微观经济学 数学基础 第9章 随机过程I.pdf

第九章 随机过程第九章 随机过程 I 随机微积分 随机微积分 1 第九章 随机过程第九章 随机过程 I 随机微积分 随机微积分 7 基础微积分 7 线性代数 8 概率论 9 随机微积分 10 鞅 11 偏微分方程 11 数值方法 9 1 介绍 介绍 9 1 1 定义 9 1 2 统计特征 9 1 3 多维情形 9 1 4 过程分类 9 2 一些重要的随机过程 一些重要的随机过程 9 2 1 二项过程 9 2 2 布朗运动和伊藤过程 9 2 3 泊松过程 9 3 随机伊藤积分 随机伊藤积分 9 3 1 动机 9 3 2 直观定义 9 3 3 直接计算 9 4 伊藤定理 伊藤定理 9 4 1 直观推导 9 4 2 应用举例 9 4 3 多维情形 9 5 随机微分方程 随机微分方程 9 5 1 随机过程模型 9 5 2 解的性质和形式 9 5 3 显性解的例子 9 6 应用 应用 9 6 1 期权定价 9 6 2 随机动态规划 本章的学习目标为 了解随机过程的定义 描述方法和重要数值特征以及基于分布函数的分类方法 掌握二项过程并熟练运用二项树建模方法 掌握布朗运动和维纳过程的定义和特征并认识到它在连续时间随机分析中的 重要作用和核心地位 掌握并熟练运用一般维纳过程 几何布朗运动和伊藤过程来构造金融资产价格 运动模型 了解泊松过程的定义和特征 认识它在构造金融市场上突发事件时的作用 明确基于均方收敛的随机伊藤积分的定义以及它与随机微分之间的联系 了解伊藤定理的直观推导过程并熟练应用伊藤定理进行计算 熟练应用随机微分方程模型来构造不同金融资产价格运动模型 了解随机微分方程解的形式 特别要掌握两种重要的显性解情形 掌握期权定价的传统布莱克 休尔斯偏微分方程方法 掌握最优个人消费 投资问题的随机动态规划方法 有了前面的准备工作 我们现在就可以着手学习 研究现代金融理论所必须也是最重要 的数学工具 随机过程理论了 为什么金融理论研究中一定要使用随机过程理论呢 这是 因为在金融现象中一些主要价格指标例如利率 汇率 股票指数 价格等等都表现出一定的 随机性 randomness 股票价格明天会是多少 一直吸引和困惑了最富有头脑的理论家和实 践者 早期金融思考就是试图对这个问题作出令人信服的回答1 越来越多的证据显示 人 们倾向认识到 试图超越市场去预测价格走势 总体上是徒劳的 只有通过使用随机过程理 1 有兴趣的读者可以参考伯恩斯坦 Bernstein 1990 第九章 随机过程第九章 随机过程 I 随机微积分 随机微积分 2 论在概率的意义上去描绘 才能给问题的解决提供一个可靠的基础2 这也是我们在整个金 融数学的学习过程中遇到的最困难的部分 为了降低难度 我们把整个随机过程理论分为两 个相对独立的部分 第一部分也就是在这一章中 我们要建立随机微积分的理论框架 首先会通过直观的例 证来给出随机过程的定义 简单地对它们进行分类和特征描述 然后介绍一些重要的和在微 观金融分析中经常要使用到的随机过程种类 由于要处理随机变量的变化过程 我们必须了 解随机微分和它存在的条件 而这势必又要求先建立起随机 伊藤 积分的正确概念 在上述 基础上就可以推导出解释随机变量之间变化关系的随机微积分法则 著名的伊藤定理 最 后则是随机微分方程模型的构造和求解3 整个学习过程需要对经典数学分析中的极限 微 分和积分概念做推广 这是一套完全不同于经典微积分的法则 在反复的运用和实际的例子 中 我们会对它逐渐熟悉起来 微观金融学中使用上述随机微积分技术来研究诸如衍生金融产品定价 动态消费 投资 决策等问题 以随机过程为基础的最优化方法归属于动态随机规划方法之下 以 Samuelson Merton Black Scholes 等人的研究成果为最杰出的代表 本章中就提供它们的最重要两种 应用 为欧式看涨期权定价和求解动态消费 投资问题 第二部分则是被称为随机过程一般理论的鞅理论 相对于本章中的内容而言 它更为抽 象 并借重测度理论 但它提供对于随机过程更深入本质的理解 而且在实践当中 它还提 供更为强大的计算能力 因而它日益成为金融经济学家们的主流数学工具 