数学思想方法是数学知识的精髓和核心.doc

数学思想方法是数学知识的精髓和核心摘要:中学阶段是一个人一生中非常重要的学习阶段。在数学教育方面,教师不应仅做知识的呈现者,更应该重视思想方法的教学,使学生在掌握数学基础知识的同时,初步形成数学的思维策略。 关键词:初中数学;思想方法;思维策略 一、初中数学思想方法教学的重要性长期以来,传统的数学教学中,只注重知识的传授,却忽视知识形成过程中的数学思想方法的现象非常普遍,它严重影响了学生的思维发展和能力培养。随着教育改革的不断深入,越来越多的教育工作者,特别是一线的教师们充分认识到:中学数学教学,一方面要传授数学知识,使学生掌握必备数学基础知识;另一方面,更要通过数学知识这个载体,挖掘其中蕴含的数学思想方法,更好地理解数学,掌握数学,形成正确的数学观和一定的数学意识1。事实上,单纯的知识教学,只显见于学生知识的积累,是会遗忘甚至于消失的,而方法的掌握,思想的形成,才能使学生受益终生,正所谓“授之以鱼,不如授之以渔”。不管他们将来从事什么职业和工作,数学思想方法,作为一种解决问题的思维策略,都将随时随地有意无意地发挥作用。 一、开展数学思想方法教育是新课标提出的重要教学要求数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学学科的精髓，是将数学知识转化为数学能力的桥梁。初中数学思想方法教育，是培养和提高学生素质的重要内容。新的课程标准突出强调：“在教学中，应当引导学生在学好概念的基础上掌握数学的规律（包括法则、性质、公式、公理、定理、数学思想和方法）。”因此，开展数学思想方法教育应作为新课改中所必须把握的教学要求。中学数学知识结构涵盖了辩证思想的理念，反映出数学基本概念和各知识点所代表的实体同抽象的数学思想方法之间的相互关系。数学实体内部各单元之间相互渗透和维系的关系，升华为具有普遍意义的一般规律，便形成相对的数学思想方法，即对数学知识整体性的理解。数学思想方法确立后，便超越了具体的数学概念和内容，只以抽象的形式而存在，控制及调整具体结论的建立、联系和组织，并以其为指引将数学知识灵活地运用到一切适合的范畴中去解决问题。数学思想方法不仅会对数学思维活动、数学审美活动起着指导作角，而且会对个体的世界观、方法论产生深刻影响，形成数学学习效果的广泛迁移，甚至包括从数学领域向非数学领域的迁移，实现思维能力和思想素质的飞跃。可见，良好的数学知识结构不完全取决于教材内容和知识点的数量，更应注重数学知识的联系、结合和组织方式，把握结构的层次和程序展开后所表现的内在规律。数学思想方法能够优化这种组织方式，使各部分数学知识融合成有机的整体，发挥其重要的指导作用。因此，新课标明确提出开展数学思想方法的教学要求，旨在引导学生去把握数学知识结构的 二、初中数学思想方法的主要内容初中数学中蕴含的数学思想方法很多,最基本最主要的有:转化的思想方法,数形结合的思想方法,分类讨论的思想方法,函数与方程的思想方法等。(一)转化的思想方法转化的思想方法就是人们将需要解决的问题,通过某种转化手段,归结为另一种相对容易解决的或已经有解决方法的问题,从而使原来的问题得到解决。初中数学处处都体现出转化的思想方法。如化繁为简、化难为易,化未知为已知等,它是解决问题的一种最基本的思想方法。具体说来,代数式中加法与减法的转化,乘法与除法的转化,换元法解方程,几何中添加辅助线等等,都体现出转化的思想方法。(二)数形结合的思想方法数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学,因而研究总是围绕着数与形进行的。“数”就是代数式、函数、不等式等表达式,“形”就是图形、图象、曲线等。数形结合就是抓住数与形之间的本质上的联系,以形直观地表达数,以数精确地研究形。“数无形时不直观,形无数时难入微。”