（试题 试卷 真题）第24讲：和差问题--解法归纳(55页)

第24讲：和差问题-解法归纳数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究，在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（滚动）等，就问题类型而言，有最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。1618讲，我们从运动对象的角度对轴对称（翻折）、平移、旋转（滚动）问题进行了探讨， 1921讲我们从运动对象的角度对点动、线动、面动问题进行了探讨，2226讲我们从问题类型的角度对最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题进行探讨。结合2013年全国各地中考的实例，我们从四方面进行动态几何之和差问题的探讨：（1）静态和差问题；（2）和差为定值问题；（3）和差最大问题；（4）和差最小问题。一、静态和差问题：典型例题：版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强，转载必究例1：（2013年山东泰安3分）如图，五边形ABCDE中，ABCD，1、2、3分别是BAE、AED、EDC的外角，则1+2+3等于【 】A90 B180 C210 D270例2：（2013年辽宁鞍山2分）如图，A+B+C+D= 度例3：（2013年河北省3分）一个正方形和两个等边三角形的位置如6所示，若3 = 50，则1+2 =【 】 A90 B100 C130 D180 例4：（ 2013年广西河池3分）一个三角形的周长是36cm，则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是【 】A6cm B12cm C18cm D36cm【答案】C。【考点】中点三角形，三角形中位线定理。【分析】根据三角形中位线定理，以三角形各边中点为顶点的三角形的三边分别是原三角形三边长的一半，所以。所求三角形的周长是是原三角形周长36cm的一半18cm。故选C。例5：（2013年浙江宁波3分）如果三角形的两条边分别为4和6，那么连结该三角形三边中点所得的周长可能是下列数据中的【 】A6 B8 C10 D12例6：（2013年四川内江6分）例7：（2013年辽宁锦州3分）在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交于点E，垂足为D，连接BE已知AE=5，tanAED=，则BE+CE= 【答案】6或16。【考点】等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，锐角三角函数定义，分类思想的应用。例8：（2013年江苏南通3分）如图，在ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BGAE，垂足为G，BG=cm，则EFCF的长为 cm。例9：（2013年安徽省4分）如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，PEF、PDC、PAB的面积分别为S、S1、S2。若S=2，则S1+S2= 。例10：（2013年黑龙江牡丹江市区8分）在ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DFAC交直线AB于点F，DEAB交直线AC于点E（1）当点D在边BC上时，如图，求证：DE+DF=AC（2）当点D在边BC的延长线上时，如图；当点D在边BC的反向延长线上时，如图，请分别写出图、图中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明（3）若AC=6，DE=4，则DF= 【答案】解：（1）证明：DFAC，DEAB，四边形AFDE是平行四边形。AF=DE。DFAC，FDB=C。又AB=AC，B=C。FDB=C。DF=BF。DE+DF=AB=AC。例11：（2013年上海市12分）如图，在ABC中，ACB=900， BA，点D为边AB的中点，DEBC交AC于点E，CFAB交DE的延长线于点F（1）求证：DE=EF；图8（2）连接CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：B=ADGC CFAB，DGC=1。 B=ADE=21=ADGC。【考点】直角三角形斜边上中线性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角的关系，转换思想的应用。【分析】（1）通过由ASA证明AEDCEF得出结论。（2）如图，经过转换，将B转换成ADE，从而通过证明DGC=1和2=A得出结论。例12：（2013年四川乐山12分）阅读下列材料： 如图1，在梯形ABCD中，ADBC，点M、N分别在边AB、BC上，且MNAD，记AD=a，BC=b，若，则有结论：。 请根据以上结论，解答下列问题： 如图2，3，BE、CF是ABC的两条角平分线，过EF上一点P分别作ABC三边的垂线段PP1、PP2、PP3，交BC于点P1，交AB于点P2，交AC于点P3。（1）若点P为线段EF的中点，求证：PP1=PP2PP3；（2）若点P在线段EF上任意位置时，试探究PP1、PP2、PP3的数量关系，给出证明。【答案】解：（1）证明：如图，过点E作ED1BC于D1，ED2AB于D2， BE是ABC的角平分线，ED1= ED2。 点P为线段EF的中点，且PP2AB，【考点】阅读理解型问题，角平分线的性质，三角形和梯形的中位线定理。【分析】（1）过点E作ED1BC于D1，ED2AB于D2，过点F作FG1BC于G1，FG2AC于G2，由角平分线上的点到角的两边距离相等，可得ED1= ED2，FG1= FG2。在FED2和FEG2中应用三角形中位线定理，可得，。在梯形EFG1D1中，由公式可证得结论。（2）同（1）过点E作ED1BC于D1，ED2AB于D2，过点F作FG1BC于G1，FG2AC于G2，由角平分线上的点到角的两边距离相等，可得ED1= ED2，FG1= FG2。在FED2、FEG2和梯形EFG1D1中，由公式可求得结论。例13：（2013年广西百色3分）如图，在边长10cm为的正方形ABCD中，P为AB边上任意一点（P不与A、B两点重合），连结DP，过点P作PEDP，垂足为P，交BC于点E，则BE的最大长度为 cm。例14：（2013年四川成都10分）如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，A=C=90，BDBE，AD=BC（1）求证：AC=AD+CE；（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQDP，交直线BE于点Q；（i）当点P与A，B两点不重合时，求的值；（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长（直接写出结果，不必写出解答过程）【答案】解：（1）证明：如图，BDBE，1+2=18090=90。