河南省郑州市登封市高二数学下学期期中试卷 理（含解析）.doc

河南省郑州市登封市2014-2015学年高二（下）期中数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（）a1be1cede+1考点：定积分专题：导数的概念及应用分析：利用定积分的计算法则解答即可解答：解：（ex+2x）dx=（ex+x2）|=e+11=e，故选：c点评：本题考查定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题2复数的虚部为（）abcd考点：复数代数形式的乘除运算专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出解答：解：复数=+i的虚部为故选：d点评：本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了计算能力，属于基础题3下面是一段“三段论”推理过程：若函数f（x）在（a，b）内可导且单调递增，则在（a，b）内，f（x）0恒成立因为f（x）=x3在（1，1）内可导且单调递增，所以在（1，1）内，f（x）=3x20恒成立以上推理中（）a大前提错误b小前提错误c结论正确d推理形式错误考点：演绎推理的意义专题：规律型分析：在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“f（x）在区间（a，b）上是增函数，则可导函数f（x），f（x）0对x（a，b）恒成立”，不难得到结论解答：解：对于可导函数f（x），f（x）在区间（a，b）上是增函数，f（x）0对x（a，b）恒成立，应该是f（x）0对x（a，b）恒成立，大前提错误，故选：a点评：演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合m的所有元素都具有性质p，s是m的子集，那么s中所有元素都具有性质p三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论4函数f（x）=x33x1，x则f（x）的最大值与最小值的差为（）a20b18c4d0考点：函数的最值及其几何意义专题：计算题；导数的综合应用分析：求导f（x）=3x23=3（x+1）（x1），从而可判断f（x）在，上是增函数，在（1，1）上是减函数；从而求出fmax（x）=1，fmin（x）=19；从而解得解答：解：f（x）=x33x1，f（x）=3x23=3（x+1）（x1），当x时，f（x）0；当x（1，1）时，f（x）0；f（x）在，上是增函数，在（1，1）上是减函数；而f（3）=27+91=19，f（1）=1，f（1）=3，f（2）=861=1，fmax（x）=1，fmin（x）=19；故f（x）的最大值与最小值的差为20；故选：a点评：本题考查了导数的综合应用及函数在闭区间上的最值的求法，属于中档题5用数学归纳法证明1+a+a2+an+1=（a1，nn*），在验证当n=1时，等式左边应为（）a1b1+ac1+a+a2d1+a+a2+a3考点：数学归纳法专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：由数学归纳法即可得出解答：解：在验证当n=1时，等式左边应为1+a+a2故选：c点评：本题考查了数学归纳法证题的步骤，属于基础题6用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为（）aa，b，c中至少有两个偶数ba，b，c中至少有两个偶数或都是奇数ca，b，c都是奇数da，b，c都是偶数考点：反证法与放缩法专题：阅读型分析：找出题中的题设，然后根据反证法的定义对其进行否定解答：解：结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”可得题设为：a，b，c中恰有一个偶数反设的内容是 假设a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数故选b点评：此题考查了反证法的定义，反证法在数学中经常运用，当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓“正难则反“7已知f（x）=sinx+cosx，且f1（x）=f（x），fn+1（x）=fn（x）（nn*），则f2015（x）=（）asinxcosxbcosxsinxcsinxcosxdsinx+cosx考点：导数的运算专题：导数的概念及应用分析：求函数的导数，确定函数fn（x）的周期性即可解答：解：f（x）=sinx+cosx，f1（x）=f（x）=cosxsinx，f2（x）=f1（x）=sinxcosx，f3（x）=f2（x）=cosx+sinx，f4（x）=f3（x）=sinx+cosx，f5（x）=f4（x）=cosxsinx，fn+4（x）=fn（x），即fn（x）是周期为4的周期函数，f2015（x）=f2014（x）=f1（x）=cosxsinx，故选：b点评：本题主要考查导数的计算，根据导数公式求出函数的周期性是解决本题的关键8已知复数（ar，i为虚数单位）为实数，则（+x）dx的值为（）a2+b2+c4+2d4+4考点：定积分专题：导数的概念及应用分析：由复数定义易得a=2，由定积分的几何意和定积分的计算可得解答：解：=a+（a2）i，（ar，i为虚数单位）为实数，a=2，（+x）dx=dx+xdx，由定积分的几何意义可知dx表示圆x2+y2=4面积的四分之一，为，=dx+xdx=+|=+2，故选：a点评：本题考查复数的基本概念和定积分的求解，属基础题9从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性（）abcd考点：进行简单的合情推理专题：规律型分析：观察图形知，四个图形中的三条线段与圆共有3个交点解答：解：观察图形知：第一、二、三、四个图形中，都是由圆和三条线段组成，且这三条线段与圆共有3个交点观察选项，只有b选项符合题意故选：b点评：此题考查了事物的简单搭配规律，只要认真观察，找出规律，解答应该比较简单10在弹性限度内，弹簧所受的压缩力f与缩短的距离l按 