数形结合是研究数学问题的重要思想方法2。初中数学中,通过数轴,将数与点对应,通过直角坐标系,将函数与图象对应,用数形结合的思想方法学习了相反数的概念、绝对值的概念,有理数大小比较的法则,研究了函数的性质等,通过形象思维过渡到抽象思维,大大减轻了学习的难度。(三)分类讨论的思想方法分类讨论的思想方法就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点,将数学对象区分为不同种类的思想方法。分类是以比较为基础的,它能揭示数学对象之间的内在规律,有助于学生总结归纳数学知识,解决数学问题。初中数学从整体上看分为代数、几何两大类,采用不同方法进行研究,就是分类思想的体现。具体来说,实数的分类,方程的分类、三角形的分类,函数的分类等,都是分类思想的具体体现。(四)函数与方程的思想方法函数思想是客观世界中事物运动变化,相互联系,相互制约的普遍规律在数学中的反映,它的本质是变量之间的对应。用变化的观点,把所研究的数量关系,用函数的形式表示出来,然后用函数的性质进行研究,使问题获解。如果函数的形式是用解析式的方法表示出来的,那么就可以把函数解析式看作方程,通过解方程和对方程的研究,使问题得到解决,这就是方程的思想。在初中数学教材中,其它的思想方法都是隐藏在数学知识里,没有单独提出来,而函数与方程的思想方法,其内容和名称形式一致,单独作为章节系统学习。 三、初中数学思想方法的教学规律数学思想方法蕴含于数学知识之中,又相对超脱于某一个具体的数学知识之外。数学思想方法的教学比单纯的数学知识教学困难得多。因为数学思想方法是具体数学知识的本质和内在联系的反映,具有一定的抽象性和概括性,它强调的是一种意识和观念。对于初中学生来说,这个年龄段正是由形象思维向抽象的逻辑思维过渡的阶段,虽然初步具有了简单的逻辑思维能力,但是还缺乏主动性和能动性。因此,在数学教学活动中,必须注意数学思想方法的教学规律。(一)深入钻研教材,将数学思想方法化隐为显首先,教师在备课时,要从数学思想方法的高度深入钻研教材,数学思想方法既是数学教学设计的核心,同时又是数学教材组织的基础和起点。通过对概念、公式、定理的研究,对例题、练习的探讨,挖掘有关的数学思想方法,了然于胸,将它们由深层次的潜形态转变为显形态,由对它们的朦胧感受转变为明晰、理解和掌握。一方面要明确在每一个具体的数学知识的教学中可以进行哪些思想方法的教学;另一方面,又要明确每一个数学思想方法,可以在哪些知识点中进行渗透。只有在这种前提下,才能加强针对性,有意识地引导学生领悟数学思想方法。 (二)学生主动参与教学,循序渐进形成数学思想方法课堂教学活动中,倡导学生主动参与,重视知识形成的过程,在过程中渗透数学思想方法。概念教学中,不要简单地给出定义,要尽可能完整地再现形成定义之前的分析、综合、比较和概括等思维过程,揭示隐藏其中的思想方法。定理公式教学中,不要过早地给出结论。要引导学生亲自体验结论的探索、发现和推导过程,弄清每个结论的因果关系,体会其中的思想方法。在掌握重点,突破难点的教学活动中,要反复向学生渗透数学思想方法。数学教学中的重点,往往就是需要有意识地揭示或运用数学思想方法之处;数学教材中的难点,往往与数学思想方法的更新交替、综合运用,或跳跃性大等有关。因此,在教学活动中,要适度点拨或明确归纳出所涉及到的数学思想方法。在单元复习课堂上,要画龙点晴强调数学思想方法,并且可以进一步对经常用到的某种数学思想方法进行强化,对它的名称、内容、规律、应用等进行总结概括,使学生逐步掌握它的精神实质。(三)不断巩固积累,使数学思想方法在应用中内化为自觉意识学生对数学思想方法的领悟和掌握具有一个“从个别到一般,从具体到抽象,从感性到理性,从低级到高级”的认识过程。