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自然常数e的无理性与超越性自然常数用字母e来表示，记： ，e有如下两个定义： ，e2.71828182. 一、证明e为无理数 首先有： 那么2e3，说明e不是一个整数。为了证明e是一个无理数，可用反证法，假设e是有理数，那么就令ep/q，其中p、q均为正整数。由于e不是整数，故q2。 于是有： 显然等式左边的eq！为整数，而等式左边的第一项也为整数，故等式右边第二项也为整数从q2知q+13 因此 ，这与整数的性质矛盾，故e为无理数。二、证明e为超越数 如果一个数不是任何整系数方程的根，那么这个数就叫做超越数 我们还是用反证法来证明e是超越数 假设e不是超越数，那么e为某个非零整系数多项式的根 对于任意大于|a0|和n的素数p，构造一个多项式： 那么它的次数为m(p-1)+np,而f(x)的m+1阶导数为0，故令： 两边积分： 那么有： 由假设，e为方程的根： 从f(x)的构造上知f(x)的p阶及p阶以上的导数均为整系数多项式且各项系数都能被p整除，而f(x)及其前p1阶导数在x1，2，.，n处都等于0。所以F(1)、F(2)、.F(n)也都是p的整数倍。另外，在x0处f(x)的前p2阶导数均为0，而 不被p整除（因为np），但在x0处f(x)的p，(p+1)，(p+2)，.，m阶导数均为p的倍数，故F(x)是一个不被p整除的整数。又因为p不整除a0，所以 除第一项不被p整除外，其余各项均为p的倍数，而0被p整除，因而上述和式为不等于0的整数。 由于0in,当x在区间0，n上取值时，显然有： 从而有： 记： ，则：因为p为固定的正整数，所以 故式右
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