我们将在下一章 中 亲密接触 这个理论体系 金融相关点金融相关点 9 1 有效率的市场 微观金融理论中的效率和我们在经济学中接触到的效率一词的含义是有所不同的 我 们知道 经济学中的效率往往指帕累托 Pareto 效率 在一个经济体系中 如果不能以牺 牲哪怕一个人的利益为代价来换得他人福利状况改善的情形 被称为是具有帕累托效率4 但是我们说如果市场上资产价格已经充分地反应了所有可获得信息的话 金融市场就是 有效率的 efficient market 这句话直观上可以这样理解 为所有人知晓的信息是不会导 致股票价格的明显波动的 因为它已经被反应到当前的价格上去了 或者换一个角度 基于该信息集合 information set 作出的任何投资决策是不会带来任何明显的经济收益 的 如罗尔 Roll S 所说的 这个定义相当模糊 不具备任何操作性 罗伯茨 Roberts H 在 1967 年第一次根据决策所依据的信息集合对市场效率做了分 类 这里我们沿用法马 Fama E 1970 首先使用的现在通行的一套术语 首先是弱形式 的市场效率 weak form market efficiency 它所基于的信息集合仅仅包括资产价格 或者 收益 的历史数据 如果它成立的话 就意味着那些认为可以根据股票价格的历史信息预 测未来价格走势的技术分析 technical analysis 有时这种分析家被称为图表派 chartist 失效 接下来是半强形式 semistrong form 的市场效率 它基于所有可以为投 资者获得的公开 public 信息 比方说公司的财务报表和公司前五位股东的持股份额等 等 如果它成立 则所谓的基础分析 basic analysis 失效 最后是强的 strong form 的形 式 它进一步包括了仅仅为部分投资者所知的内部或者私人 private 信息 如为公司高层 掌握的兼并意向和可能会对股票价格产生影响的重大投资决策等等 注意这些信息有很 强的时效性 它们有一个从少数到多数快速传播的过程 这三种形式的效率构造出整个可获得信息的嵌套结构 但是很不幸 迄今为止它还不 能被经验检验所证实 这是因为市场效率必须和一个市场均衡模型同时被联合检验 研 究者无法分辨究竟哪一个因素对结论更有说服力或者反面作用 在经验研究产生任何有 决定性的结论之前 市场效率与其说是作为一种理论 还不如说是作为一个信念而存在 2 参考框文金融相关点 9 1 有效率的市场 3 学习这里的内容并不需要测度方面太多的准备 4 这种形式的效率在微观金融学中也有广泛的应用 这在第一部分的几乎所有章节中都有体现 第九章 随机过程第九章 随机过程 I 随机微积分 随机微积分 3 不过我们倒是有一些反面例子 试图超越市场 beat the market 的努力当然可能会在一定情况下获得成功 例如美国 证券业 巨星 伊万 伯斯基 Ivan Boesky 5 他在 1986 年之前一直在股票市场上 赚钱 赢利估计多达上亿美元 并成为证券业常胜不败的神话 但是后来的调查显示 他的连续成功是因为他贿赂了一个有许多关于公司兼并方面内部信息的投资银行家 列文 Levine D 每当列文发现有公司寻求合并时 他就提前通知伯斯基 后者则买 入被兼并公司股票 并在市场了解这些信息并作出反应后 股价上涨 抛出以谋取暴利 1986 年伯斯基被判终身禁止从事证券业 罚款 1 亿美金和 3 年监禁 这验证了中国香港 特别行政区著名影星刘德华在一部以赌博为题材的影片中的一句台词 没有一定赢的赌 博 除非出老千 作弊 这是一个国外的例子 想必对于熟悉中国股票市场的投资者来说 这没什么好大惊 小怪的 我们的 A 股股票市场被投资者心领神会地称为 内幕 消息市场 政策市场 中 国证券交易管理委员会公开处理过多次非法操纵市场的行为 如原万国证券公司过度投 机国债期货 导致整个市场崩溃 也处理过人为信息虚假披露谋取暴利的行为 如琼民 源 蓝田股份等等 实际上更多的屡见不鲜的 黑幕 交易正在腐蚀刚刚成长起来的中 国资本市场 它导致投资者行为变异并最终破坏向实物经济输送金融资源的过程 9 1 介绍 介绍 观察下图所示的道 