高中数学 探究导学课型 第三章 三角恒等变换 3.1.23.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)课件 新人教版必修4.ppt

3 1 2两角和与差的正弦 余弦 正切公式 一 自主预习 主题1 两角和的余弦公式1 由于公式c 对于任意 都成立 那么由cos cos cos sin sin 如何得到两角和的余弦 提示 用 代替 2 在公式c 中 的条件是什么 提示 为任意角 通过以上探究得到什么结论 用文字语言描述 两角和的余弦等于两角余弦之积与两角正弦之积的差 两角和的余弦公式 c cos cos cos sin sin 主题2 两角和与差的正弦公式1 根据公式c 能求sin75 的值吗 提示 可以 因为sin75 cos15 cos 45 30 2 你能根据公式c 和诱导公式推导出用任意角 的正弦 余弦值表示sin sin 的公式吗 提示 可以 sin cos cos coscos sinsin sin cos cos sin sin sin cos cos sin 结合以上探究过程 试着写出两角和与差的正弦公式 s sin s sin sin cos cos sin sin cos cos sin 深度思考 结合教材p129例3你认为应怎样利用和差角公式求值 第一步 第二步 利用条件求出 与 角的正 余 弦值 代入和差角公式计算 预习小测 1 cos78 cos18 sin78 sin18 的值为 解析 选a cos78 cos18 sin78 sin18 cos 78 18 cos60 2 cos165 等于 解析 选c cos165 cos 180 15 cos15 cos 45 30 cos45 cos30 sin45 sin30 3 若cos 则cos 解析 因为cos 所以sin 所以cos cos cos sin sin答案 4 cos71 sin11 sin71 cos11 解析 cos71 sin11 sin71 cos11 cos71 cos79 sin71 sin79 cos 71 79 cos150 cos30 答案 备选训练 1 化简求值 2 sin cos cos sin 解析 2 sin cos cos sin sin sin 2 设 若sin 求sin 仿照教材p129例3的解析过程 解析 因为 是第二象限内的角 根据sin2 cos2 1 sin 其中cos 0可得cos 又根据两角和的正弦公式得sin sin cos sincos sin cos 互动探究 1 将公式c c 进行对比 两个公式有什么区别和联系 提示 两个公式的共同特点是 同名相乘 符号相反 不同点是中间的连接符号不同 2 c 与诱导公式有什么关系 提示 令 2k k z 0可得到相应的诱导公式 因此诱导公式是和差角公式的特例 3 将公式s s 进行对比 两个公式有什么区别和联系 提示 两个公式的共同特点是 异名相乘 符号相同 不同点是中间的连接符号不同 4 sin 与sin 相等吗 在利用公式s 时要注意什么 提示 sin sin 在利用公式s 时要注意作差顺序 探究总结 知识归纳 方法总结 两角和与差的正 余 弦公式的一般使用方法 1 正用 把sin cos 从左向右展开运用 2 逆用 公式的右边化简成左边的形式 实际上是一个 化一 的过程 当结构不具备条件时 要用相关公式调节后再逆用 3 变形应用 它涉及两个方面 一是公式本身的变用 二是角的变用 也称为角的拆分变换 如 2 题型探究 类型一 利用和 差 角公式化简 典例1 化简下列各式 解题指南 1 直接利用两角和 差 公式展开即可 2 将2 化为 然后利用两角和的正弦公式展开化简即可 解析 1 原式 sinxcos cosxsin 2sinxcos 2cosxsin coscosx sinsinx sinx cosx sinx cosx cosx sinx 2 原式 规律总结 化简三角函数式的标准和要求 1 能求出值的应求出值 2 使三角函数式的种数 项数及角的种类尽可能少 3 使三角函数式的次数尽可能低 4 使分母中尽量不含三角函数式和根式 巩固训练 化简求值 1 sin14 cos16 sin76 cos74 2 sin 54 x cos 36 x cos 54 x sin 36 x 解析 1 原式 sin14 cos16 sin 90 14 cos 90 16 sin14 cos16 cos14 sin16 sin 14 16 sin30 2 原式 sin 54 x 36 x sin90 1 3 方法一 原式 方法二 原式 类型二 给值 式 求值问题 典例2 2016 邢台高一检测 已知 解题指南 由 知 可先求sin 再根据公式求sin 延伸探究 1 本例中条件不变 试求cos 的值 解析 由例题知 2 若把本例中的条件 改为 其他条件不变 则sin 的值是多少 规律总结 条件求值问题的原则和基本思路 1 三看 原则 一看角 注意已知角与所求角之间的关系 恰当地运用拆角 拼角技巧 二看名 恰当利用同角三角函数关系进行转换 尽量减少函数名称 三看式子的结构与特征 恰当选择公式 2 基本思路 化为特殊角的三角函数值 化为正 负相消的项 消去求值 化分子 分母出现公约数进行约分求值 拓展延伸 1 cos cos sin sin 和cos cos 的关系cos cos cos cos sin sin cos cos 2 sin cos cos sin 和sin sin 的关系sin cos sin sin cos sin sin sin 补偿训练 已知cos cos 2 求cos2 的值 解析 因为cos 2 所以sin 因为cos 所以cos2 cos cos cos sin sin 类型三 给值 式 求角问题 典例3 1 2016 武汉高一检测 设 为钝角 且sin cos 则 的值为 2 2016 泸州高一检测 在 abc中 若sinasinb cosacosb 则 abc的形状为 解题指南 1 根据 的范围 确定求cos 2 根据条件的结构组成 可使用两角和的余弦公式化简 再根据三角函数的符号判断角的大小 解析 1 选c 因为 为钝角 所以由sin 得 所以cos cos cos sin sin 又因为 2 所以 2 由sinasinb0 所以cosc cos a b cos a b 0 故角c为钝角 所以 abc的形状为钝角三角形 答案 钝角三角形 规律总结 解决给值 式 求角问题的方法解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值 而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定 当所求角范围是 0 或 2 时 选取求余弦值 当所求角范围是或时 选取求正弦值 巩固训练 已知cos sin 0 0 求角 的值 解析 因为所以sin 又因为0 所以0 因为sin sin 所以cos 所以sin sin sin cos cos sin 又因为0 所以 类型四 辅助角公式的应用 典例4 1 2015 四川高考 sin15 sin75 的值是 2 求函数y cosx cos的最大值 解题指南 1 根据sin75 cos15 逆用两角和的正弦公式求解 2 逆用两角和与差的正弦 余弦公式 将函数转化为y asin x 或y acos x 的形式 再利用三角函数的性质求最大值 解析 1 sin15 sin75 sin15 cos15 sin 15 45 答案 规律总结 1 asinx bcosx的化简步骤 1 提常数 即把asinx bcosx提出得到 2 定角度 由 1 我们不妨设则得到 cos sinx sin cosx 3 化简 逆用两角和的正弦公式可得asinx bcosx sin x 2 公式的功能和结论 1 公式的功能