过三次曲线。1839年，普旅客在他的代数曲线理论一书中，为代数几何奠定了基础；凯莱和库麦尔(Kummer)分别于1849年和1864年研究了三次曲面和四次曲面的性质。19世纪后半叶，意大利学派把这类研究推广到n维空间内，讨论一组代数方程： （i=1，2，m）这里是多项式是中的一组坐标，用代数不变式研究这组方程表示的n-m维流行的重数、奇点、亏格等。1906年赛维利（Severi）总结了这方面的研究成果。现代的代数几何学使用抽象代数（交换环、同调代数）和拓扑学（层论，上同调理论）的理论和方法，为这门学科准备了新的基础，特别要提到20世纪著名的女数学家爱米诺特(ENoether18821935)，他的学生范德瓦尔登(Vander Waerden)，以及魏依(A Weil)、查瑞斯基(Zariski)、塞尔（Serre）、小平邦彦等杰出代表的贡献，与古典代数几何相比较，主要在两方面做了推广：一是研究对象推广到流行或簇（代数流形、复流行或高维代数簇）；二是定义流形或簇的方程系数从实域、复域的元素推广到一般的抽象环或域中的元素。与之相应，研究方法也从古典的算术、代数、几何法更新为抽象代数学的方法、拓扑的方法。要指出的一点是，代数几何学是一门十分艰难，而又成果迭出的数学学科。本世纪六十年代以来，好些数学家因这方面的成果而获得菲尔兹奖。可惜的是在这个领域内，我国还几乎是个缺门。尽管1986年以来，华东师范大学以肖钢为首的一批青年人做过一些出色的工作。第二章解析法与综合法在斗争中发展 目前，人们不再去注意现代综合几何学和解析几何学之间的实质性差别，因为，它们的研究内容和讨论方式越来越变得完全类似了。FKlein笛卡儿创立的解析几何问世后将近二百年的时间里，解析的方法风靡一时，几何完全排斥了用综合法研究几何学。尽管有上一章提到过的笛沙格，巴斯加等坚守综合几何阵地并创造卓越成果的少数例外，但在解析几何和微积分的巨浪冲击下，几乎被人忘记。直到十九世纪初，才逐渐扭转了这种不正常的现象，这要归功于法国的几何学家蒙日和他众多的得力弟子。本章介绍为射影几何的发展和完善做出杰出贡献的几位几何学家，他们之中有的只用综合法，有的只用解析法，有的兼用两种方法，几何学就在这两种方法中此消彼长的矛盾斗争中得到发展。1.从俄国俘虏到几何学家蒙日的众多弟子中，为复兴综合的射影几何学做出杰出贡献的第一人是法国工程兵军官彭色列，他的经历是传奇性的。1812年在法国皇帝拿破仑进攻俄国的七十万大军中，有一名工程兵中尉，他就是彭色列。同年12月的斯摩梭斯克战役，法国惨败，将近一半的拿破仑士兵成了俄国人的俘虏。躺在死尸堆中的彭色列，出于偶然，躲过了死神的召唤，成了俘虏中的一员，与1813年6月被关进伏尔加河畔的沙拉托夫监狱，为了度过难以忍受的铁窗生活，他在没有任何书籍的情况下靠回忆战前在巴黎高等工艺学院读书时老师的讲课构思了一种新的几何学。十五个月后他被释放出狱，回到巴黎，依靠整理随身携带的七大本“狱中笔记”，完成了论图形的射影性质这部重要的著作，与1822年出版。我们知道，几何学在研究空间性质时，不涉及那些非本质的、没有意义的性质。如象研究正方形，现实中的正方形，有如画布上的方格，总是涂有某种颜色。对于颜色这类属性。几何学家是不感兴趣的。几何学家研究的是没有颜色的正方形，无需担心这样的正方形在自然界中可能不存在。搞清“无颜色”的正方形的某个性质之后，可以将这个性质马上用到所有的正方形上去，无论它是黑色的，还是黄色的。对于几何学家来说，看中的是这种性质不随颜色的变化而变化这一本质特征。同样，也可以考察某一类几何图形在某类变换下保持不变的性质。