xtXPtx D 函数 txD等于事件 xtX 发生的概率 这个事件是由在这个特定的时刻t 使得过 程之函数值 0 Ttt X 不超过x的所有 组成的 称 txD为随机过程 0 Ttt X 的一阶分布函 数 注意这个随机变量的分布函数一般是依赖于时间t的 把它对x微分 就得到了相应的 一阶密度函数 9 1 2 x tx tx D d 无论是一阶分布函数还是一阶密度函数都只揭示了整个随机过程在某一固定时间点上 极其有限的信息 进一步考虑过程 0 Ttt X 在 1 t和 2 t两个时刻的取值 我们想知道它们之间 的联系 即联合分布关系是什么 就好象它们是两个不同的随机变量一样 定义它们的联合 分布函数为 9 1 3 22112121 xtXxtXPttxx D 称它为随机过程 0 Ttt X 的二阶分布函数 而相应的密度函数则定义为 9 1 4 21 2121 2 2121 xx ttxx ttxx D d 同考察随机变量时获得的概念类似 一维概率分布可以视为二维概率分布的边际分布 即 9 1 5 11211 txttxDD 以及 9 1 6 221111 dxttxtxdd 尽管二维分布包含了比一维分布更多的信息 但是我们仍然还嫌不够 不过以此类推可 以建立n维概率分布和相应的密度函数 分别定义如下 8 对连续性的详细讨论见 10 1 2 节 第九章 随机过程第九章 随机过程 I 随机微积分 随机微积分 6 9 1 7 22112121nnnnn xtXxtXxtXPtttxxx D 9 1 8 n nnn n nnn xxx tttxxx tttxxx 21 2121 2121 D d 根据上述推理 我们可能会很直观的得出结论 一旦获得n维概率分布函数就可以完全 决定相应的随机过程 但很不幸 这仅仅对于有限维的随机序列成立 对于连续随机过程 由于t在时间域 0 T内有不可列的无限个可能值 因此仅仅有有限数目的概率分布函数是无 法描绘连续随机过程的所有运动特征的 实际上如果不对 0 Ttt X 做出限制 即便已知现在 时刻的概率分布 无论时间间隔有多么小 也都无法决定下一时刻过程会运动到何处 在第 8 章中我们已经知道使用随机变量的某些数值特征可以简洁有效地描绘其统计特 性 对于一维随机变量而言最重要的数值特征是数学期望和方差 对于二维随机变量则是协 方差和相关系数 同样的原理可以推广到随机过程中去 不过必须注意的是 随机过程的数 值特征不再是确定的数 而是确定的时间的函数 首先来看数学期望 假设 0 Ttt X 是一随机过程 txd是 tX的一维概率密度函数 定义它的数学期望或者均值为 9 1 9 dxtxxtXEt d 它实际上是随机过程 tX在时刻t所有样本路径 函数 的函数值的平均 通常称它为统 计平均9 需要注意的是对于不同的时刻t t 不一定相等 因此它是随着时间而变化的函 数 它表示了随机过程 0 Ttt X 在不同时刻的波动中心 如下图 9 3 所示 X t t 图图 9 3 随机过程在各个时刻的均值和方差 随机过程在各个时刻的均值和方差 类似的 定义随机过程 0 Ttt X 的方差为 9 1 10 22 ttXEt 它表示各个样本函数在特定的时点上偏离均值函数 t 的程度 如上图所示 从上面的描述可以知道 数学期望和方差仅仅涉及到随机过程孤立的一维分布统计特 征 它们最大的缺陷在于无法反映随机过程在不同时刻内在的相关性 例如 尽管图9 4 中的随机过程同图9 3中的随机过程有着相同的均值和方差函数 但是它们的各个样本函数 随时间变化的性质完全不同 图9 4中描述的过程变化平缓 这个过程在不同时刻的取值之 间有较强的相关性 而图9 3中的过程波动剧烈 相关性较弱 第九章 随机过程第九章 随机过程 I 随机微积分 随机微积分 7 X t t 图图 9 4 波动平稳的随机过程 波动平稳的随机过程 为了能够反映同一随机过程在不同时刻之间的相关性 我们引入自相关函数的概念 假 设 1 tX和 2 tX是随机过程 0 Ttt X 在任意两个时刻 1 t和 2 t的取值 2121 ttxxd是它的二 维密度函数 称它的二阶混合原点矩 9 1 11 