在RtDMN中，根据勾股定理得：。线段DQ的中点所经过的路径（线段）长为。二、和差为定值问题：典型例题：版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强，转载必究例1：（2013年云南昆明3分）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N下列结论：APEAME；PM+PN=AC；PE2+PF2=PO2；POFBNF；当PMNAMP时，点P是AB的中点其中正确的结论有【 】A5个 B4个 C3个 D2个又PE=EM=PM，FP=FN=NP，OA=AC，PM+PN=AC。故正确。四边形PEOF是矩形，PE=OF。在直角OPF中，OF2+PF2=PO2，PE2+PF2=PO2。故正确。BNF是等腰直角三角形，而POF不一定是。故错误；AMP是等腰直角三角形，当PMNAMP时，PMN是等腰直角三角形，PM=PN。又AMP和BPN都是等腰直角三角形，AP=BP，即P时AB的中点。故正确。综上所述，正确的结论有四个。故选B。例2：（2013年山东菏泽3分）如图所示，在ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP= 例3：（2013年黑龙江绥化8分）已知，在ABC中，BAC=90，ABC=45，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）以AD为边做正方形ADEF，连接CF（1）如图1，当点D在线段BC上时求证CF+CD=BC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；若正方形ADEF的边长为，对角线AE，DF相交于点O，连接OC求OC的长度【考点】四边形综合题，单动点问题，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）三角形ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明BADCAF，从而证得CF=BD，据此即可证得。（2）同（1）相同，利用SAS即可证得BADCAF，从而证得BD=CF，即可得到CFCD=BC。（3）同（1）相同，利用SAS即可证得BADCAF，从而证得BD=CF，即可得到CDCF=BC。证明BADCAF，FCD是直角三角形，然后根据正方形的性质即可求得DF的长，则OC即可求得。例4：（2013年湖南衡阳8分）如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AEBP，CFBP，垂足分别为点E、F，已知AD=4（1）试说明AE2+CF2的值是一个常数；（2）过点P作PMFC交CD于点M，点P在何位置时线段DM最长，并求出此时DM的值【分析】（1）由已知AEB=BFC=90，AB=BC，结合ABE=BCF，证明ABEBCF，可得AE=BF，于是AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16为常数。（2）设AP=x，则PD=4x，由已知DPM=PAE=ABP，PDMBAP，列出关于x的二次函数，求出DM的最大值。例5：（2013年云南昭通附加题14分）已知ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使DAF=60，连接CF（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：BD=CF；AC=CF+CD；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系（3）补全图形如下：例6：（2013年浙江杭州4分）四边形ABCD是直角梯形，ABCD，ABBC，且BC=CD=2，AB=3，把梯形ABCD分别绕直线AB，CD旋转一周，所得几何体的表面积分别为S1，S2，则|S1S2|= （平方单位）例7：（2013年湖南株洲10分）已知抛物线C1的顶点为P（1，0），且过点（0，）将抛物线C1向下平移h个单位（h0）得到抛物线C2一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直线AB与x轴的距离是m2（m0）来（1）求抛物线C1的解析式的一般形式；（2）当m=2时，求h的值；（3）若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C2交于点F求证：tanEDFtanECP=【答案】解：（1）设抛物线C1的顶点式形式（a0），抛物线过点（0，），解得a=。抛物线C1的解析式为，一般形式为。（2）当m=2时，m2=4，BCx轴，点B、C的纵坐标为4。，解得x1=5，x2=3。点B（3，4），C（5，4）。点A、C关于y轴对称，点A的坐标为（5，4）。三、和差最大问题：典型例题：版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强，转载必究例1：（2013年陕西省3分）如图，AB是O的一条弦，点C是O上一动点，且ACB=30，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与O交于G、H两点，若O的半径为7，则GE+FH的最大值为 CABCGHEF例2：（2013年江苏宿迁3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），B（1，2），点P在x轴上运动，当点P到A、B两点距离之差的绝对值最大时，点P的坐标是 例3：（2013年广东茂名8分）如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，已知点B的坐标为（3，0）（1）求a的值和抛物线的顶点坐标；（2）分别连接AC、BC在x轴下方的抛物线上求一点M，使AMC与ABC的面积相等；（3）设N是抛物线对称轴上的一个动点，d=|ANCN|探究：是否存在一点N，使d的值最大？若存在，请直接写出点N的坐标和d的最大值；若不存在，请简单说明理由例4：（2013年四川广安10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（3，0），B（0，3），C（1，0）（1）求此抛物线的解析式（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PDAB于点D动点P在什么位置时，PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标（结果保留根号）【答案】解：（1）抛物线y=ax2+bx+c经过点A（3，0），B（0，3），C（1，0），解得。