比如在射影变换下保持不变的性质。诚然，这时要抛弃许多习以为常的性质，如角的相等。这条性质有如前面的“颜色”，是我们不需要的。因为它不是射影变换下保持不变的射影性质。垂直的性质也没有了。回想一下最后的晚餐的画面，那里既没有矩形，也没有正方形，连菱形的对角线互相垂直并且平分顶角的性质也不存在了。因为没有了相等线段的概念，当然也就没有了菱形本身，这一类“颜色”不是我们需要的。同样勾股定理也不属于射影性质。也许这种几何里已经没有剩下多少值得研究的内容了吧。实事并非如此！这种称为射影几何的新几何保留了许多深刻而优美的性质。比如共线四点的交比保持不变，成调合的四点保持不变，著名的巴斯加定理也保持不变，等等，我们将在下面详细讨论。让我们做一个内接于圆锥曲线（从射影几何的观点看，各类圆锥曲线之间没有区别）的六边形。延长1和4，2和5，3和6等边，使它们分别相交，因为射影几何里不存在平行的情况。这样得到了三对直线的三个交点，那么三点是共线的。这个结论包含在巴斯加定理中。现在，如果把圆锥曲线，它的内接六边形以及通过六边形三组对边交点的直线（称为巴斯加线），投影到另一个平面上，那么在任何情况下，圆锥曲线及其上述三点共线的性质都是不变的。所以，巴斯加定理属于射影几何的一个定理。彭色列发现，射影性质中有些是很有趣的。为了说明这个问题，让我们回到欧氏几何的最精彩的一章正多面体。取最简单的正四面体，它有四个面和四个顶点。若用过顶点而且平行于对面的平面来代替四面体的顶点，则得到新的四面体。同样，若用四面体的每一个面的中心来代替这些面，并把各个中心连接起来，我们又得到一个正四面体。再看立方体，它有八个顶点和六个面，若用过顶点而且垂直于对角线的平面代替每一个顶点，则得出有六个顶点和八个面的正八面体。若用每一个面的中心代替立方体的这些面，并把这些中心连接起来，又得到一个新的正八面体。这两个例子说明，用面代替点或者相反用点代替面，都能得出新的几何体，情况都很类似。自然，空间图形要复杂一些。我们将寻找一个同空间情形类似的，适用于平面图形的法则。显而易见，在平面情形下，将不是“点和平面”的对换，而只是“点和直线”的对换。怎样才能实现呢？大家知道，过不同的两点可以确定一条直线。若将点和直线对换，则有过不同的两条直线可以确定一点。后一句话听起来很别扭，但是理解起来并不难，即两条直线交于一点。（注意：平行性不是射影性质！）为了修饰这类语句，几何上引入一个术语“关联”。就是说直线和点的关联，理解为，点落在直线上或直线过一点。现在可以这样说：两个不同的点关联于同一条直线。两条不同的直线关联于同一个点。再用一次巴斯加定理作为例子可以这样说：假定点列1、2、3、4、5、6和圆锥曲线相关联，那么同直线对12和45，23和56，34和61相关联的三点，关联于同一条直线。假定直线束1、2、3、4、5、6和圆锥曲线相关联，那么同点对12和45，23和56，34和61相关联的三直线，关联于同一个点。右边的新定理是蒙日的另一个学生布利安香于1806年所证明的。其中的12不是1乘2，而是射影几何这一学科的一种专门记号，即表示点1、2所连成的直线，又表示直线1、2相交所成的点。彭色列指出，如果对偶原则得到证明，那么布利安香定理就自然成立。对偶原则系指这样的一条原则，即从每一个关于平面上点和直线的射影命题，可以通过点和直线的对换得到另一个新命题。彭色列用射影变换的方法证明了对偶原则。差不多同时，吉尔冈纳和莫比乌斯也各自独立地用公理法和解析法证明了对偶原则。总而言之，彭色列在他的著作中分离出了几何图形的一类射影性质，找到了考察射影空间内部结构的特殊工具对偶原则。