212121212121 dxdxttxxxxtXtXEttre d 为随机过程 0 Ttt X 的自相关函数 简称相关函数 进一步可以定义二阶混合中心矩为 随机过程的协方差函数 9 1 12 2121212211 221121 cov dxdxttxxtxtx ttXttXEtt d 容易知道 9 1 13 cov 212121 ttttrtt 当ttt 21 时 协方差函数就是 t X的方差函数 9 1 14 cov 22 tttrettt 例子例子 9 1 1 存在正弦波过程 cos btatX 其中ba 是常数 相位 服从 2 0 上的均匀分布 容易知道 的密度函数为 其它 0 20 2 1 d 因此该随机过程的统计均值为 0 2 1 cos cos 2 0 dbtabtaEt 自相关函数为 cos 22 1 cos cos cos cos 21 2 2 0 21 2 21 2 21 ttb a dbtbta btbtEattre 协方差函数为 cos 2 cov 21 2 212121 ttb a ttttrett 9 或者集平均以区别时间平均 这一点在后面讨论随机积分时就彻底明确了 第九章 随机过程第九章 随机过程 I 随机微积分 随机微积分 8 方差为 2 2 22 a ttttret 9 1 3多维情形 以上我们考察的都是单个随机过程的数值特征 有时候必须同时考虑两个或者更多的随 机过程 因此在随机分析中 除了要研究每个随机过程各自的统计特征以外 还要必要研究 不同随机过程之间的联合统计特征 具体包括 1 两个随机过程的联合分布函数 假定有两个过程随机过程 0 Ttt X 和 0 Ttt Y 时刻 1 t 2 t n t和 1 t 2 t m t是任意两组实数 称mn 维随机矢量 2121mn tYtYtYtXtXtX的分布函数 9 1 15 22112211 21212121 mmnn mmnnmn ytYytYxtYxtXxtXxtXP tttyyytttxxx D 为随机过程 tX和 tY的mn 维联合分布函数 相应的联合密度函数则为 9 1 16 mn mmnnmn mn mmnnmn yyyxxx tttyyytttxxx tttyyytttxxx 2121 21212121 21212121 D d 如果这两个过程相互独立 则有 9 1 17 21212121 21212121 mmmnnn mmnnmn tttyyytttxxx tttyyytttxxx dd d 2 互相关函数 在研究两个随机过程不同时刻的相关性问题时 最常用的统计量是由它 们的二维联合概率密度所确定的二阶原点混合矩 即互相关函数 下面给出任意两个随机过 程 0 Ttt X 和 0 Ttt Y 之间的互相关函数的定义 9 1 18 dxdytytxxytYtXEtt YXXY Re 21 2121 d 其中 21 tytx YX d是 tX和 tY的二维联合概率密度函数 类似的定义它们的二阶混 合中心矩 9 1 19 221121 ttYttXEttCov YXXY 为两个随机过程 tX和 tY的互协方差函数 其中 1 t X 和 2 t Y 分别为过程 tX和 tY 在不同时刻的均值 利用上述概念我们可以来探讨一下随机过程之间的关系 给定任意两个随机过程 t X和 t Y 它们可以有这样几种关系 1 如果对于任意的 1 t 2 t n t和 1 t 2 t m t有 9 1 20 21212121 21212121 mmYnnX mmnnYX tttyyytttxxx tttyyytttxxx dd d 则称这两个随机过程是相互独立的 显然这时的二维联合概率密度为 2121 tytxtytx YXYX ddd 而互相关函数为 第九章 随机过程第九章 随机过程 I 随机微积分 随机微积分 9 Re 2121 2121 ttdytyydxtxx tYtXEtt YXYX XY dd 互协方差函数为 0 2211 221121 ttYEttXE ttYttXEttCov YX YXXY 2 如果对于任意的 1 t 2 t都有互协方差函数为0 或者互相关函数为常数 即 