2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(湖北卷·理科)(附答案.doc

2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟祝 考 试 顺 利注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置2 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效3 填空题和解答题用0.5毫米的黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效4 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交一、选择题：本次题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的设，则（）A B C D2若非空集合A，B，C满足AB=C，且B不是A的子集，则（ ）A“xC”是“xA”的充分条件但不是必要条件B“xC”是“xA”的必要条件但不是充分条件C“xC”是“xA”的充要条件D“xC”既不是“xA”的充分条件也不是“xA”必要条件3用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为（ ）A B C D 4函数的定义域为（ ）A BC D 5将函数的图象F按向量平移得到图象F，若F的一条对称轴是直线，则的一个可能取值是（ ）A B C D 6将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（ ）A540 B300 C180 D1507若上是减函数，则b的取值范围是（ ）A B C D8已知，若，则（ ）A Bm C D9过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有（ ）A16条 B17条 C32条 D34条FP10如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道绕月飞行，若用和分别表示椭轨道和的焦距，用和分别表示椭圆轨道和的长轴的长，给出下列式子：；其中正确式子的序号是（ ）ABCD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡相应位置上11设是复数， (其中表示的共轭复数)，已知的实部是，则的虚部为 12在ABC中，三个角A，B，C的对边边长分别为，则的值为 13已知函数，其中，a，b为常数，则方程的解集为 14已知函数，等差数列的公差为2若，则 15观察下列等式：可以推测，当（）时， ， 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（本小题满分12分）已知函数（）将函数化简成的形式；（）求函数的值域17（本小题满分12分）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1，2，3，4）现从袋中任取一球表示所取球的标号（）求的分布列，期望和方差；（）若，试求a，b的值18（本小题满分12分）ABCA1B1C1如图，在直三棱柱中，平面ABC侧面（）求证：ABBC；（）若直线AC与平面所成的角为，二面角的大小为，试判断与的大小关系，并予以证明19（本小题满分13分）如图，在以点O为圆心，为直径的半圆ADB中，ODAB，P是半圆弧上一点，DAOBPPOB=30，曲线C是满足为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P（）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；（）设过点D的直线与曲线C相交于不同的两点E、F若的面积不小于，求直线斜率的取值范围20(本小题满分12分)水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为（）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期以表示第1月份（），同一年内哪几个月份是枯水期？（）求一年内该水库的最大蓄水量（取计算）21(本小题满分14分)已知数列和满足：，其中为实数，n为正整数（）对任意实数，证明数列不是等比数列；（）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；（）设，Sn为数列的前n项和是否存在实数，使得对任意正整数，都有?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）试题参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算每小题5分，满分50分1C 2B3B 4D 5A6D 7C 8A 9C 10B二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分25分11112 131415 ，0三、解答题：本大题共6小题，共75分16本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力（满分12分）解：（）（）由，得在上为减函数，在上为增函数，又（当），即故的值域为17本小题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力（满分12分）解：（）的分布列为：01234P（）由，得a22.7511，即又，所以当时，由，得； 当时，由，得或即为所求18本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力（满分12分）（）证明：如右图，过点A在平面内作ADA1B于D，则ABCA1B1C1D由平面A1BC侧面A1ABB1，且平面A1BC侧面A1ABB1=A1B，得AD平面A1BC，又BC平面A1BC，所以ADBC因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，则AA1底面ABC，所以AA1BC又AA1AD=A，从而BC侧面A1ABB1，又AB侧面A1ABB1，故ABBC（）解法1：连接CD，则由（）知是直线AC与平面A1BC所成的角，是二面角A1BCA的平面角，即，于是在RtADC中，在中， 由ABAC，得，又，所以解法2：由（）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1=a，AC=b，ABCA1B1C1zxyAB=c，则 B(0，0，0)， A(0，c，0)， ，于是，设平面A1BC的一个法向量为n=(x，y，z)，则由得可取，于是，与n的夹角为锐角，则与互为余角，所以，于是由cb，得，即，又，所以19本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力（满分13分）（）解法1：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则，依题意得AB4曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则c2，2a2，a2=2，曲线C的方程为解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线设双曲线的方程为0，b0）则由解得a2=b2=2，DAOBPEFxy图1DAOBPxy图2EF曲线C的方程为（）解法1：依题意，可设直线l的方程为ykx+2，代入双曲线C的方程并整理得直线与双曲线C相交于不同的两点E、F，设，F(x2，y2)，则由式得x1+x2=，于是EF而原点O到直线l的距离，若面积不小于，即，则有，解得 综合，知，直线l的斜率的取值范围为解法2：依题意，可设直线l的方程为ykx+2，代入双曲线C的方程并整理，得 直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F， 设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则由式得 当E、F在同一支上时（如图1所示），；当E、F在不同支上时（如图2所示）综上得，于是由OD2及式，得若面积不小于2，即，则有，解得 综合、知，直线l的斜率的取值范围为20本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题的能力（满分12分）解：（）当时，化简得，解得，或，又，故当时，化简得，解得10t，又，故综合得，或，故知枯水期为1月，2月，3月，4月，11月，12月共6个月（）由（）知：的最大值只能在内达到由， 令，解得 (舍去)当t变化时，与的变化情况如下表：0极大值由上表，在时取得最大值 (亿立方米)故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米21本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理论证能力，（满分14分）（）证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有，即，矛盾所以不是等比数列（）解：因为，又，所以当时，此时不是等比数列：当