胡克定律f=kl计算今有一弹簧原长80cm，每压缩1cm需0.049n的压缩力，若把这根弹簧从70cm压缩至50cm（在弹性限度内），外力克服弹簧的弹力做了（）功（单位：j）a0.196b0.294c0.686d0.98考点：定积分；平面向量数量积的含义与物理意义专题：计算题；平面向量及应用分析：根据题意，求变力做功，应用积分求出正确答案解答：解：弹簧原长80cm，每压缩1cm需0.049n的压缩力，8070=10cm=0.1m，8050=30cm=0.3m；每压缩1m需4.9n的压缩力，外力克服弹簧的弹力做的功是变力做功，w=4.9xdx=4.9x2=4.9（0.320.12）=4.90.08=0.196（j），故选：a点评：本题考查了变力做功的问题，应用积分可以求出结果，解题时注意单位统一11已知函数f（x）的定义域为，部分对应值如表，x10245f（x）12021f（x）的导函数y=f（x）的图象如图所示当1a2时，函数y=f（x）a的零点的个数为（）a1b2c3d4考点：利用导数研究函数的单调性专题：导数的综合应用分析：根据导函数图象，画出原函数的草图，利用1a2，即可得到函数y=f（x）a的零点的个数解答：解：由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象如图：因为f（0）=f（3）=2，1a2，所以函数y=f（x）a的零点的个数为4个故选：d点评：本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减，本题属于中档题12已知定义在r上的可导函数f（x）的导函数为f（x），满足f（x）f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）ex的解集为（）a（2，+）b（0，+）c（1，+）d（4，+）考点：利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合专题：综合题；函数的性质及应用分析：构造函数g（x）=（xr），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解解答：解：y=f（x+2）为偶函数，y=f（x+2）的图象关于x=0对称y=f（x）的图象关于x=2对称f（4）=f（0）又f（4）=1，f（0）=1设g（x）=（xr），则g（x）=又f（x）f（x），f（x）f（x）0g（x）0，y=g（x）在定义域上单调递减f（x）exg（x）1又g（0）=1g（x）g（0）x0故选b点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13（文）如图，函数y=f（x）的图象在点p处的切线方程是y=x+8，则f（5）+f（5）=2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：计算题；导数的概念及应用分析：根据导数的几何意义，结合切线方程，即可求得结论解答：解：由题意，f（5）=5+8=3，f（5）=1f（5）+f（5）=2故答案为：2点评：本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题14已知ar，复数z=（a2i）（1+i）（i为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，则a的取值范围为（2，2）考点：复数代数形式的乘除运算专题：数系的扩充和复数分析：求出复数的对应点的坐标，利用已知条件列出不等式组，求解即可解答：解：复数z=（a2i）（1+i）=a+2+（a2）iar，复数z=（a2i）（1+i）（i为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，可得：，解得a（2，2）故答案为：（2，2）点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力15“证明：通项公式为an=cqn（cq0）的数列an是等比数列”所依据的大前提是等比数列的定义考点：演绎推理的基本方法专题：推理和证明分析：用三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据，由数列an的通项公式为an=cqn（cq0），得到数列an是等比数列，可得到大前提为等比数列的定义解答：解：将推理过程通项公式为an=cqn（cq0）的数列an是等比数列写成三段论为：大前提：从第二项开始，后一项与前一项的比值为定值的数列为等比数列（等比数列的定义），小前提：数列an的通项公式为an=cqn（cq0），满足等比数列的定义，结论：数列an是等比数列故大前提是：等比数列的定义，故答案为：等比数列的定义点评：本题考查用三段论形式推导一个命题成立，要求我们填写大前提，这是常见的一种考查形式，属于基础题16对于命题：若o是线段ab上一点，则有|+|=将它类比到平面的情形是：若o是abc内一点，则有sobc+soca+soba=，将它类比到空间情形可以是：若o为四面体abcd内一点，则有vobcd+voacd+voabd+voabc=考点：类比推理专题：综合题；推理和证明分析：由平面图形的性质类比猜想空间几何体的性质，一般的思路是：点到线，线到面，或是二维变三维；由题目中点o在三角形abc内，则有结论sobc+soca+soba=，的结论是二维线段长与向量的关系式，类比后的结论应该为三维的体积与向量的关系式解答：解：由平面图形的性质类比猜想空间几何体的性质，一般的思路是：点到线，线到面，或是二维变三维，面积变体积；由题目中点o在三角形abc内，则有结论sobc+soca+soba=，我们可以推断若o为四面体abcd内一点，则有vobcd+voacd+voabd+voabc=故答案为：若o为四面体abcd内一点，则有vobcd+voacd+voabd+voabc=点评：本题考考查的知识点是类比推理，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知函数（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值专题：综合题；导数的综合应用分析：（1）求导数，确定切线的斜率，切点的坐标，可得曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）求导数，确定函数的单调性，即可求函数f（x）的极值解答：解：（1）由，（2分）得f（1）=2又f（1）=0（3分）曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y0=2（x1），即2 