概率论与数理统计第一章课后答案.docx

习 题1.11试判断下列试验是否为随机试验：（1）在恒力的作用下一质点作匀加速运动；（2）在5个同样的球（标号1,2,3,4,5,）中，任意取一个，观察所取球的标号；（3）在分析天平上称量一小包白糖，并记录称量结果解（1）不是随机试验，因为这样的试验只有唯一的结果（2）是随机试验，因为取球可在相同条件下进行，每次取球有5个可能的结果：1,2,3,4,5，且取球之前不能确定取出几号球（3）是随机试验，因为称量可在相同条件下进行，每次称量的结果用x表示，则有，其中m为小包白糖的重量，为称量结果的误差限易见每次称量会有无穷多个可能结果，在称量之前不能确定哪个结果会发生2写出下列试验的样本空间（1）将一枚硬币连掷三次；（2）观察在时间 0 ，t 内进入某一商店的顾客人数；（3）将一颗骰子掷若干次，直至掷出的点数之和超过2为止；（4）在单位圆内任取一点，记录它的坐标解（1）=（正正正），（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反正反），（反反正），（反反反）；（2）=0，1，2，3，；（3）=（3,4）,（5,6）,(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,1,4),(1,1,5),(1,1,6).（4）在单位圆内任取一点，这一点的坐标设为（x，y）,则x，y应满足条件故此试验的样本空间为3将一颗骰子连掷两次，观察其掷出的点数令 =“两次掷出的点数相同” ， =“点数之和为10” ，=“最小点数为4” 试分别指出事件 、 、以及 、 、 、 、 各自含有的样本点解 =(1,1) ，(2,2) ，(3,3) ，(4,4) ，(5,5) ，(6,6) ; =(4,6) ，(5,5) ，(6,4); =(4,4) ，(4,5) ，(4,6) ，(5,4) ，(6,4);=(1,1)，(2,2)，(3,3)，(5,5)，(6,6);=(4,5)，(4,6)，(5,4)，(6,4);4在一段时间内，某电话交换台接到呼唤的次数可能是0次，1次，2次， 记事件（k = 1 ，2 ，）表示“接到的呼唤次数小于k” ，试用间的运算表示下列事件：（1） 呼唤次数大于2 ；（2） 呼唤次数在5到10次范围内；（3） 呼唤次数与8的偏差大于2 解 (1) ；(2) ；(3) .5试用事件 、 、 及其运算关系式表示下列事件：（1）发生而不发生；（2）不发生但 、至少有一个发生；（3） 、 、中只有一个发生；（4） 、 、中至多有一个发生；（5） 、 、中至少有两个发生；（6） 、 、不同时发生解 (1)；(2)；(3)； (4) ； (5)； (6) 6在某大学金融学院的学生中任选一名学生若事件表示被选学生是女生，事件表示该生是大学二年级学生，事件表示该生是运动员（）叙述的意义（2）在什么条件下成立？（3）在什么条件下成立？ 解（1）该生是二年级女生，但非运动员（2）全学院运动员都是二年级女生（3）全系男生都在二年级7化简下列各事件：（1） ； （2）；（3） ；（4）（5） .解(1) ； (2) ；(3) ； (4) ； (5) .习题1.21已知事件 、 、的概率分别为0.4，0.3，0.6求解 由公式及题设条件得又 2设，求（1） 、 、中至少有一个发生的概率；（2） 、 、都不发生的概率。解（1）由已知，且有，所以由概率的单调性知再由概率的加法公式，得 、 、中至少有一个发生的概率为（2）因为“ 、 、都不发生”的对立事件为“ 、 、中至少有一个发生”，所以得 P（ 、 、都不发生）=1-0.625=0.375。3设 ， ， ，求) ， ， ) 解 . 由 得则 4设 、 、是三个随机事件，且有 ， ， = 0.8 ，求 解 因则又由知，于是5某城市共有 、 、三种报纸发行. 已知该市某一年龄段的市民中，有45%的人喜欢阅读报，34%的人喜欢阅读报，20%的人喜欢阅读报，10%的人同时喜欢阅读报和报，6%的同时人喜欢阅读报和报，4%的人同时喜欢阅读报和报，1%的人 、 、三种报纸都喜欢读. 从该市这一年龄段的市民中任选一人，求下列事件的概率：（1）至少喜欢读一种报纸；（2）不喜欢读任何一种报纸；（3）只喜欢读报；（4）只喜欢读一种报纸.解 设 、 、分别表示从该市这一年龄段的市民中任选一人喜欢读报 、报、报由题设知 （1）该市这一年龄段的市民中任选一人至少喜欢读一种报纸的概率（2）该市这一年龄段的市民中任选一人不喜欢读任何一种报纸的概率 (3) 该市这一年龄段的市民中任选一人只喜欢读报的概率 (4) 同理可以求得：该市这一年龄段的市民中任选一人只喜欢读报的概率 该市这一年龄段的市民中任选一人只喜欢读报的概率故该市这一年龄段的市民中任选一人只喜欢读一种报纸的概率6设，则下列说法哪些是正确的？ （1）和不相容；（2）和相容；（3）是不可能事件；（4）不一定是不可能事件（5）或；（6）。解 因为概率为零的事件不一定是不可能事件，所以（4）正确；又因为，所以（6）正确.习题1.31将10本书任意放到书架上，求其中仅有的3本外文书恰排在一起的概率解 设“3本外文书排在一起”。10本书总的排法有10！种；3本书排成一列共有3！种，将这3本书排列后作为一个元素与另外7本书在一起有8！种排法，所以，事件含有的样本点数为，故2假设十把钥匙中有三把能打开门，今任取两把，求能打开门的概率解 设“能打开门”。样本空间的样本点总数是，事件含有的样本点数为，则3某人欲给朋友打电话，但只记得朋友的电话由五个不同数字组成，其首位是5 ，末位是3 ，中间号不是0 ，只好试拨求其试拨一次即拨对的概率解 设“试拨一次即拨对”。由题意，样本空间的样本点总数为个，而正确的号码只有一个。因此4从装有5只红球4只黄球3只白球的袋中任意取出3只球，求下列事件的概率：（1）取到同色球；（2）取到的球的颜色各不相同解（1）设“取到3只同色球”。任取3只球的样本点总数是，取到3只红球的样本点数是，取到3只黄球的样本点数是，取到3只白球的样本点数是，则（2）设“取到的球颜色各不相同”。任取3只球的样本点总数是，取到的球颜色各不相同，即取到一只红球一只黄球一只白球，其样本点数是，则5将上题中的抽取方式改为“放回抽样” ，即每次取出1球，记下颜色后放回，再作抽取，连取三次，求上述两个事件的概率解（1）设“取到3只同色球”。 样本空间的样本点总数是，取到3只红球的样本点数是，取到3只黄球的样本点数是，取到3只白球的样本点数是，则设“取到的球颜色各不相同”。 任取3只球的样本点总数是，取到的球颜色各不相同，即取到一只红球一只黄球一只白球，其样本点数是，则 6一部四卷的文集,按任意次序放到书架上,问各卷自左向右,或自右向左的卷号的顺序恰好为1,2,3,4的概率是多少?解 设=文集排列为1,2,3,4或4,3,2,1的次序，而一切可能的排列总数为有利于所讨论的事件的排序项序总数为k=2,即按1,2,3,4及4,3,2,1两种次序排列。则所求概率为=0.08337从5双不同的的鞋中任取4只,求这4只鞋中至少有两只配成一双的概率.解（1）设=“4只鞋中至少有两只配成一双，因为有利于事件A的取法总数为（即先从5双中任取一双，再在其余8只中任取2只的取法共有种。是所取四只恰为两双的取法数是重复的数目，应用中扣掉），所以有8两封信随机地投入四个邮筒，求前两个邮筒内没有信的概率解 设=“前两个邮筒内没有信”。因为每封信有4种投法，所以两封信共有种投法，而所包含的样本点数为，从而9一间宿舍内住有6位同学，求他们中有4个人的生日在同一个月份的概率解 设=“6位同学中有4个人的生日在同一个月份”。每位同学的生日可能是12个月份中的一个月份，6位同学的生日可能有种不同分布方式，而事件的样本点数为，于是，所求概率为 10某货运码头仅能容一船卸货,而甲已两船在码头卸货时间分别为1小时和2小时设甲、乙两船在24小时内随时可能到达，求它们中任何一船都不需等待码头空出的概率。解 设x,y分别表示两船到达某地的时刻,用A表示两船中的任何一船都不需等待码头空出。依题设，样本空间 事件 显然这是一个几何概型，故 习题1.4设，问 (1) 什么条件下可以取最大值，其值是多少？（）什么条件下可以取最小值，其值是多少？解（）因为.要使最大，则需最大，当时， 可以取最大值，此时； (2) 因为 所以时，取最小值，此时 2设箱中有5个零件，其中2个为不合格品，现从中一个个不放回取零件，求在第三次才取到合格品的概率解 设表示第i次取到合格品，则所求概率为3由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记为事件）的概率为 ,刮风（记为事件）的概率为，既刮风又下雨的概率为求解 由题设知 ，则4某工厂生产的产品中36 为一等品，54 为二等品，10 为三等品从中任意取出1件产品，已知它不是三等品，求其是一等品的概率解 设“取出的产品为一等品”，“取出的产品为二等品”，“取出的产品为三等品”，则故所求概率为5 一批电子元件中，甲类的占80 ，乙类的占12 ，丙类的占8 三类元件的使用寿命能达到指定要求的概率依次为0.9 、0.8和0.7 今任取一个元件，求其使用寿命能达到指定要求的概率解 设“任取一个元件为甲类”，“任取一个元件为乙类”，“任取一个元件为丙类”，“达到指定要求”，则有 故由全概率公式，有 6某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱 甲厂每箱装100个，废品率为0.06 ，乙厂每箱装120个，废品率是0.05 ，求：（1）任取一箱，从中任取1个为废品的概率；（2）若将所有产品开箱混放，则任取1个为废品的概率为多少？