首先是有感性的接触,经多次反复,不断积累,形成丰富的感性认识,然后逐渐上升为理性认识,最后在应用中,对形成的数学思想方法进行验证和发展,进一步加深理性认识,内化为解决问题时自然而然出现的思维策略。比如,对于数形结合的思想方法,初一刚开始借助数轴表示相反数,绝对值等,在学习不等式的解法时,要求用数轴找出不等式的解集或不等式组的解集,逐渐形成了借助于图形性质解决代数问题的思想方法。到初三学习函数时,通过直角坐标系将函数解析式和图象进行对应研究,都是数形结合的思想方法的具体应用。这样,同一种数学思想方法,在不同的知识阶段反复再现,不断应用,使学生不仅“学会”,而且“会学”,在思维能力上不断提高。 数学思想方法是数学知识的精髓,是解决数学问题和其它问题的金钥匙,热切希望每个学生都能拥有这把金钥匙,成为祖国未来的栋梁。 核心和灵魂，其重要意义显而易见。二、对初中数学思想方法教学的几点思考1、结合初中数学大纲，就初中数学教材进行数学思想方法的教学研究首先，要通过对教材完整的分析和研究，理清和把握教材的体系和脉络，统揽教材全局，高屋建瓴。然后，建立各类概念、知识点或知识单元之间的界面关系，归纳和揭示其特殊性质和内在的一般规律。例如，在“因式分解”这一章中，我们接触到许多数学方法提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法等。这是学习这一章知识的重点，只要我们学会了这些方法，按知识方法思想的顺序提炼数学思想方法，就能运用它们去解决成千上万分解多项式因式的问题。又如：结合初中代数的消元、降次、配方、换元方法，以及分类、变换、归纳、抽象和数形结合等方法性思想，进一步确定数学知识与其思想方法之间的结合点，建立一整套丰富的教学范例或模型，最终形成一个活动的知识与思想互联网络。2、以数学知识为载体，将数学思想方法有机地渗透入教学计划和教案内容之中教学计划的制订应体现数学思想方法教学的综合考虑，要明确每一阶段的载体内容、教学目标、展开步骤、教学程序和操作要点。数学教案则要就每一节课的概念、命题、公式、法则以至单元结构等教学过程进行渗透思想方法的具体设计。要求通过目标设计、创设情境、程序演化、归纳总结等关键环节，在知识的发生和运用过程中贯彻数学思想方法，形成数学知识、方法和思想的一体化。应充分利用数学的现实原型作为反映数学思想方法的基础。数学思想方法是对数学问题解决或构建所做的整体性考虑，它来源于现实原型又高于现实原型，往往借助现实原型使数学思想方法得以生动地表现，有利于对其深人理解和把握。例如：分类讨论的思想方法始终贯穿于整个数学教学中。在教学中要引导学生对所讨论的对象进行合理分类（分类时要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级），然后逐类讨论（即对各类问题详细讨论、逐步解决），最后归纳总结。教师要帮助学生掌握好分类的方法原则，形成分类思想。数学思想方法的渗透应根据教学计划有步骤地进行。一般在知识的概念形成阶段导入概念型数学思想，如方程思想、相似思想、已知与未知互相转化的思想、特殊与一般互相转化的思想等等。在知识的结论、公式、法则等规律的推导阶段，要强调和灌输思维方法，如解方程的如何消元降次、函数的数与形的转化、判定两个三角形相似有哪些常用思路等。在知识的总结阶段或新旧知识结合部分，要选配结构型的数学思想，如函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化，分数讨论思想体现了局部与整体的相互转化。在所有数学建构及问题的处理方面，注意体现其根本思想，如运用同解原理解一元一次方程，应注意为简便而采取的移项法则。3、重视课堂教学实践，在知识的引进、消化和应用过程中促使学生领悟和提炼数学思想方法数学知识发生的过程也是其思想方法产生的过程。