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二面角教案 安岳中学 王小琴教学目标：知识目标：使学生掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义、作法、求法以及这些知识的初步应用。能力目标：进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的转化思想；培养学生的空间想象力、逻辑思维能力、知识迁移能力，并运用数学知识、数学方法解决生活中的问题；德育目标：让学生认识到数学来源于实践，又作用于实践，从而增强学生应用数学的意识；通过对线线、线面、面面之间的内在联系的揭示，进一步培养学生辩证唯物主义观；情感目标：在平等的教学氛围中，通过师生互动，拉近了师生间的情感距离；教学重点和难点：教学重点：“二面角”和“二面角的平面角”的概念；教学难点：“二面角的平面角”概念形成的过程及作法教学方法：1.启发式教学法2.激励探索讨论发现授课类型：新知课课时：一课时教具准备：三角板，纸板，彩色粉笔教学手段：多媒体辅助教学教学过程I.课题导入同学们，刚才我们一起欣赏了埃及金字塔风光，对其有了一定的了解，下面我们再一起从数学的角度来欣赏这些金字塔。（启发学生观察构成这些金字塔的面与面之间的关系），构成金字塔的任意两个面都是相交的，如何定量研究两个相交平面的相对位置关系呢？这就是我们这一节课共同探讨的问题二面角（板书课题）II讲授新课 一二面角的定义请同学们看我手中的纸板，现在我在上面画一条直线，则这条直线将纸板所在的平面分成两个半平面，然后将纸板沿着这条直线折起，得到的图形就是一个二面角，引出二面角的定义。（教师板书二面角的定义并打开课件，学生在书上勾出二面角的定义并看课件） 教师：在现实生活中，二面角的实例非常多，请同学们举出一些二面角的实例。二：二面角的画法及表示： 请同学们画出下面几个常见的二面角:(多媒体展示二面角的模型,这些二面角是不同方位不同角的的二面角，第一个由教师引导学生一起画，画好后给出其表示方法，后两个请两个同学来画在黑板上，其余同学在草稿纸上完成，画好后老师给予评价，最后教师再用多媒体展示画好的图形)三：二面角的平面角1.揭示概念产生背景让学生观察把书慢慢翻看的过程，得到很多二面角，教师问学生这些二面角有什么不同，引导学生观察发现二面角的倾斜程度不同，即大小不一样。如何度量这些二面角的大小呢？（这样就从度量二面角大小的需要上揭示了二面角的平面角概念产生的背景）2.揭示概念内涵（1）.类比。教师启发，寻找类比联想的对象。引导学生回忆前面学过的两种空间角两条异面直线所成的角及斜线和平面所成的角的定义。学生回答完这两种空间角的定义后，教师追问这两种空间角有什么共同的特点呢？它们的共同特点是将三维空间的角转化为二维空间的角，及将空间角转化为平面角。且这个角是唯一的。（2），提出类比猜想：空间问题转化为平面问题是解决立体几何问题的基本思想。二面角能否用平面角来定义呢？若能，角的顶点及两边如何确定呢？（学生容易想到将顶点放在二面角的棱上，两边分别放在两个半平面内）下面我们一起来探索平面角的两边是否可以任意放在面内？（3）探索实验教师拿出由一个90的直角,一个30和一个60的锐角组成的三角板，首先将30角的顶点放在用纸板做好的二面角的棱上，角的两边紧靠二面角的两个半平面得到一个30的二面角，然后按照上面的方法将60角和90角的顶点放在棱上得到一个60和90的平面角。从这个探索过程中发现二面角的大小不唯一确定，而一个二面角确定后，其大小应唯一确定的，所以二面角的平面角的两边不能任意放。那么两边应满足什么条件呢？教师先请学生直观感受纸板做成的二面角的平面角是哪个角？然后再找出这一个角的特点：这个角所在的平面和二面角的棱垂直。即作二面角的棱的垂面，垂面和二面角的两个半平面的交线构成的角就是这个平面角，再和学生一起探讨角的大小与垂面的位置无关，多媒体演示并这个探讨过程。最后说明这一个角作为二面角的平面角的合理性，第一：这个角的大小与二面角的大小正相关，第二：这个角的大小唯一确定且与顶点在棱上的位置选取无关。教师板书二面角的平面角的定义三二面角的平面角的定义：一个平面垂直于二面角l的棱，并与两半平面分别相交于射线OA、OB垂足为O，则AOB叫做二面角l的平面角。根据定义得出二面角平面角的三个特点：1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内3）角的两边均垂直于棱教师：根据二面角平面角的定义及其特点请看图（1）和图（2），哪个图中的AOB是二面角alb的平面角？（请一个学生回答并说明原因。教师再强调二面角平面角的特点。）ablOAB ablOAB 图(1) 图(2)请同学们思考二面角大小的取值范围。教师以一本打开的书为例，让学生感知二面角的范围是 0,，并指出当两个半平面重合时二面角为0，当两个半平面合成一个平面时二面角的大小是，当二面角的大小是90时，称这个二面角为直二面角。（教师板书出二面角的大小范围以及之二面角的定义）III：范例分析下面我们一起来研究一道例题。