循环群的性质研究.doc

淮 北 师 范 大 学2012届学士学位论文循环群的性质研究 学院、 专业 数学科学学院 数学与应用数学 研 究 方 向 高等代数 学 生 姓 名 潘 帅 学 号 20081101142 指导教师姓名 张 波 指导教师职称 讲 师 2012年4月3日循环群的性质研究潘 帅（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）摘 要设G是一个群，如果群G中的每一个元素都能写成元素的乘方的形式，则称G是一个循环群，循环群是近世代数中的一个重要内容，也是一类基本研究明白的群，本文主要讨论了循环群的相关性质及其应用。文中首先介绍了群的相关基础知识，由此引出循环群的定义和它的相关性质，讨论了循环群及其元素，子群间的关系，然后利用循环群的基础理论讨论了循环群的同态、同构，并给出了循环群的自同构群是交换群的结论。关键词： 循环群，子群，同构，自同构群Study on the Properties of Cyclic GroupsPan Shuai(School of Mathematical science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000 )AbstractLet G be a group, . If every element can be written the form where , then the group is a cyclic group. Cyclic groups is an important content in the algebra, also a kind of group was nearly researched understand, this subject mainly discussed the cyclic group related properties and application.The basic knowledge of relevant firstly be introduced in this subject, then drawn out the definitions of circulation and some related properties, discussed the cyclic group and its elements, even the relations between the subgroup, and used the circulation of the foundation of the theory to discuss the circulation about the homomorphism and isomorphism, lastly made us know the conclusions what automorphism group of circulation group is an exchange of group.Keywords：cyclic group, subgroup, isomorphism, automorphism group目 录一、引言1二、群的定义1三、循环群的若干问题71、定义与性质72、循环群的性质83、循环群的判定9四、循环群的同态，同构11五、结论14参考文献14致谢15一、引言当代科学技术发展的一大特点是，在几乎所有的领域，数学与计算机技术被广泛的应用。近代数学的思想方法、观点和结论正在深入地渗透进自然科学和社会科学的众多理论分支，这是因为各门学科越来越走向定量化，越来越需要用数学来表达其定量和定性的规律，并且运用数学的方法和成就来加速自身的发展。“高科技本质上是一种数学技术的观念已日益为人们所共识。代数学是探讨元素的运算体系的，这些元素像数一样，可以用加法或乘法或同时用两者把它们结合起来。体系的性质取决于一些基本定律(如闭合律、结合律、交换律、分配律、零和单位元素、负和逆等)中有哪些成立。人们研究满足某些特定定律的抽象体系，而群是现代代数学中最基本、最重要的代数系，是一个非常活跃的领域，也是目前研究成果最丰富、研究最广泛的代数系。