在此过程中，要向学生提供丰富的、典型的以及正确的直观背景材料，创设使认知主体与客体之间激发作用的环境和条件，通过对知识发生过程的展示，使学生的思维和经验全部投人到接受问题、分析问题和感悟思想方法的挑战之中，从而主动构建科学的认知结构，将数学思想方法与数学知识融汇成一体，最终形成独立探索分析、解决问题的能力。概念既是思维的基础，又是思维的结果。恰当地展示其形成的过程，拉长被压缩了的“知识链”，是对数学抽象与数学模型方法进行点悟的极好素材和契机。在概念的引进过程中，应注意：解释概念产生的背景，让学生了解定义的合理性和必要性；揭示概念的形成过程，让学生综合概念定义的本质属性；巩固和加深概念理解，让学生在变式和比较中活化思维。在规律（定理、公式、法则等）的揭示过程中，教师应注意灌输数学思想方法，培养学生的探索性思维能力，并引导学生通过感性的直观背景材料或已有的知识发现规律，不过早地给结论，讲清抽象、概括或证明的过程，充分地向学生展现自己是如何思考的，使学生领悟蕴含其中的思想方法。数学问题的化解是数学教学的核心，其最终目的要学会运用数学知识和思想方法分析和解决实际问题。例如“平行四边形的面积求法”的问题，通过探求解决问题的思想和策略，得到以化归思想指导将思维定向转化成求已知矩形的面积。这样以问题的变式教学，使学生认识到求解该问题的实质是等积变换，即要在保持面积不变的情形下实现化归目标，而化归的手段是“三角形位移”，由此揭示了解决问题的思维过程及其所包含的数学思想，同时提高了学生探索性思维能力。在数学知识的引进、消化和运用的过程中，要利用单元复习和阶段性总结的时间，以适当集中的方式，从纵横两方面整理、概括和提炼出数学思想方法纲要和系统。以分散方式的渗透性教学为基础，集中强化数学思想方法教育的形式，促使学生对数学思想方法由个别的具体感悟上升到一般的理性认识，这有利于提高教学效果。4、通过范例和解题教学，综合运用数学思想方法一方面要通过解题和反思活动，从具体数学问题和范例中总结归纳解题方法，并提炼和抽象成数学思想；另一方面在解题过程中，充分发挥数学思想方法对发现解题途径的定向、联想和转化功能，举一反三，触类旁通，以数学思想观点为指导，灵活运用数学知识和方法分析问题、解决问题。范例教学通过选择具有典型性、启发性、创造性和审美性的例题和练习进行。要注意设计具有探索性的范例和能从中抽象一般和特殊规律的范例，在对其分析和思考的过程中展示数学思想和具有代表性的数学方法，提高学生的思维能力。例如，对某些问题，要引导学生尽可能运用多种方法，从各条途径寻求答案，找出最优方法，培养学生的变通性；对某些问题可以进行由简到繁、由特殊到一般的推论，让学生大胆联系和猜想，培养其思维的广阔性；对某些问题可以分析其特殊性，克服惯性思维束缚，培养学生思维的灵活性；对一些条件、因素较多的问题，要引导学生全面分析、系统综合各个条件，得出正确结论，培养其横向思维等等。此外，还要引导学生通过解题以后的反思，优化解题过程，总结解题经验，提炼数学思想方法。要引导学生把握知识的整体结构，形成合理的数学模型，通过综合运用数学思想方法，融会贯通各知识点和单元，建立一个以范例和习题为中心的知识网络，纵向加深知识层次，横向联系以发展思维能力，形成全局性的数学思想方法。综合以上思考，笔者认为，初中数学思想方法教学应以数学知识为载体，结合教学大纲和计划，按照启发、吸收、消化和发展的认识规律进行总体策划，分阶段、有步骤地贯彻实施。同时，要在教材的知识结构和教学设计上不断完善和丰富数学思想的理念和观点，在数学知识与数学思想方法之间建立有机的结合，形成完整的系统。思想方法在初中数学中的作用1.掌握了数学思想方法能够使数学知识更容易被理解数学以现实世界的数量关系与空间形式作为研究对象,而数和形是相互联系,也可以相互转化。把问题的数量关系转化为图形的性质问题或者把图形的性质问题转化为数量关系问题,是教学活动中一种十分重要的思维策略,这种处理问题的思想方法就是数形结合的思想方法。