一元二次方程的整数根的四种思维方法-.doc

解形如的整数根的四种思维方法 形如的一元二次方程的整数根是一元二次方程的性质中较为复杂的问题，它不仅涉及到二次方程的相关知识，而且还经常用到因式分解、整除和不定方程的解法等有着知识，具有较强的综合性和技巧性。因此成为近年来各种数学竞赛的热点。下面就以竞赛试题为例，谈谈这类题的四种解题思维方法。一、 利用因式分解构造不定方程解题当能够直接分解因式时，可以将原方程化为的形式，求出两根，消去两根中表示已知量的字母，得到关于两根的不定方程，通过解不定方程求解。例1 （2000年全国初中联赛试题）设关于x的二次方程的两个根都是整数，求满足条件的所有实数k的值。解：原方程可化为 即 因为是二次方程，所以 所以 得 消去k，得 即 由于都是整数 故 解得 所以 经检验都满足题意。通过上例可以看出，解这类题的思维方法是：第一步，若二次项系数是含字母的代数式时，要分它为0和不为0的两种情况讨论，当它不为0时，将方程化为的形式；第二步，求出方程的两根；第三步，消去表示已知量的字母，构造关于两根的不定方程；第四步，解不定方程，并检验。二、 利用“若两根为整数，则其和、积必为整数”解题当形如的方程中，所含的表示已知量的字母是整数时，先利用韦达定理求出两根之和与积，然后利用“若两根为整数，则其和、积必为整数”，以及整除的有关知识解题。例2 (1996年黄冈竞赛试题)求使关于x的方程的根均为整数的所有整数a.解：当时，方程变为，得，符合要求； 当时，设方程的两个整数根为，则由韦达定理，得 因为 都是整数，所以均为整数。 即也应为整数，由整除性可知a0、1、2、3 当a0时，原方程为。解得； 当a1时，原方程为。解得； 当a2时，原方程为。无实根； 当a3时，原方程为。无实根； 综上所述当a1、0、1时，方程有整数根、2或、1。通过上例可以看出，解这类题的思维方法是：第一步，讨论二次项系数的情况，若二次项系数不为0时，由韦达定理求出两根的和与积；第二步，将两根之和与积的代数式写成一个整式与一个分式的和的形式，并且分式的分子一定为整数；第三步，根据整除的性质，可知分式的分母一定是分子的约数，从而求出字母的可能取值；第四步，将字母的可能值分别代入原方程检验确定结果。三、 利用韦达定理构造不定方程解题当不能分解因式，并且所含的表示已知量的字母不是整数时，可以先由韦达定理求出两根之和与积，然后根据这两个方程消去表示已知量的字母，构造一个关于两根的不定方程，最后通过解不定方程求解。例3 (2002年全国联赛试题)试确定一切有理数r，使得关于x的方程 有根且只有整数根。解：若r0时，则方程为。解得，不是整数。 若，设方程的两个整数根为（），则由韦达定理，得； 于是 所以 因为都是整数，且，故有 所以， 得 经检验知就是所求的一切有理数。通过上例可以看出，解这类题的思维方法是：第一步，讨论二次项系数的情况，若二次项系数不为0时，由韦达定理求出两根的和与积；第二步，消去表示已知量的字母，构造关于两根的不定方程；第三步，解不定方程，并检验。四、 利用判别式是完全平方式解题求形如的方程只有一个整数根，或至少有一个整数根时，可以根据判别式一定是完全平方式解题。例4 (1996年上海竞赛试题)若关于x的方程至少有一个整数解，且a为整数，求a的值。解：当a0时，已知方程为，无整数解； 当时，要使方程至少有一个整数解，它的判别式必须为完全平方数，从而为完全平方数。设(n为正奇数，且)，则，代入原方程，解得 所以 若为整数，由n为正奇数知，只能n1，则a2； 若为整数，n只能为1、5、7，则a2、4、10。 综上所述a的值为2、4、10。通过上例可以看出，解这类题的思维方法是：第一步，讨论二次项系数的情况，若二次项系数不为0时，求出判别式；第二步，将判别式写成一个完全平方式与一个非完全平方式的积，设非完全平方式的，使判别式化为一个完全平方的形式；第三步，用上步所设的字母表示方程中的字母，代入原方程，