群，简而言之是对某种运算满足闭合律、结合律、单位元素和逆这些定律的代数系。这一代数系的提出，对于当代数学及其它领域有着不可估量的作用，是代数发展史上由古典代数进入近世代数的里程碑。群论自十九世纪EGalois创立以来，不仅成为近世代数的重要分支，而且其应用范围已深入到科学技术各个领域。尤其是自然科学的物理、化学和生物的研究中，群论已成为必不可少的强有力的数学工具。二、群的定义在研究循环群的性质之前，我们来研究一下什么叫群：群的第一定义：我们说，一个不空集合G对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如I. G对于这个乘法来说是闭的；II. 结合律成立：对于G的任意三个元都对；III. 对于G的任意两个元来说，方程和都在G里有解。例1 G只包含一个元乘法对于这个乘法来说作成一个群。因为IG是闭的；II；III 有解，就是g； 有解，就是g.例2 G是群体整数的集合，G对于普通加法来说作成一个群。因为I 两个整数相加还是一个整数；II；III是整数的时候，有整数解。例3 G是所有不等于零的整数的集合，G对于普通乘法来说不作成一个群。因为，固然I整数乘整数还是整数；II但没有整数解，III不能被满足。但G若是全体不等于零的有理数的集合，那么G对于普通乘法来说作成一个群。现在假定G是一个群。我们证明G有以下性质。IVG里至少存在一个元e，叫做G的一个左单位元，能让对于G的任何元都成立。证明：由III，对于一个固定的元b，在G里有解。我们任意取一个解，叫它作e：（1） 我们说，对于G的一个任意元a,成立。由III，有解c：（2） 由（1），（2），II，这样，我们证明了e的存在。证完。V对于G的每一个元，在G里至少存在一个元，叫做的一个左逆元，能让成立。这里e是一个固定的左单位元。证明 由III，可解。证完。IV，V两个性质非常重要，因为它们可以代替群的第一定义里的第三条。群的第二定义：我们说，一个不空集合G对于一个叫做乘法的代数运算来说做成一个群，假如I. G对于乘法来说是闭的；II. 结合律成立：对于G的任意三个元都对；IV. G里至少存在一个左单位元e,能让对于G的任何元都成立；V. 对于G的每一个元，在G里至少存在一个左逆元，能让我们已经看到，由I，II，III可以推出IV，V来。现在我们反过来证明，由I，II，IV，V也可以推出III来，这就是说以上两个定义有同等价值。这一点我们分三步来证明。（i）一个左逆元一定也是一个右逆元。这句话的意思是：由 可得 因为由V，G有元，使得所以 但 所以 （ii）一个左单位元一定也是一个右单位元。这就是说：对G的任何元成立。因为 所以 （iii）现在我们证明，可解。我们取。由V，存在；由I，。G的这个元显然是以上方程的解，因为由II，（i），同V，同样，是的解。证完。定义1 若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元的乘方，我们就把G叫做循环群；我们也说，G是由元所生成的，并且用符号来表示。叫做的一个生成元。例1 G是所有整数的集合，我们知道G对于普通加法来说做成一个群，这个群我们以下把它叫做整数加群。这个群的全体的元就都是1的乘方，这一点，假如把G的代数运算不用+而用来表示，就很容易看出。我们知道1的逆元是-1，假定m是任意正整数，那么这样G的不等于零的元都是1的乘方。但0是G的单位元，照定义例2 G包含模n的n个剩余类，我们要规定一个G的代数运算，这一次我们把这个代数运算叫做加法，并用普通表示加法的符号来表示。跟从前一样，我们用来表示这个整数所在的剩余类。我们规定：（1） 我们先要看一看，这样规定的+是不是一种代数运算。我们知道，假如 ，那么 ，照我们的规定，（2） （1），（2）两式的左端是一样的，如果它们的右端不一样：那么我们规定的+就不是一种代数运算了。我们说，这种情形不会发生，因为，就是说 ，也就是说 ，因此， 这就是说 这样，规定的+是一个G的代数运算。但这就是说 并且 所以对于这个加法来说，G作成一个群。这个群叫做模n的剩余类加群。