抛物线的解析式为y=x22x+3。四、和差最小问题：典型例题：版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强，转载必究例1：（2013年福建莆田4分）如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上且DP=1，点Q是AC上一动点，则DQ+PQ的最小值为 例2：（2013年山东日照10分）问题背景:如图（a）,点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B,连接A B与直线l交于点C，则点C即为所求.（1）实践运用： 如图(b)，已知，O的直径CD为4，点A 在O 上，ACD=30，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为 （2）知识拓展：如图(c)，在RtABC中，AB=10，BAC=45，BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程例3：（2013年江苏苏州3分）如图，在平面直角坐标系中，RtOAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一动点，则PAPC的最小值为【】A B C D2例4：（ 2013年广西钦州3分）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是 例5：（2013年山东济宁3分）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当ABC的周长最小时，点C的坐标是【 】A（0，0） B（0，1） C（0，2） D（0，3）例6：（2013年湖北襄阳13分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（1，0），对称轴为直线x=2（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的另一点已知以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9求此抛物线的解析式，并指出顶点E的坐标；（3）点P是（2）中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动设点P运动的时间为t秒当t为 秒时，PAD的周长最小？当t为 秒时，PAD是以AD为腰的等腰三角形？（结果保留根号）点P在运动过程中，是否存在一点P，使PAD是以AD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由例7：（2013年湖南长沙10分）如图，在平面坐标系中，直线y=x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，动点P（a，b）在第一象限内，由点P向x轴，y轴所作的垂线PM，PN（垂足为M，N）分别与直线AB相交于点E，点F，当点P（a，b）运动时，矩形PMON的面积为定值2（1）求OAB的度数；（2）求证：AOFBEO；（3）当点E，F都在线段AB上时，由三条线段AE，EF，BF组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S1，OEF的面积为S2试探究：S1+S2是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由例8：（2013年山东临沂13分）如图，抛物线经过A（1，0），B（5，0），C（0，）三点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由例9：（2013年四川达州12分）如图，在直角体系中，直线AB交x轴于点A（5，0），交y轴于点B，AO是M的直径，其半圆交AB于点C，且AC=3。取BO的中点D，连接CD、MD和OC。（1）求证：CD是M的切线；（2）二次函数的图象经过点D、M、A，其对称轴上有一动点P，连接PD、PM，求PDM的周长最小时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当PDM的周长最小时，抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。又DM为定长，满足条件的点P为直线AD与直线x=的交点。例10：（ 2013年广西贵港3分）如图，点A（a，1）、B（1，b）都在双曲线上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是【 】A B C D例11：（2013年内蒙古呼和浩特12分）如图，已知二次函数的图象经过点A（6，0）、B（2，0）和点C（0，8）（1）求该二次函数的解析式；（2）设该二次函数图象的顶点为M，若点K为x轴上的动点，当KCM的周长最小时，点K的坐标为 ；（3）连接AC，有两动点P、Q同时从点O出发，其中点P以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC按OAC的路线运动，点Q以每秒8个单位长度的速度沿折线OCA按OCA的路线运动，当P、Q两点相遇时，它们都停止运动，设P、Q同时从点O出发t秒时，OPQ的面积为S请问P、Q两点在运动过程中，是否存在PQOC？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；设S0是中函数S的最大值，直接写出S0的值例12：（2013年青海西宁12分）如图，正方形AOCB在平面直角坐标系中，点O为原点，点B在反比例函数（）图象上，BOC的面积为（1）求反比例函数的关系式； （2）若动点E从A开始沿AB向B以每秒1个单位的速度运动，同时动点F 从B开始沿BC向C以每秒个单位的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动若运动时间用t表示，BEF的面积用表示，求出S关于t的函数关系式，并求出当运动时间t取何值时，BEF的面积最大？ （3）当运动时间为秒时，在坐标轴上是否存在点P，使PEF的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【考点】反比例函数综合题，双动点问题，正方形的性质，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，由实际问题列函数关系式，二次函数的最值，轴对称的应用（最短线路问题），分类思想的应用。【分析】（1）根据正方形的性质和BOC的面积为8，列式求出点B的坐标，代入，即可求得k，从而求得反比例函数的关系式。（2）根据双动点的运动时间和速度表示出BF和BE，即