例如讲解一次函数的性质时，我们必须结合图形来理解和记忆它的性质。先画出平面直角坐标系，画出图像先得到形，再根据图像得到它的性质，从而形成数。这就是数形结合的思想的应用。2.掌握了数学思想方法有利于数学知识的记忆对于数学概念，公式，性质的教学需用到知识的转化和类比，例如讲解二元一次方程时，就需用到转化的思想。先把二元的方程转化为一元的再求解，在解题过程中只要掌握了转化的方法与技巧，就能把题解出来，从而降低了解题的难度，使学生容易接受理解。3.掌握了数学思想方法有利于“原理和态度的迁移”学习迁移的发生应有个先决条件，就是学生需先掌握原理，形成类比，才能迁移到具体的类似学习中。学生学习数学思想方法有利于实现学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以较快地提高学习的质量和数学能力。4.数学思想方法可以指导基础知识教学行程问题是数学教学中的一个重要内容，特别是与函数的结合，使有些学生更不易理解。他们往往对于自变量的取值问题不易理解，有些时候是把一些范围丢掉，不明白与实际问题相结合时应注意的问题。例如打的付费的题目，就需用到分类讨论的思想。再如用电付费，用水付费都会用到分类的问题，这些都需要学生把分类思想用好。5.数学思想方法可指导解题练习数学方法、数学思想的自觉运用往往使我们运算简捷、推理合理，是提高数学能力的必由之路。用数学思想指导知识、方法的灵活运用，进行一题多解的练习对同一数学问题的多角度的审视引发的不同联想，是一题多解的思维本源。丰富的合理的联想；是对知识的深刻理解，及类比、转化、数形结台、函数与方程等数学思想运用的必然。结合教学实践本人认为要想把数学思想方法的教育渗透到数学教学中去，应当把握好以下几个方面：1.在知识的形成过程中渗透数学思想方法通过“问题解决”激活数学思想方法，数学的发展一再证明了：“问题是数学的心脏”。2.在数学猜想中渗透数学思想方法由于中学生数学知识还比较贫乏，如果把数学思想方法作为一门独立的学科来教学，是不太实现的。而数学知识又是数学思想的载体，那我们可以充分利用这个载体，把数学思想方法渗透到我们的数学知识教学的每一个环节。古往今来，世人给我们留下的数学思想是非常丰富的。这些数学思想与我们所教学的数学知识一样，有难有易，我们应该根据数学知识的内容、学生的年龄特点分层次地选择合适的数学思想内容，进行渗透和教学。总之，数学思想方法与数学知识的获得是相辅相成的，数学思想是对知识发生过程的提炼、抽象、概括和升华，是对数学规律的理性认识，它支配着数学的实践活动，是解决数学问题的灵魂。以数学思想方法为主线展开的数学教学活动，能够使得学生更加深刻地领会数学所包含的思想方法及由此形成的数学知识体系，切实加强学生的创新和实践能力。多位研究数学思想和数学方法的数学教育专家（如张奠宙、过伯祥数学方法论稿、郑毓信数学思想、数学思想方法与数学方法论、张国栋、李建华数学思想和数学教育等）对数学思想和数学方法做了区分，但大多也认同，从数学教育的角度来看，过于区分数学思想和方法没有太大意义，在这个意义上，统称它们为数学思想方法。2009年，华东师范大学邵光华教授在他的老师顾泠沅教授的带领下，综述各种看法，求同存异，在作为教育任务的数学思想与方法一书里从数学教育的角度提出：数学思想作为一种理性认识，是关于数学内容和方法的本质认识，是对数学内容和方法进一步的抽象和概括。数学方法应被看成是在数学地提出问题、研究问题和解决问题（包括数学内部问题和实际问题）的过程中，所采取的各种手段和途径。而我们作为一线一员，则主要是从数学思想方法对我们教学的重要意义来体会数学思想方法的重要作用的。下面结合几个细节谈一下数学思想方法的重要作用。