解 （1）设“任取一箱为甲厂的产品”，“任取一箱为乙厂的产品”， “任取一个产品为废品”，则构成完备事件组，由全概率公式，有 （2）甲厂产品30箱，每箱100个，废品率为0.06，故共有甲厂产品个，其中次品个；乙厂产品20箱，每箱120个，废品率为0.05，故共有乙厂产品个，其中次品个；两厂产品混到一起，共有产品3000+2400=5400个，其中有次品180+120=300个，所以，从中任取一个为废品的概率是7甲袋中有3只白球4只红球，乙袋中有5只白球2只红球从甲袋中任取2球投入乙袋，再从乙袋中任取2球求最后取出的2球全是白球的概率解 设表示“第一次取到只白球”，表示“第二次取到2只均为白球”，则 是的一个分割且，即 又故由全概率公式，可得 8设一箱产品共100件，其中次品个数从0到2是等可能的开箱检验时，从中随机抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收（1）求该箱产品通过验收的概率；（2）若已知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率解（1）设表示“次品个数为”，表示“该箱产品通过验收”则由题意，有 由全概率公式，得 于是该箱通过验收的概率为(2) 所求概率为习题1.51. 设，证明 、相互独立的充分必要条件是 证明 充分性因为P(AB) P(|) = 1即 故有 即相互独立必要性 因为相互独立，则有从而即 2. 甲、乙、丙三门炮向同一飞机射击设甲、乙、丙射中的概率分别为0.4 、0.5 、0.7 ，又设若只有一门炮射中，飞机坠毁的概率为0.2 ；若有二门炮射中，飞机坠毁的概率为0.6 ；若三门炮射中，飞机坠毁的概率为0.8 ；无人射中，飞机不会坠毁求飞机坠毁的概率解 设“飞机坠毁”，“门炮弹射中飞机”显然，构成完备事件组三门炮各自射击飞机，射中与否相互独立，按加法公式及乘法公式，得 再由题意知 由全概率公式，得 3. 假设每名射手命中目标的概率都是0.3 问须多少名射手同时射击，方能以0.99以上的概率击中目标？解 设有n名射手同时射击，则目标被击中的概率为由题意，求n，使 即 可得 4. 某商家对其销售的笔记本电脑液晶显示器作出如下承诺：若一年内液晶显示器出现重大质量问题，商家保证免费予以更换已知此种液晶显示器一年内出现重大质量问题的概率为0.005 ，试计算该商家每月销售的200台电脑中一年内须免费予以更换液晶显示器的台数不超过1的概率解 根据题意，这是一个的200重的伯努利试验问题，所求概率为 5. 某工厂生产的仪器中一次检验合格的占60 ，其余的需重新调试 经重新调试的产品中有80 经检验合格，而20 会被判定为不合格产品而不能出厂现该厂生产了200台仪器，求下列事件的概率：（1） 全部仪器都能出厂；（2） 恰有10台不合格.解 设“仪器需要重新调试”，那么“仪器能直接出厂”； 又设“仪器能出厂”，则“仪器经调试后能出厂”，且易知 .于是 考察200台仪器，相当于的200重伯努利试验，则（1）（2）.6. 某厂的产品，80 按甲工艺加工，20 按乙工艺加工， 两种工艺加工出来的产品的合格率分别为0.8与0.9 现从该厂的产品中放回地取5件来检验，求其中最多只有一件次品的概率解 设“产品是按甲工艺加工的”，那么“产品是按乙工艺加工的”；又设“取出一件产品为次品”，则 由全概率公式，得 现从该厂的产品中放回地取5件来检验，相当于的200重伯努利试验，则所求概率为 综合练习一一 填空题1.将一颗骰子连掷两次，该试验的样本空间为（ ）. 2.三事件至多发生两个可表示为（）.3.若事件互斥，则（ 0.4. ）.4. 已知两个事件满足条件且，则 ( ).5.设为二随机事件，则（ 0.6 ）.6.将一枚硬币连掷两次，则出现一次正面一次反面的概率为（ ）.7. 已知两个随机事件满足条件，则 ( 0.4 ).8.设5产品中有2件不合格品, 从中任取两件, 已知所取两件产品中有一件是不合格品, 则另一件也是不合格品的概率为（ ）.9.设某系统由元件和两个并联的元件串联而成，若损坏与否相互独立, 且它们损坏的概率依次为0.3, 0.2, 0.1, 则系统正常工作的的概率为（ 0.089. ）.10.将一只骰子连续掷3次，则至少有一次出现3点的概率为（ ） .二 选择题1.