2012年全国硕士研究生入学考试数学二试题.doc

2012年全国硕士研究生入学考试数学二试题一、 单项选择题：每题4分，满分32分1. 曲线的渐近线的条数为【 】A. 0; B. 1; C. 2; D. 3.2. 设函数，其中为正整数，则【 】A； B. ; C. ; D. .3. 设，则数列有界是数列收敛的【 】A充分必要条件；B. 充分非必要条件；C. 必要非充分条件；D. 非充分也非必要条件.4. 设,则有【 】（注意：网络给的题目错误！）A. ; B. ; C. ; D. .5. 设函数是可微函数,且对任意的,则使不等式成立的一个充分条件是【 】A；B. ；C. ；D. ；6.设区域由曲线,围成,则【 】A； B. ； C. ； D. .7. 设，其中为任意常数，则下列向量组线性相关的是【 】。A. ; B. ; C. ; D. .8. 设为三阶矩阵，为三阶可逆矩阵，且. 若, 则【 】A. ; B. ; C. ; D. .二、填空题：每题4分，满分24分9. 设是由方程所确定的隐函数,则 .10. .11. 设,其中是可微函数,则 .12. 微分方程满足条件的解 .13. 曲线上曲率为的点的坐标是 .14. 设是三阶矩阵,为的伴随矩阵,交换的第一行与第二行得矩阵,则 .三、解答题:共94分15. （本题满分10分）已知函数，记（1）求的值；（2）当时，与是同阶的无穷小，求常数的值。16. (本题满分10分)求函数的极值（按答案复原的题目）. 网上提供的题目：？17. (本题满分12分).过点作曲线的切线，切点为，又与轴的交点为，区域由与直线围成，求区域的面积及绕轴旋转一周所得旋转体体积。18. (本题满分10分)计算二重积分，其中区域由曲线与极轴围成。19. (本题满分10分) 若函数满足方程及，（1）求的表达式；（2）求曲线的拐点。20. (本题满分10分)证明：，21. (本题满分10分)（1）证明方程，在区间内有且仅有一个实根；（2）记（1）中的实根为，证明存在，并求此极限。22. (本题满分11分)设, (1) 计算行列式;(2)当实数为何值时,方程组有无穷多组解,并求其通解.23. (本题满分11分)已知,二次型的秩为2,(1)求实数的值; (2)求正交变换将化为标准形.2012年全国硕士研究生入学考试数学二试题参考解答二、 单项选择题：每题4分，满分32分1. 曲线的渐近线的条数为【 】A. 0; B. 1; C. 2; D. 3.【解】,说明曲线有铅垂渐近线,说明曲线有水平渐近线,曲线不存在斜渐近线,故选择答案C.2. 设函数，其中为正整数，则【 】A； B. ; C. ; D. .【解】用等价无穷小代换及导数的定义 选择答案A.（注意：网络答案有大的计算错误！）3. 设，则数列有界是数列收敛的【 】A充分必要条件；B. 充分非必要条件；C. 必要非充分条件；D. 非充分也非必要条件.【解】由于，若数列有界，则有，说明有界是数列收敛的充分条件；但数列收敛，并不能推出有界，例如收敛，但数列无界。因此选项应是B. （注意：网络给的答案或者题目错误！按其答案原题应是级数收敛）4. 设,则有【 】（注意：网络给的题目！）A. ; B. ; C. ; D. .【解】利用变上限函数的求导法，当时，即是增函数，而，故。选择答案A. （注意：网络答案选择有误！）【的解答】设当时，与轴围成的面积为；当时，与轴围成的面积为；当时，与轴围成的面积为；则，故， ，故。正确选项为D。5. 设函数是可微函数,且对任意的,则使不等式成立的一个充分条件是【 】A；B. ；C. ；D. ；【解】说明函数对变量是增函数,故需要；说明函数对变量是减函数，需要；选项应是A。6.设区域由曲线,围成,则【 】A； B. ； C. ； D. .【解】利用奇函数的积分性质故选D7. 设，其中为任意常数，则下列向量组线性相关的是【 】。A. ; B. ; C. ; D. .【解】由于，故选C.8. 设为三阶矩阵，为三阶可逆矩阵，且. 若, 则【 】A. ; B. ; C. ; D. .【解】由, ，所以. 故选B.二、填空题：每题4分，满分24分9. 设是由方程所确定的隐函数,则 .【解】显然时，；方程对求导，得到，把，代入得（注意：网络答案没有完成！）10. .【解】由定积分的定义，知 11. 设,其中是可微函数,则 .【解】，12. 微分方程满足条件的解 .【解】方程变形为，即，故方程的通解为，条件代入，得，所求解为 ，即 。也可变形为 ，这是关于未知函数的一阶线性方程，然后用常数变易法13. 曲线上曲率为的点的坐标是 .【解】，曲率，整理得，所以，但，故，此时，故所求点的坐标是。14. 设是三阶矩阵,为的伴随矩阵,交换的第一行与第二行得矩阵,则 .【解】是三阶矩阵,由知，由行列式的性质，所以。三、解答题:共94分15. （本题满分10分）已知函数，记（1）求的值；（2）当时，与是同阶的无穷小，求常数的值。【解】（1）。（2）当时，与是同阶的无穷小，即常数，利用（1）的计算，是的同阶无穷小，故。16. (本题满分10分)求函数的极值（按答案复原的题目）. 网上提供的题目：？【解】由，解得函数的唯一驻点；又，且，故是函数的极大值点，函数的极大值为 。【对的解】由，解得函数的驻点；又，对驻点，且，故是函数的极大值点，函数的极大值为 ；对驻点，且，故是函数的极小值点，函数的极小值为 。17. (本题满分12分).过点作曲线的切线，切点为，又与轴的交点为，区域由与直线围成，求区域的面积及绕轴旋转一周所得旋转体体积。【解】设切点坐标为，则易知切线方程为；又切线过点，求得，切点坐标为，与轴的交点坐标，直线的方程为。（1）区域的面积。（2）绕轴旋转一周所得旋转体体积。（注意：网络提供的答案有重大错误！除非题目有误）18. (本题满分10分)计算二重积分，其中区域由曲线与极轴围成。【解】。19. (本题满分10分) 若函数满足方程及，（1）求的表达式；（2）求曲线的拐点。【解】（1）方程特征根为，通解，代入，得，比较系数，得，所以。（2），当时，当时，而方程有唯一的解，所以曲线的拐点坐标为。20. （本题满分10分）证明：，【解】令，；当时，从而，故，函数单调减小；当时，从而，故，函数单调增加；综上所述，当，是函数的极小值，即，此即所证。21. (本题满分10分)（1）证明方程，在区间内有且仅有一个实根；（2）记（1）中的实根为，证明存在，并求此极限。【解】（1）令，则在闭区间上连续，且，由连续函数的零点定理，知在区间内至少有方程的一个实根，又在区间内，即函数单调递增，故在区间内有且仅有一个实根。（2）记（1）中的实根为，则数列有界；由于，而，故 ，即数列单调，据单调有界准则，知存在，设为，又，取极限，并注意到，有 ，解得 ，即。22. (本题满分11分)设, (1) 计算行列式;(2)当为何值时,方程组有无穷多组解,并求其通解.【解】（1）；（2）作初等行变换 要使方程组有无穷多组解，须，所以。此时，故方程组的通解为。23. (本题满分