（课标通用）高考数学一轮复习 坐标系与参数方程学案 理 选修44.doc

选修44坐标系与参数方程考纲展示1.理解坐标系的作用了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况2会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化3能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程4了解参数方程，了解参数的意义5能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程6掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题考点1直角坐标方程与极坐标方程的互化 1.极坐标系(1)设m是平面内一点，极点o与点m的距离om叫做点m的_，记为，以极轴ox为始边，射线om为终边的角叫做点m的极角，记为.有序数对(，)叫做点m的极坐标，记作m(，)一般地，不作特殊说明，我们认为0,02.(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设m是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(，)，则它们之间的关系为x_，y_.另一种关系为2_，tan _(x0)答案：(1)极径(2)cos sin x2y22常用简单曲线的极坐标方程(1)几个特殊位置的直线的极坐标方程直线过极点：0和0；直线过点m(a,0)且垂直于极轴：cos a；直线过m且平行于极轴：sin b.(2)几个特殊位置的圆的极坐标方程当圆心位于极点，半径为r：_；当圆心位于m(a,0)，半径为a：_；当圆心位于m，半径为a：_.答案：(2)r2acos 2asin 典题1(1)在极坐标系下，已知圆o：cos sin 和直线l：sin.求圆o和直线l的直角坐标方程；当(0，)时，求直线l与圆o公共点的一个极坐标解圆o：cos sin ，即2cos sin ，圆o的直角坐标方程为x2y2xy，即x2y2xy0.直线l：sin，即sin cos 1，则直线l的直角坐标方程为yx1，即xy10.由得故直线l与圆o公共点的一个极坐标为.(2)2017河南洛阳统考已知圆o1和圆o2的极坐标方程分别为2，22cos2.将圆o1和圆o2的极坐标方程化为直角坐标方程；求经过两圆交点的直线的极坐标方程解由2知，24，所以x2y24.因为22cos 2，所以222，所以x2y22x2y20.将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为xy1.化为极坐标方程为cos sin 1，即sin.点石成金(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式xcos 及ysin 直接代入并化简即可；(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如cos ，sin ，2的形式，进行整体代换其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验考点2参数方程与普通方程的互化1.曲线的参数方程在平面直角坐标系xoy中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变量t的函数并且对于t的每一个允许值，上式所确定的点m(x，y)都在这条曲线上，则称上式为该曲线的_，其中变量t称为_答案：参数方程参数2一些常见曲线的参数方程(1)过点p0(x0，y0)，且倾斜角为的直线的参数方程为(t为参数)(2)圆的方程(xa)2(yb)2r2的参数方程为(为参数)(3)椭圆方程1(ab0)的参数方程为(为参数)答案：(1)x0tcos y0tsin (2)arcos brsin (3)acos bsin 3直线参数方程的标准形式的应用(1)过点m0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程是(t是参数，t可正、可负、可为0)若m1，m2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)m1，m2两点的坐标分别是(x0t1cos ，y0t1sin )，(x0t2cos ，y0t2sin )(2)|m1m2|t1t2|.(3)若线段m1m2的中点m所对应的参数为t，则t，中点m到定点m0的距离|mm0|t|.典题2(1)把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：(t为参数)；(t为参数)；(t为参数)解由x1t，得t2x2，y2(2x2)，xy20，此方程表示直线由y2t，得ty2，x1(y2)2，即(y2)2x1，此方程表示抛物线 22，得x2y24，此方程表示双曲线(2)2017重庆巴蜀中学模拟已知曲线c的参数方程是(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)，求曲线c与直线l的普通方程；若直线l与曲线c相交于p，q两点，且|pq|，求实数m的值解由得的平方加的平方，得曲线c的普通方程为x2(ym)21.由x1t，得tx1，代入y4t得y42(x1)，所以直线l的普通方程为y2x2.圆心(0，m)到直线l的距离为d，所以由勾股定理，得221，解得m3或m1.点石成金化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，不要忘了参数的范围.在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为(t为参数)以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，c的极坐标方程为2sin .(1)写出c的直角坐标方程；(2)p为直线l上一动点，当p到圆心c的距离最小时，求p的直角坐标解：(1)由2sin ，得22sin ，从而有x2y22y，所以x2(y)23.(2)设p，又c(0，)，则|pc|，故当t0时，|pc|取得最小值，此时，p点的直角坐标为(3,0)考点3极坐标、参数方程的综合应用典题3在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为(t为参数)在极坐标系(与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆c的方程为2sin .(1)求圆c的直角坐标方程；(2)设圆c与直线l交于点a，b，若点p的坐标为(3，)，求|pa|pb|.解(1)由2sin ，得22sin ，x2y22y，即x2(y)25.(2)将l的参数方程代入圆c的直角坐标方程，得225，即t23t40.由于(3)24420，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以又直线l过点p(3，)，故由上式及t的几何意义，得|pa|pb|t1|t2|t1t2|3.点石成金1.