例、 过空间中的一点P，分别作二面角 l 两个半平面的垂线，若两垂线的夹角为60，则此二面角的大小为 LBAOP PAOBL 分析：要求二面角的大小，关键是作出二面角的平面角，由已知PA,PB,则易得到L平面PAB，利用定义，则只需找到平面PAB与及的交线即可找到二面角的平面角。根据PA,PB夹角是60得到APB=60或APB=120易求出二面角平面角的大小。解：如图：PA平面，PB PA直线L, PB直线LL平面PAB设L平面PAB=O,则L平面=OA, 则L平面=OBAOB为此二面角的平面角。由题意，PA,PB的夹角为60APB=60或APB=120AOB=120或AOB=60 总结：1.求二面角的大小的基本步骤：（1）：作作出二面角的平面角；（2）：证证明所作的角为二面角的平面角；（3）：计算常用解三角形的方法。2.作二面角平面角的方法垂面法（定义法）IV：课堂练习：练习：如图:已知P是二面角 AB 棱上一点，过 P 分别在a、b内引射线PM、PN，且MPN=60，BPM =BPN =45，求此二面角的度数。b a ABP M N （学生做完之后，抽一至二名学生回答他的解题思路，根据学生的回答情况，教师做适当的补充，并把完整的解答过程通过幻灯片放映出来，最后再和学生一起总结本题的二面角的平面角的作法垂线法）V 解决课前提出的问题现在我们再一起回到课前提出的问题：如何定量刻画金字塔的面与面的相对位置关系，以最大的金字塔胡夫金字塔为例，已知胡夫金字塔的高度约146.59米，地面四周的长度均约230米，求胡夫金字塔的侧面与地面所成的角。（利用多媒体显示胡夫金字塔）分析：此题的求解过程要对实际图形作出想象理解，然后抽象出数学模型底面是正方形，侧棱相等的四棱锥P-ABCD,以一个侧面PBC为例讲解，根据高是146.59米，则作出P在底面ABCD的射影O，易知O为底面的中心，如何作出二面角的平面角呢？过O作OEBC，垂足为E,连结PE，根据三垂线定理得到BCPE,则PEO为侧面PBC与地面ABCD所成二面角的平面角，在直角三角PEO中易算出PEO的大小。此例的求解是应用三垂线定理作二面角的平面角，是立体几何中求作二面角的基本方法，三垂线定理法作二面角的平面角的基本步骤：自二面角一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向另一面引垂线得到棱上的点即斜足，斜足与面上一点的连线和斜足与垂足的连线所成的角就是二面角的平面角。这种方法应用较广泛，我们下一节课将继续研究这种方法。（由于数字不特殊，教师直接给出最后算出的答案）Cos 0.618被称为最能体现美学价值的黄金数 =51.752被称为自然界塌落现象的稳定角教师：从上述数据可以看出金字塔为什么这么美观，为什么至今还保存得这么完好，可见金字塔凝结着多少古埃及人们的知识和智慧，这也是至今还吸引着成千上万的人们去探索它的一个原因。VI课时小结：本节课我们学习了二面角的定义，二面角的表示方法，二面角的平面角的定义，二面角的大小计算。求二面角大小的基本步骤：一作二证三计算。关键步骤是“作”，常见的二面角的作法有：（1）垂面法（定义法），（2）垂线法，（3）三垂线定理法。（先由学生自己归纳总结，教师作适当的补充）VII布置作业必做题1.教材P52 3、42. 如图1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1,AB的中点(1)求二面角B-CF-E的大小；ACDBC1A1D1FEB1图1(2)二面角D-CF-E的大小为， 分别表示的面积，求证：选做题P如下图，P为1200的二面角内一点，P到的距离分别为3和5，求P到棱的距离；思考题：胡夫金字塔相邻侧面，相对侧面所成二面角的大小VII板书设计：二 面 角一： 二面角的定义 三：二面角的平面角的定义： 例题 ： 练习 ： 三个特征：（1）： 二：二面角的画法及表示 （2）： （3）： 四：二面角大小的取值范围： 小结： 直二面角：“二面角”教案说明二面角是普通高中课程标准试验教科书人教B版数学必修第9章第7小节直线和平面所成的角与二面角中的内容。根据课程标准的要求，结合教材实际，我将从背景分析目标定位，教学设想，教学方法和评价等五个方面对本节课的教学设计进行说明。一 背景分析1.教材分析二面角是在学生学习了异面直线所成的角、直线与平面所成的角之后，又一个要学习的空间角，而二面角的本质特征是从度量的角度，通过二面角的平面角揭示了平面与平面的位置关系（垂直关系是其中的一种特殊关系），它为以后从度量角度研究面与面的非垂直关系奠定了基础，因此二面角的内容在教材中起到了一个承上启下的作用，同时，通过本节课的学习，可以进一步培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。同时，在生活中，可以利用二面角的求法解决一些简单的实际问题。2.