首先，从学习数学从最终的意义上来说，就是为了领悟数学思想方法。从传统的人教版数学教材，到新课程以课标为本百花齐放的各版本的数学教材，从小学、初中到高中学段，数学知识都是循序渐进，从算术到代数，从点线到三角形四边形，从多边形到圆，从平面到空间，但数学思想方法贯穿全过程。数学思想方法最初以很简单的数学知识和数学材料的形式渗透给学生，随着学生年龄增长和学段的上升，数学知识和材料越来丰富，数学思想方法也越来越被用新的内容逐步展开，这些数学思想和方法也组成了数学全部内容的核心。我们也可以想见，多年以后，学了数学的学生走出校门，踏入社会，大多数的数学知识很快会模糊不清到忘掉，但是因为数学学习而培养起来的一些优秀的品质、习惯、思维方法和着眼点，如求真精神、探索习惯、合情推理能力、逻辑推理能力等却以工作和学习中新的内容和材料展示出来，深入骨髓。所以米山国藏在数学的精神、思想和方法中说，“纵然是把数学知识忘记了，但数学的精神、思想、方法也会深深地铭刻在头脑里，长久地活跃于日常的业务中”。举个例子，根据建构主义的学习理论，人在接触到新的事物的时候，总是用原有的认知和新事物照应和联系，完成建构过程。而数学思想方法中的转化思想，以数学的内容和形式在不断的增强人的这种建构能力。比如，从北师大版实验教材编排体系来看，小学四年级下期学习了“商不变定律”（即：被除数和除数同时乘以或除以一个数（0除外），商不变），到五年级上册，学习“分数的基本性质”（即“分数的分子和分母同时乘以或除以一个数（0除外），分数的大小不变”），二者实际上是形异质同，只要让学生根据分数形式和除法算式之间的关系，把分数的基本性质“翻译”一下就成为学过的“商不变定律”，学生自然会豁然明朗。这时，教师应抓住这个时机告诉学生，“其实，数学中许多知识都是同一件东西多种不同的形式而已。学数学的时候，要注意联系和对比，不断的把新的知识转化为和旧知识相似的形式来理解新知识，不断地把新问题转化为旧问题来解决新问题。”上面的例子表明了转化思想以数学的内容和形式对提高人们领会新事物能力的巨大作用。从这个学习过程也可以看出，数学思想方法对培养人根本的思维品质所起到的重大作用。其次，从数学教学的角度来说，把数学教学支点仅放在数学知识的教学、把教学支点放在培养学生思维能力和思维品质的教学、把教学支点放在数学的情感、精神的教学上的教学显然代表了数学教学的不同层次。数学课新在思维过程上，高在思想性上，好在学生参与度上。只有在培养学生数学思想方法的基础上，记忆知识、领会思想、陶冶情感，才能使数学课给学生留下长久的激荡和对知识的深刻理解，这样的数学教学才具有真正的实效和长效。这样的数学课堂才充满灵性，真与美交融碰撞，教师和学生沉浸其中，酣畅淋漓，所以很多行家描述一节好课的体验是“一次生命的际遇”。第三，从数学学习角度来看，数学思想方法是对数学内容进一步的抽象和概括，位于数学知识的上位，数学思想方法的领悟必将对知识的迁移产生巨大的作用。可以说，没有领悟数学思想方法的数学学习，根本不懂得数学学习。一节九年级的数学课上，学生们在解答同样的一道函数题目：已知某二次函数经过点（1,2），(3,10)，（4,17），求该二次函数解析式，多数学生可以顺利解答，但当问起怎么做时，学生们的回答很不相同，典型的有两类，一类回答：“凡已知三个点求解析式，都是把点的坐标代入解析式，列方程组求解就行了”，另一类回答：“求二次函数的解析式，实际上就是求三个未知数a、b、c，三个点是三个条件，每个条件可以化成一个含有这三个未知数的方程，三个方程就可以确定三个未知数的值。”显然，前一类学生是仍然习惯于用记忆的方式来学数学，随着学习内容的增加，这一类学生会逐渐感到吃力。后一类学生则是通过方程组思想来把握这道题目，随着题目情境的变化，这类学生显然不会感到解题困难，并随着对数学思想方法领悟的深刻程度的增加，学习数学会越感到轻松。