0 21 ttCovXY 或者 att XY Re 21 常数 则称 tX和 tY互不相关 容易知道如果两个过程相互独立则必不相关 但反之则不真 3 如果对任意的 1 t 2 t都有互相关函数为0 即 0 Re 21 tt XY 则称 tX和 tY正交 不过正交也不一定不相关 9 1 4过程分类 在第一小节中 我们曾经根据随机过程的参数和状态的取值情况进行过简单地分类 但 是这种分类仅仅是表面的 现在我们学习了随机过程概率分布方面的知识 就可以按照随机 过程分布函数方面的一些性质对它做更确切地再分类 1 按照统计特征的变异性分类 按照过程的统计特性是否变化可以把随机过程分为平稳 stable 和非平稳过程 unstable process 两大类 平稳过程的统计特征不随时间变化而变化 严格的有 如果对于时间t的任意n个时刻 n ttt 21 和任意时间增量t 随机过程 0 Ttt X 的n维分布函数满足下列关系式 2 1 21212121 nttttttxxxtttxxx nnnnnn DD 即随机过程在任何时刻的分布函数都是相同的 则称过程 tX为平稳随机过程或者简称 平稳过程 如果不满足这个条件 也就是说随机过程的统计特征随时间变化而变化 就是非 平稳过程 2 按照记忆特征分类 所谓记忆特征就是说随机过程的现在状态同以前的历史有没有什 么关系 它又分为3个子类 a 纯粹随机过程 这是最简单的 对于过去没有任何记忆能力的一类随机过程 它在各 个时刻的取值是相互独立的 用它的n阶分布函数来描述就是 n i iinnn txtxtxtx 1 12211 DD b 马尔科夫过程 Markov process 马氏过程的记忆力比纯粹随机过程要稍微好一点 它的统计信息完全包含在它的二阶概率分布函数中 也就是说它仅仅能够记住刚才发生的事 情 严格的有 存在随机过程 0 Ttt X 如果对于每一个n和对于T中的 n ttt 21 有 11111111nnnnnnnnnn txtxtxtxtxtx DD 则称 0 Ttt X 为马尔科夫过程 它描述的是这样一种运动形式 随机变量没有什么记忆 力 只有现在与未来预测有关 变量的历史和它从过去到现在的演变方式则与未来预测不相 干 这种无后效性 又被称为马氏性 Markov property c 独立增量过程 independent increment process 顾名思义 独立增量过程是指随机过 第九章 随机过程第九章 随机过程 I 随机微积分 随机微积分 10 程的变化量是相互独立的 它也是马尔科夫过程的一种类型 正式的有 存在过程 tX 它的增量用 1 nnn tXtXtX 表示 如果对于所有的 n ttt 21 增量 21 tXtXtX n 都相互独立 则称 tX 为独立增量过程 3 按照概率分布特征分类 这种分类方法 直接说明随机过程的增加量是按照什么形式 分布的 如高斯 Guassian 过程 它就是说过程 tX的增量呈正态分布 还有比方说泊松 Poisson 过程 它说明过程的增量呈泊松分布 这两类随机过程后文中我们要做细致的考 察 实际应用中对随机过程还有很多种特殊的分类方法 例如 1 如果随机过程 0 Ttt X 具有有限的 一阶 变差 即 T t t X 0 则称它为有界变差 bounded variation 过程 2 如果对于任意随机过程 0 Ttt X 有 TtXE t 2 成立 即它具有有限的二阶矩 则称它为二阶矩过程或者平方可积 square integrable 过程等等 9 2 一些重要的随机过程 一些重要的随机过程 尽管随机过程理论本身需要对于一般过程进行考察 出于微观金融研究的特殊目的 我 们倒是对适合描述金融资产价格波动的某些特殊过程更有兴趣 这一节中我们转到几个这样 的过程上来 9 2 1二项过程 自从1979年考克斯 Cox 罗斯 Ross 鲁宾斯坦 Rubinstein 第一次在他们的论文 期 权定价 一种简化的方法 中使用二项过程 Binary process 来构造股票价格运动模型并用它为股票期权定价以来 二项过程就被广泛地应用于 衍生金融资产定价领域 成为构造离散时间价格运动的基本模型10 