学情分析通过前面的学习，学生已具备了一定的空间想象力，对空间中的角度有了一定的认识，但对数和形的综合问题处理能力还有待进一步加强；由于学生间存在个体差异，所以我采用分层递进，总体推进的教学思想；二授课内容的数学本质与教学目标定位：，二面角是立体几何中研究的第三种空间角，它是在学习了线线角，线面角的基础上学习的又一种空间角。二面角的本质特征是从如何度量这个空间角的角度去研究它。类比联想前两种空间角的度量方法，将三维空间的角转化为二维空间的角，这就体现了降维的数学思想方法，也是立体几何的基本思想方法。结合课程标准的要求，根据上述教材结构与内容分析，并考虑到学生已有的认知结构、心理特征，制定如下教学目标：知识目标：使学生掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义、作法、求法以及这些知识的初步应用。能力目标：进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的转化思想；培养学生的空间想象力、逻辑思维能力、知识迁移能力，并运用数学知识、数学方法解决生活中的问题；德育目标：让学生认识到数学来源于实践，又作用于实践，从而增强学生应用数学的意识；通过对线线、线面、面面之间的内在联系的揭示，进一步培养学生辩证唯物主义观；情感目标：在平等的教学氛围中，通过师生互动，拉近了师生间的情感距离；三教学设想鉴于我对这堂课本质的认识以及确立目标依据的看法，我对本堂课的教学过程设计及设计意图如下教学环节教学设计设计意图创设情境多媒体展示埃及金字塔风光从学生感兴趣的实例出发，让学生感受到数学源于实际生活，明确研究面面角的必要性，使新课的引入显得生动自然、易于接受；展现概念形成过程1.引出二面角的概念及表示(见课件)2.让学生举出生活中的二面角的实例。(教师出示预先准备好的二面角的模型)模型是学生形成和掌握概念的前提；探索交流 深化新知1 教师再演示二面角模型翻开的书一开一合的过程，然后提问：二面角有没有大小？学生回答后再追问：大小是如何度量的？教师启发学生类比以前学过的两种空间角的定义，寻找他们的共同点：将空间角转化为平面角且角的大小事唯一确定的。2 通过实验探索二面角的大小。（提问：实验中的角大小确定吗？）3 二面角平面角的概念； 提问：平面角与垂直平面的位置有关系没有？ (揭示定义的合理性和角度的唯一性) 从度量二面角大小的需要上揭示了二面角平面角概念产生的背景；通过实验，激发学生的学习兴趣，培养学生的动手操作能力它的平面角将空间角转化为了平面角，培养学生转化的思想；范例分析 学以致用例1 过空间中的一点，分别作二面角两个半平面的垂线，若两垂线的夹角为600，则此二面角的大小为_;利用多媒体演示此问题的两种情况加深了对二面角定义的理解；分情况讨论发散了学生的思维，也体现了数学的严密性，让学生养成全面思考问题的习惯；为后面学习用向量法求解二面角作好铺垫，分解了后面学习的难度；反馈演练如图:已知P是二面角 AB 棱上一点，过 P 分别在a、b内引射线PM、PN，且MPN=60，BPM =BPN =45，求此二面角的度数。b a ABP M N 这样的练习既锻炼了学生的动手能力，还揭示了例题的引申功能，使例题的作用突出，导向明确，极有利于学生对知识串联、累积、加工，从而达到举一反三的作用 解决课前提出的问题已知胡夫金字塔的高度约146.59米，地面四周的长度均约230米，求胡夫金字塔的侧面与地面所成的角。230米146.59米ABCDOE115米186.6米前后呼应让学生掌握二面角平面角的又一种作法三垂线定理法让学生体会数学中的美归纳小结让学生自己来总结：本节课学习了什么？你懂得了该如何去学习？教师对学生的总结作适当的补充!让学生成为学习的主体，从学会到会学!布置作业必做题1.教材P52 3、42. 如图1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1,AB的中点(1)求二面角B-CF-E的大小；ACDBC1A1D1FEB1图1(2)二面角D-CF-E的大小为， 分别表示的面积，求证：选做题P如下图，P为1200的二面角内一点，P到的距离分别为3和5，求P到棱的距离；思考题胡夫金字塔相邻侧面，相对侧面所成二面角的大小补充练习题的第(2)问为后面射影面积法的学习作好铺垫分层递进，总体推进的教学思想；思考题再次用胡夫金字塔作为载体，再次体现数学与实际生活的联系，增强了学生的学习兴趣。四本节课的教法特点及预期效果分析。1.数学是一门培养人思维，发展人思维的重要学科。因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”。所以在学生为主体，教师为主导的原则下，要充分揭示获取知识和方法的思维过程。因此本节课我以建构主义的“创设问题情境提出数学问题尝试解决问题验证解决方法”为主，主要采用观察、启发、类比、引导、探索相结合的教学方法。在教学手段上，则采用多媒体与模型相结合，将抽象问题形象化，使教学目标体现的更加完美。2.选择了学生感兴趣的问题，激励学生对知识的渴望与追求，体现了数学与生活得联系。3在动手实践、合作交流中，培养学生的团结协作精神，让学生体验到数学活动中充满了探