巧用空间向量解立体几何题.doc

巧用空间向量解立体几何中题 摘要：近几年高考，空间向量在立体几何中的应用占重要的地位。空间向量是数学中的重要知识之一，由于它具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点。对于立体几何体中有关夹角、距离、垂直、平行的问题，可将其转化为空间向量间的夹角、模、垂直、平行的问题，利用空间向量的方法解决。利用空间向量，使复杂的逻辑推理证明变成简单的程序化算法，使问题简单化。关键词：空间向量；立体几何；应用；在立体几何中有比较难以解决的两大问题：角和距离的求解问题。空间中的各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角，以往学习空间角的问题，难点在于数形转换，“作、证、算”的规范步骤，这是对点、直线、平面所组成的空间图形的位置关系要具有定性分析和定量的计算的能力。空间的距离包括：点到点的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、异面直线的距离、直线到平行平面的距离、两个平行平面的距离。用常规的解法中难点在于数形转换，而且很容易造成视觉的误差，这对学生的空间想象能力有较高的要求。如果我们应用空间向量，就可将使得原本很繁琐的推理，变得思路清晰且规范，从而提高学生的空间想象能力和学习效率。本文就空间向量在角度与距离的计算，垂直、平行的证明等方面的应用进行探讨。一、 空间向量在立体几何中角度问题的应用1、 异面直线的夹角：例1（广东卷）如图所示，、分别是圆O、圆O的直径，与两圆所在的平面均垂直，.是圆O的直径，,. (II)求直线与所成的角.解：以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，0），B（，0，0）,D（0，8），E（0，0，8），F（0，0）所以，设异面直线BD与EF所成角为，则所以，直线BD与EF所成的角为。点评：对于那些求异面直线夹角运用传统方法求解难度较大的题目，用空间向量的方法进行处理，就能降低难度，整个操作过程，非常简捷。用空间向量的方法，更易于学生掌握。2、 直线与平面的夹角：DBCAS例2（全国理19题）四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD。已知ABC45，AB2，BC=2，SASB。()求直线SD与平面SAB所成角的大小；解：如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，所以取中点，连结，取中点，连结，与平面内两条相交直线，垂直所以平面，与的夹角记为，与平面所成的角记为，则与互余，所以，直线与平面所成的角为。点评：本题应用空间向量的方法，使复杂的逻辑推理变成简单的程序化算法，使问题简单化。使原本很繁琐的推理，变得思路清晰且规范，从而提高学生的空间想象能力和学习效率。3、 二面角：例3（宁夏理19题）如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，为中点 （）求二面角的余弦值证明：以为坐标原点，射线分别为轴、轴正半轴，建立如图的空间直角坐标系设，则的中点 故等于二面角的平面角，所以二面角的余弦值为点评：用空间向量处理二面角这类问题，可以使求解过程得到简化，体现了空间向量在处理立体几何问题，特别是角度问题的高效性，同时也扩展了他们的视野，让同学们接触到一种更高的数学思维方式，用这种方式去处理问题，使复杂的问题，简单化，统一化。二、 空间向量在立体几何中距离问题的应用xzABCDOFy1、 点与平面之间的距离：例4（福建理18题）如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。求点C到平面A1BD的距离；解：取中点，以为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，平面为平面的法向量点到平面的距离点评：用空间向量处理点与平面之间的距离这类问题，使复杂的几何问题，简单化，统一化，更易于学生掌握。三、 空间向量在立体几何中垂直问题的应用1、 直线与直线的垂直：例5（浙江理19题）在如图所示的几何体中，平面ABC，平面ABC，M是AB的中点。（）求证：；证明：如图，以点为坐标原点，以，分别为轴和轴，过点作与平面垂直的直线为轴，建立直角坐标系，设，则，因为，所以 ， 故 点评：对于那些证明直线与直线的垂直的题目，用空间向量的方法进行处理，就能降低难度。整个操作过程，非常简捷，更易于学生掌握。2、直线与平面的垂直：例6（福建理18题）如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点，求证：AB1面A1BD。ABCDOF解：取中点，以为原点，的方向为轴的建立空间直角坐标系，则，平面点评：在证题过程中，可以发现：用空间向量处理这类问题最大特色：可以将严格几何演绎推理转化为简单代数推理方式，大大缩短了教与学所花费的时间，同时也让同学通过更高的数学思维方式，抓住了事物的主要特征和内在规律，为他们继续学习打下良好的基础。可以避免构图和推理的复杂过程，减少了解题琐碎的技巧，降低了题目的难度。3、平面与平面的垂直：例7（湖北理18题）如图，在三棱锥V-ABC中，VC底面ABC，ACBC，D是AB的中点，且AC=BC=a，VDC=。ADBCVxyz求证：平面VAB平面VCD ；解：以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则于是，从而，即同理，即又，平面又平面平面平面 点评：用空间向量处理平面与平面的垂直这类问题，可以将严格几何演绎推理转化为简单代数推理方式，同时也让同学通过更高的数学思维方式，抓住了事物的主要特征和内在规律。可以减少了解题琐碎的技巧，降低了题目的难度。四、 空间向量在立体几何中平行问题的应用1、 直线与平面的平行：例8（江西理20题）右图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC已知A1B1B1C1l，AlBlC190，AAl4，BBl2，CCl3。设点O是AB的中点，证明：OC平面A1B1C1；证明：如图，以为原点建立空间直角