另外，关于圆锥曲线的配极理论，关于圆上无穷远虚点的理论也应归功于他。彭色列复兴了射影几何，把射影几何建成了数学的一个新的分支；彭色列为沉睡了将近二百年的综合法大声疾呼，使这种研究几何学的古老方法能够在十九世纪返老还童，青春常在；彭色列是近世几何的奠基人，对近世几何学起了承先启后的作用。遗憾的是，彭色列的后半生没有更多的精力和时间对他所发现的新几何学作出进一步的贡献。让我们引用德国著名数学家克莱因题为数学在十九世纪的进展的演讲中的一段，概述彭色列从俄国俘虏营回到法国以后的一段生平。“和平重新使他得到了自由。从1815年起，他作为军队中的一名工程师一直在麦茨的一家兵工厂工作但是越来越多的社会活动分散了他进行科学研究的精力。像他晚些时候自己所说的那样，他违背了自己想让给阿拉贡的意愿，被迫负担了麦茨职业学校的行政领导工作。这期间，他把自己在国外的研究成果献给了自己的祖国，特别重要的是他向国内介绍了当时英国工业的繁荣景象。虽然他在1826年出版了自己的力学教程，但是行政和教学方面的工作迅速地耗尽了他的精力。从1835年开始，他任职于巴黎高等军事学院，并成为国访委员会的委员。同时在1838年到1848年间，他还兼任高等工艺学院的教授，后来晋升为校长，他的高级职务使他在1851年当选为在伦敦举办的首届世界博览会的法国代表和评委会主席；1855年他又参与了巴黎举办的世界博览会的筹备工作。他的生命悲剧在于，一个如此有才能的人，没有得到贡献自己学术专长的机会。直到1864年以后的时日，他已进入耄耋之年，才陆续刊出他的论文。它极为沉痛地抱怨自己的命运，命运使他抛弃了自己热爱的事业，并且使他的成果失去了早该得到承认的机会。现实生活与追求安宁之间存在着矛盾，这种外在的不和谐使他走完了自己的一生。1867年彭色列离开了人世。”在彭色列前后，为复兴综合的射影几何而呐喊的还有马克劳林、杜潘、布利安香、卡尔诺、比奥、塞瓦等人。除马克劳林时间稍早，而且是英国人外，其余数人与彭色列一样，都是蒙日的学生。稍晚一点，还有沙尔。他们与蒙日不同，不是让综合法与解析法两种方法并重，而是情有独钟，为综合几何的直观和优美所倾倒，攻击解析几何不是几何，逻辑不严密，方法不完善，除了一堆难懂的符号外什么也没有。实际上他们中的一些人也并不完全排斥解析的方法，只不过暗里用解析法进行思考，明里用综合法进行陈述而已！2.从牧羊儿到几何教授接受以彭色列为代表的法国射影几何学派的观念，增五解析方法，偏爱综合方法，开德国纳粹几何学派先河的第一人是斯坦纳。斯坦纳的父亲是距伯尔尼不远的小镇乌泽多尔弗的一个瑞士农民。青年时代，斯坦纳一直在农场干活，终日与犁头、镰刀和羊群做伴。正像后来他自己所说，直到十九岁才刚会写字，未曾受过正规的教育。多年之后，这种境遇给斯坦纳教授带来不小的痛苦。按照普鲁士教授们的说法，这个“暴发户”太粗鲁，缺少教养。在同龄人当中，斯坦纳具有特别旺盛的求知欲。他通宵达旦地观察星空，具有丰富的天文实际知识；他的心算十分出色，幻想着将来成为一名教师。难得的好学和倔强的个性是斯坦纳被推荐进了彼斯达罗兹在伊凡尔顿办的一所很有特色的学校。教育学家、数学家彼斯达罗兹在瑞士教育界声名显赫。他有一套独特的初等教育理论，认为工作本身就是学习，认为直观的想象和工作的经验是学习知识的途径。他办学的目的是为了实践他的教育理论。学生来自各个国家，不少人出身贫寒。起初，斯坦纳充当学校的一名杂役。经过一月的努力，得到了免费学习的机会。多年以后，斯坦纳回忆说：“数学教育是讲究方法的。