它提供了对于复杂随机 行为足够强烈的直觉理解 同时它也是实践中常用的数值方法 numerical method 如格栅 法 lattice method 11的基础 那么什么是二项过程呢 假想我们投一枚分布均匀的硬币 出现字还是花的可能性各占 一半 投三次的结果是怎样的呢 根据我们在第8章概率论中学到的知识 这是一个伯努里 实验 可以把它描绘成为如图9 5中所示的那种树状结构 10 二项过程以及它在期权定价中应用参考可以参考 CRR Chriss 11 格栅法方面可以参考 Hull 1996 Willmott 2000 和 Rebonato 1996 第九章 随机过程第九章 随机过程 I 随机微积分 随机微积分 11 1 8 WW W 3 8 50 WF 3 8 50 F FF 1 8 T0 T1 T2 T3 图图 9 5 二项过程与二项树 二项过程与二项树 我们知道投币的结果服从二项分布 也就是说在n次实验中 出现某一面向上的次数为 x的概率为 10 1 0 1 ata 或者以 1 p 的概率下降 ta 并且总是这样 因此在tt 时刻 股票价格的数学期望是 1 taSptaSpSE tttt 方差是 222 22 1 ttt tttttttt SSEtaptap SSESSESVar 如果2 1 p 则数学期望为0 方差为ta 2 标准差为ta 在实际应用中 通常假定股票的收益率而不是价格在微小时间间隔内遵循二项过程 即 9 2 1 1 taptap S S E t 那么相应的价格运动就可以写成下面的形式 9 2 2 1 1 1 taaSptaSpSE tttt 这是一个递推公式 用u代替ta 1 用d代替ta 1 我们就可以得到n个时 期后资产期望价格的一般表达形式 9 2 3 n i t iniini tnt Sdupp iin n SE 0 1 金融相关点金融相关点 9 2 实际中的二项树模型12 12 对二项模型的详细讨论可以参考 Chriss 1996 第九章 随机过程第九章 随机过程 I 随机微积分 随机微积分 12 如上所述 二项树精确地刻画出了在未来一段时间内所有可能到达的股票价格和获得 这种价格概率的大小 我们要完整地构造这样一个在理论和实际应用上都是十分重要的 模型 在下面的图9 6中 我们看到的是一个4期的二项树 它画在一个x y坐标系中 横轴表示时间 纵轴表示股票价格 0 t是现在时刻 或者说是运动的起点 二项树中直线 两两相交的地方成称为结点 node 例如在 2 t时刻有3个结点 价格 Suuuu Suuu Suu Su S0 Sd Sdd Sddd Sdddd 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 图图 9 6 二项过程模拟股票价格运动 二项过程模拟股票价格运动 假定价格在 0 t时刻为 0 S 在下一时刻为 1 S 有两种情况会出现 它可以以概率P上 升到 u S 或者以概率 1 P 下降 d S 这个模型有这样一些重要的参数 1 上升 下降的比例 如果股票价格从 0 S上升到 u S 则上升比例u定义为 0 SSu u 如果下降则下降比例d定义为 0 SSd d 注意到上图中的二项树是在每一个结点上都是重合的 recombining 也就是说 无论 从什么位置起 股票价格在经历一次上升紧接着一次下降后 可以回到同样的位置 为 了保证这一点必须这样选择u和d的值 ud 1 这又被称为中心化条件 centering condition 2 向上或者向下转移概率 在 1 T时刻获得 u S的可能性有多大 也是我们非常关心的 如果在二项树的任意某一结点上 上升的转移概率都是一样的 注意这并不是指上升和 下降的概率相同都是50 而是说在整棵树上一直按照同一概率上升或者下降 则称这 种二项树为标准树 standard tree 3 时间间隔 时期程度从起点到终点为T 把它分为N个时间间隔相等的区间 则每 个区间的长度就是 NTt 4 期望收益 这是指隐含在价格运动背后的收益过程 如何计算期望收益呢 我们知 道在在 1 T时刻股票期望价格 1 S是 