高中数学第三章数系的扩展与复数的引入3.2.2复数代数形式的乘除运算学案含解析.docx

32.2复数代数形式的乘除运算复数的乘法问题1：两实数可以相乘，两复数可以相乘吗？提示：可以问题2：复数代数形式的乘法与多项式的乘法相类似吗？提示：类似问题3：复数的乘法满足交换律、结合律、乘法对加法的分配律吗？提示：满足1复数的乘法设z1abi，z2cdi是任意两个复数，那么它们的积(abi)(cdi)acbciadibdi2(acbd)(adbc)i(a，b，c，dR)2复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3C，有交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z3对复数乘法的理解(1)复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同，即必须在所得结果中把i2换成1，再把实部、虚部分别合并(2)两个复数的积仍然是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数.复数的除法问题1：复数z1abi与z2abi(a，bR)有什么关系？提示：两复数实部相等，虚部互为相反数问题2：试求z1abi，z2abi(a，bR)的积提示：z1z2a2b2，积为实数问题3：如何规定两复数z1abi，z2cdi(a，b，c，dR，cdi0)相除？提示：通常先把(abi)(cdi)写成的形式，再把分子和分母都乘cdi，化简后可得结果，即i(cdi0)1共轭复数的概念当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数通常记复数z的共轭复数为，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数2复数的除法法则设z1abi，z2cdi(cdi0)，则i(cdi0)对复数除法的理解(1)复数的除法实质上就是分母实数化的过程，这与实数的除法有所不同(2)复数除法的法则形式复杂，难于记忆所以有关复数的除法运算，只要记住利用分母的共轭复数对分母进行“实数化”，然后结果再写成一个复数abi(a，bR)的形式即可复数的乘除运算计算：(1)(1i)(1i)(1i)；(2)(1i)；(3)(23i)(12i)；(4).(1)(1i)(1i)(1i)1i2(1i)21i1i.(2)(1i)(1i)(1i)ii.(3)(23i)(12i)i.(4)法一：2i.法二：ii2i.复数乘除运算的常用技巧(1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似(1)已知复数z148i，z269i，求复数(z1z2)i的实部与虚部；(2)已知z是纯虚数，是实数，求z.解：(1)由题意得z1z2(48i)(69i)(46)(8i9i)2i，则(z1z2)i(2i)i2ii212i.于是复数(z1z2)i的实部是1，虚部是2.(2)设纯虚数zbi(bR)，则.由于是实数，所以b20，即b2，所以z2i.共轭复数(1)(全国丙卷)若z43i，则()A1 B1C.i D.i(2)(山东高考)若复数z满足2z32i，其中i为虚数单位，则z()A12iB12iC12i D12i(1)z43i，43i，|z|5，i.(2)法一：设zabi(a，bR)，则2z2a2biabi3abi32i.由复数相等的定义，得3a3，b2，解得a1，b2，z12i.法二：由已知条件2z32i，得2z32i，解组成的关于z，的方程组，得z12i.故选B.(1)D(2)B共轭复数的求解与应用(1)若复数z的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出，再进行复数的四则运算必要时，需通过复数的运算先确定出复数z的代数形式，再根据共轭复数的定义求.(2)共轭复数应用的另一种常见题型是：已知关于z和的方程，而复数z的代数形式未知，求z.解此类题的常规思路为设zabi(a，bR)，则abi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解已知复数z1i，复数z的共轭复数1i，求实数a，b使az2b(a2z)2.解：z1i，1i，az2b(a2b)(a2b)i，(a2z)2(a2)244(a2)i(a24a)4(a2)i.a，b都是实数，由az2b(a2z)2，得解得或复数运算的综合应用已知z1是虚数，z2z1是实数，且1z21.(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；(2)若，求证：为纯虚数设z1abi(a，bR，且b0)(1)z2z1abii.因为z2是实数，b0，于是有a2b21，即|z1|1，所以z22a.由1z21，得12a1，解得a，即z1的实部的取值范围是.(2)i.因为a，b0，所以为纯虚数解决双复数问题的方法解决此类双复数问题的关键是设出已知条件较多的一个复数zabi(a，bR)，注意题目对a，b取值的限制，然后用a，b表示出另外的复数，进而转化求解此类题目难度较大，除需正确进行复数的四则运算外，还需掌握复数的基本概念及复数模的定义已知z，为复数，(13i)z为实数，且|5，求.解：设xyi(x，yR)，由，得z(2i)(xyi)(2i)依题意，得(13i)z(13i)(xyi)(2i)(x7y)(7xy)i，7xy0.又|5，x2y250.由得或17i或17i.已知关于x的方程x2(k2i)x2ki0有实数根，则实数k的值为_设x0是方程的实数根，代入方程并整理得(xkx02)(2x0k)i0.由复数相等的充要条件得解得或所以k的值为2或2.21求解本题易出现如下错误：因为方程有实数根，所以(k2i)24(2ki)0，解得k2或k2.需注意由于虚数单位的特殊性，不能用判别式判断复系数一元二次方程有无实数根2复数范围内解方程的一般思路是：依据题意设出方程的根，代入方程，利用复数相等的充要条件求解对于一元二次方程，也可以利用求根公式求解，要注意在复数范围内负数是能开方的，此外，根与系数的关系也是成立的注意求方程中参数的取值时，不能利用判别式求解在复数范围内方程x25|x|60的解的个数为()A2B4C6 D8解析：选C设xabi(a，bR)，那么原方程即为(abi)2560，即解得或或1(湖南高考)满足i(i为虚数单位)的复数z等于()A.iB.iCi Di解析：选B由i，得zizi，所以(1i)zi，解得zi.2设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选B1i，由复数的几何意义知1i在复平面内的对应点为(1,1)，该点位于第二象限，故选B.3已知复数z1(2i)i，复数z2a3i(aR)，若复数z2kz1(kR)，则a_.解析：依题意z112i，由z2kz1，得a3ik(12i)，即有故a.答案：4设z1a2i，z234i，且为纯虚数，则实数a的值为_解析：设bi(bR且b0)，所以z1biz2，即a2ibi(34i)4b3bi，所以所以a.答案：5计算：(1)(1i)(1i)；(2)；(3)(2i)2.解：(1)法一：(1i)(1i)(1i)(1i)iii21i.法二：原式(1i)(1i)(1i2)21i.(2)i.(3)(2i)2(2i)(2i)44ii234i.一、选择题1(湖南高考)已知1i(i为虚数单位)，则复数z()A1iB1iC1i D1i解析：选D由1i，得z1i，故选D.2已知复数z1i，则等于()A2i B2iC2 D2解析：选B法一：因为z1i，所以2i.法二：由已知得z1i，而2i.3若i为虚数单位，如下图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是()AE BFCG DH解析：选D由题图可得z3i，所以2i，则其在复平面上对应的点为H(2，1)4(广东高考)若复数zi(32i)(i是虚数单位)，则()A23i B23iC32i D32i解析：选Azi(32i)3i2i223i，23i.5已知复数z，是z的共轭复数，则z等于()A. B.C1 D2解析：选Az，z.二、填空题6(天津高考)已知a，bR，i是虚数单位，若(1i)(1bi)a，则的值为_解析：因为(1i)(1bi)1b(1b)ia，又a，bR，所以1ba且1b0，得a2，b1，所以2.答案：27设x，y为实数，且，则xy_.解析：i，而i，所以且，解得x1，y5，所以xy4.答案：48设z2z1i1(其中1表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是1，则z2的虚部为_解析：设z1abi(a，bR