我作为斯比达罗兹学校的学生，运用该校的独特方法，找到了一条受教育的捷径，打下了较为牢固的基础。由于我常常成功。老师们都喜欢我。”毕业后，斯坦纳成了该校教师中的一员，实现了年轻时的理想。1818年学校因经费困难停办，他出于对几何的特殊兴趣，到了德国海德堡，自修法国的射影几何。1922年进入柏林大学。1834年，成为柏林大学教授。他的第一批数学论文发表于1826年，最重要的一篇是论几何映射的系统分析。这篇论文从简单的点和直线说起，两者之间的最简单联系是透视。直线l上的点列A、B、C、D，对应着直线的点列、，而且对应点连线a、b、c、d以点S为中心。现在用点L代替直线l，点代替直线，直线s代替点S，直线a、b、c、d和代替点A、B、C、D和、，这是对偶原则的应用。前一种情况下，两个点列用线束来形容对应。后一种情况下，两个线束用点列形成对应。这两种对应都称为透视。分别记为：A、B、C、D、a、b、c、d根据斯坦纳的建议，将点列和线束称为“一维流形。”透视对应具有哪些性质呢？显然反身性和对称性是满足的。传递性却不一定，即若A、B、C、D、一般地并不能断定：A、B、C、D因为这时直线：不一定共点，就是说由两个透视对应合成的新对应一般不是透视的。但是等式两边的数值是能传递的，所以四点的交比不变。尽管透视不再保持，点列A、B、C、D和仍保持某种密切的联系。就是说，连续几次透视的得到点列仍然具有交比不变这样的射影性质。因而有如下的定义：两个点列中，如果对应的任意四点的交比都相等，就称这样的一一对应为射影对应。记为：A、B、C、D、意味着对于仁义四组对应点LMNP和，只要各自分属于点列A,B,C,D,E和，就成立等式：若用下述简便记法：上面的等式变得更简单：对于透视来说，上述条件是满足的。因而透视对应是射影对应的特殊情况。根据对偶原则，容易把点列成射影对应的定义和性质推广到线束的相应情形。从前面的叙述可以得出一个结论,两个成射影对应而不成透视对应的点列之间对应点的连线不共点；化为对偶的语言，就是两个成射影队影二不成透视对应的线束之间对应直线的交点不共线。不共线的点怎样分布呢？斯坦纳发现，所有的点都分布在同一条二阶曲线上，因此，斯坦纳把二阶曲线定义为两个不同心、非透视的射影线束对应直线交点的集合。这个定义揭露了二阶曲线的实质是由一次线束构造出来的，为二阶曲线的几何法作图提供了一种优美而又简单的方法。设，任取线束S,可以很容易作出d的对应直线，使线束，且。方法是这样的，设，过A作两条直线，分别交于A、B、C、D，交于。设，连结，使同相交，交点是，则就是d的对应直线，由斯坦纳的定义，知必在所确定的二阶曲线上。又d是线束S中任取的，故是上的流动点，即的纯几何作图完全得到实现。将对偶原则应用于斯坦纳定义，既有两个不同底、非透视的射影点列对应点连线的集合。这是一种新结构，称为线曲线，以区别于作为点的轨迹的点曲线，实际是某一条曲线的包络，这条曲线与线曲线中每一条直线切于一个点，通常称为二级曲线。二阶曲线和二级曲线都是二次曲线。但是观察问题的角度不同，把点作为平面的基本元素，那么二级曲线的切点的全体组成二阶曲线；把直线作为平面的基本元素，那么二阶曲线的切线的全体组成二级曲线。在斯坦纳之前，由于古希腊以来传统习惯的影响，对各类圆锥曲线的了解是肤浅的，互相割裂的，双曲线是代数上作为反比例函数的图像而出现的，抛物线是作为二次函数的图像来研究的，而椭圆则同行星运动的刻卜勒定律联系在一起，它们在几何中毫无地位。斯坦纳认为，从射影的观点看问题，三者没有任何区别，都是射影线束对应直线交点的轨迹，或射影点列对应点连线的包络。这样，斯坦纳从一团乱麻中理出了头绪。