du SPPSSE 1 1 按照连续复利计算13 我们要求在单位时间间隔t 内的收益为 t e S SE 0 1 上式中的 就是这种股票的 年 收益率 因此有 t du eSSPPS 0 1 13 请参考第 1 章框文 1 4 中的有关内容 第九章 随机过程第九章 随机过程 I 随机微积分 随机微积分 13 把 0 uSSu 和 0 dSSd 代入上式 得 du de P t 这意味着为了获得某一特定的收益率可以适当地调整P 5 局部波动率 local volatility 局部波动率是指两个相邻时刻股票收益的标准差 我 们知道一段时间内投资的年度化总收益率 annual revenue rate R是这样定义的 0 1 log 1 S S t R 因此期望收益就是 00 log 1 log S S t P S S t P RE du 计算一下 标准差就是 log 1 1 log 1 1 2 uPP t S S PP t d u loc 对于标准树而言局部波动率在各点上都是相同的 适当选择以上参数就可以模拟股票 价格运动过程 按照CRR方法 我们这样选择参数和它们的数值 t eu ud 1 du de P t 0833 0 t 一个月 2887 0 t 15 每年 10 每年 0443 1 t eu 9576 0 1 ud 5853 0 du de P t 7 14 log 1 1 2 uPP t loc 图9 7就是根据这些参数模拟的一种股票价格运动方式14 价格 118 91 113 87 109 05 109 05 104 43 104 43 100 100 100 95 76 95 76 S0 S1 91 70 91 70 S2 87 82 84 09 S3 S4 T0 T1 T2 T3 T4 时间 图图 9 7 二项过程数值例子 二项过程数值例子 9 2 2布朗运动和伊藤过程 布朗运动是历史上最早被认真研究过的随机过程 1827年 英国生物学家布朗 Robert Brown 首先观察和研究了悬浮在液体中的细小花粉微粒受到水分子连续撞击形成的运动情 况 布朗运动也因此而得名 1900年 法国人路易 巴舍利耶 Louis Bachelier 又一次考察 它 并试图用它来描述股票价格运动过程15 1905年爱因斯坦 Einstein 对它做出了合理的 14 读者可以自行尝试用Excel来模拟二项过程以及它向极限布朗运动过渡的过程 可以参考 Benninga 2000 15 但是这项意义十分重大的工作到20世纪60年代才重新被人们所发掘和高度评价 Cootner 1964 Savage 1965 Samuleson 1969 第九章 随机过程第九章 随机过程 I 随机微积分 随机微积分 14 物理解释并求出了微粒的转移密度 1918年维纳 Norbert Wiener 在数学上严格地定义了布 朗运动 因此它有时也称为维纳过程 列维 Levy 等人进一步研究了布朗运动的轨道性质 后面的分析将显示这些性质十分奇特而且含义深刻16 现在布朗运动已经成为了描述随机现 象的基石 物理上理解 布朗运动的起因是液体的所有分子都处在运动中 而且相互碰撞 从而微 粒周围有大量的分子以微小但起伏不定的力共同作用于它 使它被迫作不规则运动 如果用 t X表示微粒在时刻t所处位置的一个坐标 由于液体是均匀的 自然设想从时刻 1 t到 2 t的位 移 12 tt XX 是许多几乎完全独立的小位移之和 因而根据中心极限定理 可以合理的假定 12 tt XX 服从正态分布 而且对于不同时间段的位移应该是相互独立的 正式地有 定义定义 9 2 1 一个随机过程 0 tt W 它在一个微小时间间隔t 之间内的变化为W 如果 1 0 0 W 2 t W 是一个服从标准正态分布随机变量 就是说它是从均值为0 方差为 1的标准正态分布中任意抽取的随机值17 3 对于任何两个不同时间间隔 W 的值相互独立 这就是独立增量 就称随机变量 0 tt W的运动遵循 标准 维纳过程或者布朗运动 条件1 是用来确定初始状态的 从条件2 我们知道W 也是正态分布的 它的均值为 0 方差为t 标准差为t 即