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第一章复数与复变函数 一 复数的定义 代数运算 几何表示 二 复变函数的定义 简单性质 第一节复数及其代数运算 本节给出复数的概念 它的几何表示 以及相应的运算 1 复数的概念 例 错误的 两个复数相等 它们的实部和虚部对应相等 imaginarypart realpart 为何讨论复数 求解二次方程 解的表达式 这正是卡丹诺所考虑的负数的平方根 但卡丹诺当时摒弃了这种解 说它是 没有用处的 并不是卡丹诺缺少继续追究这件事所需的想象力 而是他很有理由不去这样做 可以看成是求抛物线与直线的交点 在的情况下 问题确实有解 从代数上说 在的情况下 问题显然没有解 从代数上说 解式中出现了 不可能 的数正确地宣示了解的不存在 二次方程 并不是二次方程迫使我们严肃地考虑复数 而是三次方程 迫使人们这样做 卡丹诺在 大术 一书中 给出了解的表达式 这个方程代表求一个三次曲线与直线的交点 在这个公式出现大约30年后 庞贝利发现它有一些奇怪的悖论式的地方 所以 我们就有必要去考虑复数 或者复数的相关运算 例 解为 但此时 三次曲线与直线是相交的 交点 1 点表示 一一对应 一一对应 一一对应 2 复数在平面上的几何表示 复数的模 性质 复数的辐角 argument 辐角 变元 辐角主值 注 2 2 例 O 1 1 O 例 解 三角表示式 指数表示式 3 复数的运算 设 定义运算如下 加法 减法 乘法 除法 共轭运算 性质 2 3 设 求 解 预备知识 复数的乘幂 两个复数的乘法 结论 注 等式 2 的理解 所表示的辐角的全体或辐角的集合相同 即左端集合中的一个元素总可在右端集合中找到 反之亦成立 复数乘积的指数形式 运算规则与实数完全一致 逆时针方向旋转角度 向量的旋转 伸缩 例1 已知正三角形的两个顶点为 求它的另一个顶点 解 可通过将向量逆时针旋转角度 伸长到1倍得到 类似地 类似地 可分析两个复数的除法运算 结论 注 两个复数乘法的特殊情况 棣莫弗公式的应用 解 复数的方根 乘幂的逆运算 注 结论 解 因为 所以 即 四个根是内接于中心在原点 半径为21 8的圆的正方形的四个顶点 解 移项 得 因为 所以 4 复球面及无穷大 对复平面内任一点z 用直线将z与N相连 与球面相交于P点 则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系 N点对应的点可代表无穷远点 记作 这样的球面称作复球面 扩充复平面 复平面引进一个 理想点 无穷远点 约定 无穷远点 无限远离原点的所有点 注 区别于实数域中的正无穷 负无穷 小结 2 熟练掌握 复数的几种代数表达形式间的相互转化 3 熟练掌握 计算复数的模 辐角 辐角主值 4 理解 无穷远点 与实数情形的区别 1 熟练掌握 复数之间的简单运算 加 减 乘 除 共轭
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