类似的现象在教学实践中很多。比如，我们会发现，不能很好的解答二次函数综合题目的学生，绝大多数是因为没有领会数形结合的思想方法在函数问题中的灵活运用方法，没有想到在解决函数问题时，用“数”的方式感到困难，就要考虑用“形”的方式打开思路，反之亦然；学函数就是要领会运动变化，就是要从数、形两方面来把握问题，对函数的三种表示法（表格、图像、表达式）之间的关系的理解和“互译”能力是学好函数解题的根本关键。再如，不能很好理解分段函数的学生，很可能不能很好的领会分类讨论的思想方法，追溯上去，他很可能在之前的绝对值的学习中，没有领会绝对值知识中蕴含的分类讨论思想。提出了23个问题，深刻影响了整个二十世纪数学发展的数学家希尔伯特曾经幽默地说，“我因为脑袋笨，记忆力不好，总记不住东西，所以选择了研究数学”， “在我们中间，常常听到这样的呼声：这里有一个数学问题，去找出它的答案！你能通过纯思维找到它，因为在数学中没有不可知。”这些都表明，数学学习不是通过记忆来学的。反观义务教育的整个阶段，中考数学成绩落差较大是公认的事实。但是，为什么同样的教材，同样的九年数学学习，为什么中考时数学成绩落差较大？为什么相当一部分学生在小学阶段数学学习成绩较好，到初中却逐渐落下？这些现象产生的原因很复杂，但从数学学习方法的角度来说，“学数学要学数学思想方法，不要用记忆的方式来学数学”是其中一个重要因素。最后，从其他很多角度看来，如数学思想方法同哲学思想之间的联系，数学思想方法是数学内容的产生和发展的核心等等角度，我们也认识到数学思想方法的重要性。总之数学思想方法无论对于数学本身的产生和发展，对其他相关学科的支撑，还是对于数学教育来说，都有着重要的作用。谈数学思想与数学方法在素质教育中的作用孙茂辉 实施素质教育的目的是为了更好的贯彻党的教育方针，为中国特色社会主义建设事业培养高素质新人。数学教育作为素质教育的组成部分，它是以数学为主要内容的教育，它是整个教育特别是学校教育的重要组成部分，因此，它必然体现学校教育的所有的要求，担负着向学生施行全面素质教育的重要任务。下面就初中数学来谈谈数学思想与数学方法以及在实施素质教育中的重要作用。 第一，初中数学中蕴涵的数学思想。数学中的数学思想和数学方法对培养学生能力和提高学生的素质是非常重要的。数学思想是数学方法的基础，同时数学思想还具有数学方法的功能，二者是数学内容的重要组成部分。切实加强数学思想和数学方法的教学，对学生的长远发展尤为重要。因此，作为数学教师必须认真思考如何去实施它。 数学思想是一种科学的思想，是指客观世界的空间形式和数量关系反映到人的意识中，再经过思维活动而产生的，它是对数学事实的本质认识。 公理化思想，它重视实践的作用，以实践为依据，教材理论的公理化为学生免除不必要的证明过程，从教材要求的角度来说是降低了难度，从学生心理发展的角度来说是符合初中生发展的认知规律，是符合素质教育的要求。现行教材初二数学在三角形全等中给出的是三个判定公理。由于公理最大的特点是实践性强，因此在实际学习中，只要多动手操作就能理解掌握，符合素质教育的要求。 转化思想，这是初中最常见的也是最常用的数学思想之一。所谓转化就是把一事物化为另一事物。对数学而言，采用这种思想可把复杂问题转化为简单问题，可把综合问题化为若干个基本问题和，把生疏的问题转化为熟悉问题，把未知问题转化未已知问题，由一般到特殊、由高次到低次的转化等等。例如解方程组，采用转化的数学思想，可将方程组由三元到二元再到一元的转化，从而还产生了两种方法，即代入消元法和加减消元法。再如：数与数轴上的点；分式方程与无理方程转化为一元一次方程或一元二次方程；把证明两条线段相等转化为证明两三角形全等，等等。在学生使用转化的数学思想过程中，既开发了智力又发展了能力，同时还会感受到数学的魅力所在，增强学习兴趣和学习信心，符合学生的认知规律，也符合学生身心发展。 