我们以前说过，普通我们用0,1,2，n-1来作模n的n个剩余类的全体代表团。所以普通也用来表示这n个剩余类。这样得到的剩余类加群是循环群，因为1显然是G的一个生成元。G的每一个元可写成的样子，这样的一个元我们以上给了两种循环群的例子，这两个例子并不是随意选的，实际上，由于这两个例子我们已经认识了所有的循环群。因为我们有定理1 假定G是一个由元所生成的循环群，那么G的构造完全可以由的阶来决定：的阶若是无限，那么G与整数加群同构；的阶若是一个有限整数n，那么G与模n的剩余类加群同构。证明 第一个情形：的阶无限，这时，当而且只当h=k的时候。由h=k，可得，显然。假如而，我们可以假定hk，而得到，与的阶是无限的假定不合。这样，是G与整数加群间的一一映射。但所以 第二种情形：的阶是n，这时，当而且只当的时候。假如，那么，假如，叫，那么由阶的定义，r=0, 也就是说，。这样，是G与剩余类加群间的一一映射。但所以 让我们看一看，到现在为止我们对于循环群已经知道了些什么。假如有一个循环群，这个群一定有一个生成元，这个元一定有一个固定的阶。这个阶或是无限大，或是一个正整数n。由于例1和例2，我们知道，生成元的阶是无限大或是一个给定的正整数n的循环群是有的。由定理，我们知道，抽象地来看，生成元的阶是无限大的循环群只有一个，生成元的阶是给定的正整数n的循环群也只有一个。至于这些循环群的构造，我们也知道的很清楚：假如G=（），的阶是无限大，那么G的元是 G的乘法是 假如G=（），的阶是n，那么G的元可以写成 G的乘法是 这里 ， 这样，我们对于循环群的存在问题，数量问题，构造问题都已能解答，循环群已完全在我们的掌握之中。这一节的研讨是近世代数的研讨的一个缩影，在近世代数里，不管是在群论里还是在其他部门里，我们研究一种代数系统就是要解决这一种系统的存在问题，数量问题和构造问题。假如我们对于这三个问题能得到如同我们对于循环群所得到的这样完满的解答，我们的目的就算达到了。三、循环群的若干问题1、定义与性质 定义2 设群只有有限个元素，称为有限群。否则为无限群，有限群中元素叫做的阶数，记为。定义3 设G是一个群，取定，则在中生成的子群H叫做生成的循环子群。记为，特别地，若，则称为是一个循环群，是的一个生成元。 定义3设群中每个元可写成中某元的幂，称为循环群。记为，称为的生成元。循环群明显有以下性质：命题1设是有限的，则存在最小的整数，使得，其中是群的单位元，若是无限阶的，则对的任两个不同的幂决不相等。推论1设 ，那么n是群G的阶的充分必要条件是。定义4满足命题1的称为元素的阶或称为的周期，记作，显然当G为无限阶时，。命题2设群，则（1）当时，（2）当时，是阶群推论2 阶群是循环群有个元素命题3有限群的每个元x的阶也是有限的，且为的因数，即，其中n为元x的阶，m为群的阶。命题4循环群一定是交换群。注：其逆命题不一定成立。例如：设，则关于数的乘法做成一个阶循环群。设则则关于数的乘法是交换群，但不是循环群。2、循环群的性质性质1 : 任何循环群都是群。性质2 : 所有无限循环群彼此同构，具有给定阶数的所有有限循环群也彼此同构。事实上: 如果任何一个元素使整数和它相对应, 则一个以元素为生成元的无限循环群即可相互单值地映射到整数加群上; 至于这个映射之为同构映射则由这样一个事实看出, 即元素的幂相乘时, 它们的指数相加。用同样方法可得任何阶循环群到次单位根群上的同构映射。性质3 : 循环群的任一子群仍为循环群。事实上, 假设是一个以元素为生成元的无限或有限阶循环群, 而为中不等于的子群, 再假定包含在中的元素 的最低正幂为 , 这时有。假定同时还包含一个元素且不能被 所整除, 这时, 如果，d是和的最大公约数, 就有两个这样的整数和与存在, 使得 , 因此应包含元素但因; 所以我们得出的结果和元素的选择相矛盾。因此。性质3 说明:如果某一群有子群不是循环群, 那么 一定不是循环群。 群如果是某一循环群的子群, 则它必是循环群。但若, 群的所有真子群均为循环群, 本身可以不是循环群。如几何毕中著名的四元群。性质4 : 若是循环群的子群, 则它们的交群也是循环群。性质5 : 循环群的阶数是它所有元素阶数的最小公倍数。事实上, 由定理可知, 中每个元素的阶数都是的约数, 所以是它们的公倍数。