那就是把简单的结构（点、线、棉、点列、线束，面束）通过映射，构筑复杂的结构，进而建立起一座纯粹几何学的大厦！在这座大厦中，从最底层开始，规则地排列着笛沙格定理，巴斯加定理；用一次点列和一次线束构造二次曲线和二次曲面；低维流形构造告维的曲线和曲面。对于思维的进一步飞跃，已经没有什么大的障碍。不少的几何学家，如俄国的安德列耶夫，格拉哥列夫沿着斯坦纳开辟的这一研究方向，都做过不少有益的工作。遗憾的是斯坦纳本人在这一十分重要的方向上没有做出进一步努力，甚至他没有证明自己提出的一些重要理论，比如前面提到过的二阶曲线、二级曲线就是圆锥曲线的定理。原因是多方面的，斯坦纳富于创造、富于批判的精神常常遭到误解；没有受过正规教育的缺陷使他缺少同其他科学家的联系，不仅不熟悉前人的成就，甚至不了解与他同时代的人的成果；加之长期身患重病，当他的一生结束时，没能来得及解决他自己提出的一些高水平的问题，就连前面提到的重要著作：论几何映射的系统分析，也只写了其中的一部分。1833年，他在一本用定圆和直尺完成的几何作图的书中指出，如果平面上有一定圆，则能只用直尺完成任何一个用尺规才能完成的作图。1836年，他证明了周长一定的封闭曲线围成的任何平面图形中，圆的面积最大。1863年，他与世长辞了。从一个识字不多的牧羊儿成长为大学教授，瑞士科学院院士，需要多么顽强的毅力啊！斯坦纳勇敢地走完了这段路程。3. 奇妙无比的莫比乌斯带十九世纪上半叶，正当彭色列、斯坦纳等为综合的射影几何的发展大声疾呼时，另一些几何学家却在用代数的方法默默地研究这同样的内容。莫比乌斯就是这一类几何学家的代表。他的传记中说，出生在德国，职业是天文学家，实际是几何学家。他在几何上的贡献是多方面的，仅以他的名字命名的就有莫比乌斯带，莫比乌斯几何（保形几何）等。1840年他提出了著名的为地图着色的“四色问题”，难倒了许多大名鼎鼎的数学家。1827年，它的主要著作重心计算一书出版。书中不仅没有像纯粹几何学派的成员们那样，把笛卡儿的坐标当成分析的象形符号而加以排斥。反而把它从欧氏空间推广到了射应空间，从普通的笛卡儿坐标发展为齐次坐标，使齐次坐标成为用代数法研究射影几何的有力武器。大家知道，重心就是重力的中心，本是力学上的术语。我们看看莫比乌斯怎样巧妙地借来为几何学服务的。莫比乌斯从研究线段AB当作无重量的棒。假定在棒的两端分别挂上质量为和的两重物，那么重心M离棒端A和B的距离应同质量和成反比，即。若将两个质乘以同一个不为零的数P，显然重心M的位置不变。因此，重心的位置与质量的度量单位无关，只由两个数之比完全确定。把上面的问题倒转来，给定棒上一点M为重心，通过度量线段AM和MB，可以求得两个数和，使满足：。这样，就在线段AB上建立了一个坐标系。数组对应着线段AB上除去端点外的所有点集。把极限情况考虑在内，可取点A的坐标（0：1），点B的坐标是（1：0），从而和能取一切非负实数。显然，映射不是一一的。同一点M对应于无限多个数组，或一切成比例的数组。这种情况告诉我们：这里的坐标不同于习惯的笛卡儿坐标。不过容易改进，办法是将一切正数数组的集合加以分类，每一类中包括所有成比例的数组。比如（1：2），（3：6），（1.5：3）等等。又如（P：0）的类，由（1：0）、（2：0）、（3：0）等等组成。这种分类法使每个数组属于一类且只属于一类。称每一类本身为等价类，而类的集合（不是数组作元素，而是类作元素）称为集簇。就这样，非一一对应的点和数组通过集簇转化为一一对应的点和类（集簇的元素）莫比乌斯称上面的坐标系为AB线段上的重心坐标系。AB上的点M