对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（ (d) ） .(a) 样本空间 (b) 必然事件 (c) 不可能事件 (d) 随机事件2设A, B是任意两个概率不为零的互不相容事件, 则必有（ (d) ）。(a) (b) 与 相容(c)与互不相容 (d) 3设当同时发生时，事件C必发生，则（ (b) ）. (a) (b) (c) (d) 4设，则( (d) ). 5设为三个随机事件, 且, 则（ (a) ） 6设对于事件有,， ,则至少发生一个的概率为 ( (d) )7设为两个随机事件，且，则有（ (c) ）(a) (b) (c) (d) 8事件相互独立，且（ (b) ）。9设两个相互独立的事件都不发生的概率为, 发生B不发生的概率与发生不发生的概率相等，则 ( (c) ) 10若则（ (a) ）.三 解答题1判断关于事件的结论是否成立,为什么?解 利用事件运算的分配律，有 显然，一般不等于A,故结论不一定成立，,只有时，结论成立.2设6位同学每位都等可能地进入十间教室中任何一间自习，求下列事件的概率：（1） 某指定教室有2位同学；（2） 6位同学所在的教室各不相同；（3） 只有2位同学在同一教室；（4） 至少有2位同学在同一教室解 因为对教室中的人数没有限制，所以每位同学都有10种选择，6位同学共有种选法，即样本点总数为（1）设“某指定教室有2位同学”，则包含的样本点数为，故 （2）设“6位同学所在的教室各不相同”， 则包含的样本点数为，故 （3）设“只有2位同学在同一教室”，则包含的样本点数为，故（4）设“至少有2位同学在同一教室”，则“6个同学均在不同的教室”，故3（1）从7副同型号的手套中任意取出4只，求恰有一双配套的概率；（2）若是7副不同型号的手套，上述事件的概率为何？解（1）设=“从7副同型号的手套中任意取出4只，恰有一双配套”，则样本空间的样本点总数为 ，事件包含的样本点数为，于是（2）设“ 从7副不同型号的手套中任意取出4只，恰有一双配套”， 则样本空间的样本点总数为，事件包含的样本点数为，于是 4甲、乙、丙三个车间生产同种产品，次品率分别为0.05 、0.08 、0.1 从三个车间各取1件产品检查，求下列事件的概率：（1） 恰有2件次品； （2） 至少有1件次品解设 =“从甲车间取出的是次品”，“从乙车间取出的是次品”，“从丙厂取出的是次品”. （1）设 D=“恰有2件次品”，则 ，于是（2）设“至少有1件次品”，则 5 在0，1区间内任取两个数，求两数乘积小于的概率。解 设任取得两个数为x，y，用A表示两数的乘积小于这一事件，样本空间 事件 显然利用几何概型的计算公式有， 6甲、乙两人轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为0.4及0.5 ，问谁先投中的概率较大，为多少？解 设表示“甲第次投中”，表示“乙第次投中”事件“甲先投中”可表示为 则甲先投中的概率为 即甲先投中的概率较大，概率为0.57。7某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”、“一般的”、“冒失的”。统计资料表明，上述3种人在一年内发生事故的概率依次为0.05、0.15和0.30；如果“谨慎的”被保的人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%.(1 ) 求被保险的人一年内出事故的概率。（2）现知某被保险的人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？ 解 （1）设“被保险的人一年出事故”，“被保险的人是谨慎的”，“被保险的人是一般的，“被保险的人是冒失的”显然，构成完备事件组三类人一年内是否出事故，相互独立， (2) 8设某车间共有5台车床，每台车床使用电力是间歇性的，平均每小时约有6分钟使用电力。假设车工们工作是相互独立的，求在同一时刻，（1）至少有三台车床被使用的概率（2）至多有有三台车床被使用的概率（3）至少有一台车床被使用的概率。解 设A表示” 车床被使用 ” 即使用电力事件.有 9某种疾病在牲畜中传染的概率为0.25.设对20头牲畜注射某种血清后，其中仍有一头受到感染，试问这种血清是否有效？ 解 若这种血清无效,则因每头牲畜注射血清后都有受到感染和未受感染两种结果,且牲畜间是相互独立的,故此试验相当于20重贝努利试验,n=20,p=0.25,故知20头牲畜中出现至多一头受感染的概率为 因为这个概率很小，一般在一次试验中不易发生，故根据小概率推断原理，知此种血清是有效的。10某自动化机器发生故障的概率为0