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程后求解当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程2过定点p0(x0，y0)，倾斜角为的直线的参数方程的标准形式为(t为参数)，t的几何意义是直线上的点p到点p0(x0，y0)的数量，即|t|，t可正，可负使用该式时直线上任意两点p1，p2对应的参数分别为t1，t2，则|p1p2|t1t2|，p1p2的中点对应的参数为(t1t2).2017黑龙江大庆模拟在平面直角坐标方程xoy中，已知直线l经过点p，倾斜角.在极坐标系(与直角坐标系xoy取相同的长度单位，以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆c的极坐标方程为2cos.(1)写出直线l的参数方程，并把圆c的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设l与圆c相交于a，b两点，求|pa|pb|的值解：(1)直线l的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)由2cos ，得2cos 2sin ，22cos 2sin ，x2y22x2y，故圆c的直角坐标方程为(x1)2(y1)22.(2)把(t为参数)代入(x1)2(y1)22，得t2t0，设点a，b对应的参数分别为t1，t2，则t1t2，t1t2，|pa|pb|t1t2|.方法技巧1.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化思路：对于简单的我们可以直接代入公式cos x，sin y，2x2y2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方、两边同时乘以等2参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos2sin21,1tan2.3利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法易错防范1.极径是一个距离，所以0，但有时可以小于零极角规定逆时针方向为正，极坐标与平面直角坐标不同，极坐标与p点之间不是一一对应的，所以我们又规定0,00)在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线c2：4cos .(1)说明c1是哪一种曲线，并将c1的方程化为极坐标方程；(2)直线c3的极坐标方程为0，其中0满足tan 02，若曲线c1与c2的公共点都在c3上，求a.解：(1)消去参数t得到c1的普通方程x2(y1)2a2.c1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆将xcos ，ysin 代入c1的普通方程中，得到c1的极坐标方程为22sin 1a20.(2)曲线c1，c2的公共点的极坐标满足方程组若0，由方程组得16cos28sin cos 1a20，由tan 2，可得16cos28sin cos 0，从而1a20，解得a 1(舍去)或a1.a1时，极点也为c1，c2的公共点，在c3上所以a1.22016新课标全国卷在直角坐标系xoy中，圆c的方程为(x6)2y225.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求c的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与c交于a，b两点，|ab|，求l的斜率解：(1)由xcos ，ysin 可得圆c的极坐标方程为212cos 110.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为(r)设a，b所对应的极径分别为1，2，将l的极坐标方程代入c的极坐标方程，得212cos 110.于是1212cos ，1211.|ab|12|.由|ab|，得cos2，tan .所以l的斜率为或.32016新课标全国卷在直角坐标系xoy中，曲线c1的参数方程为(为参数)以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线c2的极坐标方程为sin2.(1)写出c1的普通方程和c2的直角坐标方程；(2)设点p在c1上，点q在c2上，求|pq|的最小值及此时p的直角坐标解：(1)c1的普通方程为y2 1，c2的直角坐标方程为xy4 0.(2)由题意，可设点p的直角坐标为(cos ，sin )因为c2是直线，所以|pq|的最小值即为p到c2的距离d()的最小值，d()sin2.当且仅当2k(kz)时，d()取得最小值，最小值为，此时p的直角坐标为.42015新课标全国卷在直角坐标系xoy中，直线c1：x2，圆c2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求c1，c2的极坐标方程； (2)若直线c3的极坐标方程为(r)，设c2与c3的交点为m，n，求c2mn的面积解：(1)因为xcos ，ysin ，所以c1的极坐标方程为cos 2，c2的极坐标方程为22cos 4sin 40.(2)将代入22cos 4sin 40，得2340，解得12，2.故12，即|mn|.由于c2的半径为1，所以c2mn的面积为.52015新课标全国卷在直角坐标系xoy中，曲线c1：(t为参数，t0)，其中0.在以o为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线c2：2sin ，c3：2cos .(1)求c2与c3交点的直角坐标；(2)若c1与c2相交于点a，c1与c3相交于点b，求|ab|的最大值解：(1)曲线c2的直角坐标方程为x2y22y0，曲线c3的直角坐标方程为x2y22x0.联立 解得 或 所以c2与c3交点的直角坐标为(0,0)和.(2)曲线c1的极坐标方程为(r，0)，其中0.因此a的极坐标为(2sin ，)，b的极坐标为(2cos ，)所以|ab|2sin 2cos |4.当时，|ab|取得最大值，最大值为4. 课外拓展阅读 直线参数方程中参数t的几何意义过定点m0(x0，y0)，倾斜角为的直线的参数方程为(t为参数)通常称为直线l的参数方程的“标准式”其中参数t的几何意义是：|t|是直线上任一点m(x，y)到m0(x0，y0)的距离，即|m0m|t|.当00，所以，直线l的单位方向向量e的方向总是向上此时，若t0，则的方向向上；若t0)，过点p(2，4)的直线l的参数方程为(t为参数)直线l与曲线c分别交于m，n两点(1)求a的取值范围；(2)若|pm|，|mn|，|pn|成等比数列，求实数a的值思路分析(1)由题意知，曲线c的直角坐标方程为y22ax(a0)，将直线l的参数方程代入曲线c的直角坐标方程，令0即可求得结果；(2)设交点m，n对应的参数分别为t1，t2，由参数方程中t1，t2的几何意义，可得t1t22(4a)，t1t22(164a)，然后由|pm|，|mn|，|pn|成等比数列，可得|t1t2|2|t1t2|，代入求解即可解(1)由题意，可得曲线c的直角坐标方程为y22ax(a0)，将直线l的参数方程(t为参数)代入曲线c的直角坐标方程，得t2(4a)t164a0，因为直线l与曲线c交于m，n两点，所以0，即a0或a0，所以a的取值范围为(0，)(2)设交点m，n对应的参数分别为t1，t2.则由(1)知，t1t22(4a)t1t22(164a)，若|pm|，|mn|，|pn|成等比数列，则|t1t2|2|t1