设为中所有元素的阶数的任一公倍数, 则中每一个元素的阶都能整除。由于有阶为的元, 所以, 这说明是中所有元素的阶数的最小公倍数。以上性质给出了判定循环群的必要条件。下面给出循环群的判定定理。3、循环群的判定定理2 群 除本身和单位子群外, 不再有其它子群, 则它必为循环群。证明: 设群没有真子群, 任取 , 由生成一个循环群, 但没有真子群, 故 , 定理得证。由定理, 有限群 的每一元素的阶是的阶的因子, 显然有下定理成立。定理3 设是阶大于1 的群, 那么除本身和单位子群外没有其它子群充要条件是是素数阶的循环群。证明: “ 必要性”由假设, 如果, 则由生成的循环群不是单位子群, 必是整个群。如果, 是无限阶的, 则生成由元素组成的真子群, 故是有限阶的。设的阶是, 则。如果不是质数, 那么 , 这里 , 于是的方幂组成 阶的真子群, 因此 是质数故是质数阶的循环群。反之, 根据定理质数阶的群, 不会包含不是单位子群和整个群的子群。定理4 群是循环群的充要条件是, 的任一子群 在中的指数是有限的, 并且对任何正整数中最多存在一个指数为的子群。证明: 充分性, 当为有限时, 根据指数与阶的关系满足定理6 的条件, 命题成立。当为无限时, 对于任意为有限数, 由于是无限的可得是无限的, 即为无穷阶元素。下面分两步证明:证明是群。对于任意 , ，自同构映射把生成元变成生成元。如果 或 , 则定理得证。如果 (1)或 (2)由(1) 即再由(2)可得从而有即矛盾。再证是循环群,对于任意 , 如果, 则定理得证, 不妨设, 则,考虑商群, 的任一子群均具有形式, 其中是 的子群, 并且, =(:)这就是说 满足定理中所有条件, 从而是阶循环群,设是由生成的, 其中= 则且 设, 我们断定, 不然的话,由是可换的有 前面我们已证过中非单位元都是无穷阶元, 故 即矛盾,这说明, 设, 那么 从而设= , 则是商群的生成元, 。必要性, 显然(略)定理5 阶群是循环群, 如果是中所有元素阶数的最小公倍数。证明: 设是阶群, 则中有最大阶数的元, 设的阶为, 则中任意元的阶数都是的因数, 即是中所有元素阶的公倍数, 由题设是最小公倍数, 必有,但是阶的, 故这就证明了中有阶元。四、循环群的同态，同构定义5 设是群到的一个映射，如果中元素；有则称是到的一个同态映射。定义6 设,是两个群，若存在一个两群之间的一一映射，并且保持运算对任意的，则说是到的一个同构映射，此时，称这两个群是同构的，记为我们看几个例子：例1 是一个循环群，也用表示，由于对任意自然数，均有，故生成元的阶是无限的。例2 无限循环群有且只有两个生成元。证明：因为，只证有两个生成元即可。显然1是（Z，+)两个生成元。因任意，均有除此之外，若还有不同于的生成元，则这与矛盾。推论1 设是一个阶循环群，则是生成元。定义7 群关于其正规子群的陪集做成的群叫做关于的商群。定理6 每个循环群都与无限循环群的一个商群同构。证明：设是任意一个循环群，而是一个无限循环群，则易知是群到的一个同态满射，由同态基本定理知，即与无限循环群的一个商群同构。 定义8 群到自身的同构映射，称为的自同构映射。 定理7 （1）无限循环群的自同构只有两个；（2）阶循环群的自同构有个，即小于且与互素的正整数的个数。 证明：设为循环群的任一自同构，并令，则由于是自同构，故从而即在同构映射下生成元的象仍为生成元。反之，设是的两个生成元，则易知是的一个自同构。因此，的生成元完全决定了的自同构，有多少个生成元，它就有多少个自同构： 若，则有2个生成元，从而有两个自同构； 若，则有个生成元，从而有个自同构 定理8 循环群的自同构群是交换群。 证明：设是循环群，是的自同构，且（，是整数）则由于是群的自同构，故，从而又由于是循环群的生成元，故由此可知，对任意的，均有从而，即循环群的自同构是交换群。 结 论本文专题研究循环群一些性质，在前人得到的部分成果的基础上，吸收国内外学者成功的研究思路和研究方法，对前人的部分成果有了创新和发展，研究了有限群部分元素乘积的问题。人们早已成功地把循环群的存在问题、数量问题、子群的构造问题研究清楚，对于其特殊性质已有了许多美好的结论。但