x+y2=0（5分）（2）函数的定义域为（0，+）由，令f（x）=0，解得x=1或x=5因x=1不在f（x）的定义域（0，+）内，故舍去（7分）当x（0，5）时，f（x）0，故f（x）在（0，5）内为减函数；当x（5，+）时，f（x）0，故f（x）在（5，+）内为增函数；由此知函数f（x）在x=5时取得极小值f（5）=ln5（10分）点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与极值，正确求导是关键18推理与证明是数学的一般思考方式，也是学数学、做数学的基本功请选择你认为合适的证明方法，完成下面的问题已知a，b，cr，a+b+c0，ab+bc+ca0，abc0求证：a，b，c，全为正数考点：反证法与放缩法专题：证明题；推理和证明分析：本题是一个全部性问题，要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰于是考虑采用反证法假设a，b，c不全是正数，这时需要逐个讨论a，b，c不是正数的情形但注意到条件的特点（任意交换a，b，c的位置不改变命题的条件），我们只要讨论其中一个数（例如a），其他两个数（例如b，c）与这种情形类似解答：证明：假设a，b，c是不全为正的实数，由于abc0，则它们只能是两负一正，不妨设a0，b0，c0（3分）又ab+bc+ca0，a（b+c）+bc0，且bc0，a（b+c）0（7分）又a0，b+c0a+b+c0（10分）这与a+b+c0相矛盾故假设不成立，原结论成立，即a，b，c均为正实数（12分）点评：当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等方面反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器推理与证明是数学的一般思考方式，也是学数学、做数学的基本功19已知复数w满足w4=（32w）i（i为虚数单位），（1）求z；（2）若（1）中的z是关于x的方程x2px+q=0的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根考点：复数代数形式的乘除运算专题：数系的扩充和复数分析：（1）解法一：利用复数的运算计算出w，代入z即可得出解法二：设w=a+bi（a、br），利用复数的运算法则与复数相等解出w，即可得出（2）把z=3+i代入关于x的方程x2px+q=0，利用复数相等解出p，q，即可得出解答：解：（1）解法一：w（1+2i）=4+3i，解法二：设w=a+bi（a、br），a+bi4=3i2ai+2b，得 ，w=2i，以下解法同解法一（2）z=3+i是关于x的方程x2px+q=0的一个根，（3+i）2p（3+i）+q=0（83p+q）+（6p）i=0，p，q为实数，解得p=6，q=10解方程x26x+10=0得实数p=6，q=10，方程的另一个根为x=3i点评：本题考查了复数的运算法则、复数相等解，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，今年拟下调销售单价以提高销量，增加收益据测算，若今年的实际销售单价为x元/件（1x2），今年新增的年销量（单位：万件）与（2x）2成正比，比例系数为4（1）写出今年商户甲的收益y（单位：万元）与今年的实际销售单价x间的函数关系式；（2）商户甲今年采取降低单价，提高销量的营销策略是否能获得比往年更大的收益（即比往年收益更多）？说明理由考点：导数在最大值、最小值问题中的应用专题：导数的综合应用分析：（1）直接根据题意可写出今年的销售量，从而可计算出客户甲的收益；（2）根据（1）中建立的函数，求导，令导数等于0，求出极大值点和极大值，再求出x=2时的函数值，进行比较，最大的就是最大值解答：解 （1）由题意知，今年的年销售量为1+4（x2）2（万件）每销售一件，商户甲可获利（x1）元，今年商户甲的收益y=（x1）=4x320x2+33x17，（1x2）（2）由（1）知y=4x320x2+33x17，1x2，y=12x240x+33=（2x3）（6x11）令y=0，解得x=，或x=列表如下： x（1，）（，）（，2）f（x）+00+f（x）递增极大值递减极小值递增又f（）=1，f（2）=1，f（x）在区间上的最大值为1（万元）往年的收益为（21）1=1（万元），商户甲采取降低单价，提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益点评：本题主要考查实际问题中的数据提取和分析能力，考查导数再求函数最大值中的应用，属于中档题21观察下列等式：照以上式子规律：（1）写出第5个等式，并猜想第n个等式； （nn*）（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第n个等式成立（nn*）考点：数学归纳法；归纳推理专题：综合题；推理和证明分析：（1）通过前4个表达式，直接写出第5个等式，并猜想第n个等式；（nn*）（2）用数学归纳法证明步骤，直接证明上述所猜想的第n个等式成立（nn*）解答：解：（1）第5个等式为：5+6+7+8+9+10+11+12+13=92（2分）第n个等式为：n+（n+1）+（n+2）+（3n2）=（2n1）2，nn*（5分）（2）当n=1时，等式左边=1，等式右边=（21）2=1，所以等式成立（6分）假设n=k（kn*）时，等式成立，即k+（k+1）+（k+2）+（3k2）=（2k1）2（k1，kn*）那么，当n=k+1时，（k+1）+（k+2）+（k+3）+（3k+1）=k+（k+1）+（k+2）+（3k2）+（3k1）+3k+（3k+1）k=（2k1