方程思想，是数学中最重要的数学思想。有人将把方程称为代数学的核心，可见方程的地位的重要。自然，掌握方程思想其意义是不言而喻了。它是在解题中通过已知量和未知量的联系，找出它们的等量关系，以方程的形式表达出来，再根据方程的解法求出未知量，以达到解决问题的目的的一种思想。它不仅使学生了解世界的矛盾性和对立统一性，又了解到世界的普遍联系性，这是人的思想素质的组成部分，是了解世界和认识世界的法宝。在实际中，方程思想在解决问题中被广泛采用。比如在解决应用题中其核心是找等量关系，其目的是建立方程（组），整个解题过程对方程思想体现的非常充分。 数形结合的思想，它是数量关系和空间形式的结合，从两个不同方面展现同一个问题。很多数学问题带有很强的几何图形的背景，因此把一些纯数学问题转化为几何问题来解决就显得比较直观，而且简单易懂；反过来有些几何问题也存在一定的数量关系，若采用代数形式来解决，常常显得简洁、精确。在初中代数中讲的有理数、相反数、绝对值等概念都可使学生从数与形两个方面进行认识，从而加深对知识的理解和掌握，这符合学生的认知规律，同时还使学生进一步感受到对立统一的辨证思想。 分类讨论的思想，对不能确定有唯一结果的问题，需加强条件才能得出结果的一种思想。对此类问题解决，往往分成几类，诸类分析解决，才能完全解决此问题。分类的原则是：不重不漏。要做到这一点是有些难度，教师要注意引导和训练。要想很好使用分类讨论的思想，要求学生掌握扎实的基础知识，因此，在教学中要求教师必须面向全体学生，这符合素质教育的要求。在初中第一次出现这种思想是在讲绝对值的性质，注意做好渗透。 变量的思想。在引进字母后，数学就从小学静态走向了动态，从而使得数学开始变得灿烂多彩，但同时也给学生学习带来了思维上的转变，因为它要求学生采用变化的观点学习数学，要从算术思维走向代数思维。比如每一个公式，其中字母不仅代表一个数或一个字母，它还代表着任意的一个式子（单项式、多项式、分式等）。这种观点符合事物发展的规律。 以上谈到六种数学思想，在这些数学思想的背后蕴涵着一些数学方法，没有思想也就没有数学方法，不过，有时数学思想也就是数学方法。要达到数学素质教育的目的，使学生掌握数学方法，并用之去解决有关问题就更显得重要。 第二，初中数学中蕴涵的数学方法。数学方法作为数学内容的组成部分，对学生解决实际问题有着重要的指导作用，掌握好数学方法可以摒弃以往的“就题论题”、“题海战术”的错误思想，减轻学生学习负担，对学生的身心发展有着积极的意义。下面将初中数学中蕴涵的数学方法作以总结。 变形法，这是一种常见的数学方法，又称等价变换法。它可将复杂的问题转换为比较简单的问题，同时又可提高学生的思维能力。比如对数学中的所有公式的讲解的同时，作为教师一定要重视公式变形的讲解，这样学生会更好掌握公式，并且会灵活运用所学公式。例如：已知，求 （完全平方公式的变形）。再如：已知 求 换元法，这也是初中数学常用的解题方法，使变量思想的充分体现。它是将已知题中的一个代数式用一个字母代替而得以简化，将此字母求出后再带回求出原来的未知数的值的一种方法。例如初三代数中，用换元法求分式方程与无理方程的解。如： 解分式方程 （令）。再如：解无理方程 （令 ）。 消元法，是将多个未知数转化为一个未知数的一种方法，初中主要有代入消元法和加减消元法两种。例如二元一次方程组、三元一次方程组、二元二次方程组的解法都是采用消元法，将它们最终化成一元一次方程、一元二次方程来求解。 配方法，这是一种重要的数学方法，一般采用“一提、而配、三整理”的步骤。在一元二次方程解法中就有配方法，在二次函数中用配方法可求出抛物线的顶点坐标和对称轴，用配方结果取点可画出二次函数的图象。 待定系数法，也是一种重要的方法，是变量思想的具体体现，它是将未知量用已知量代替，将原式中常数看成变量，采用方程的思想求出未知系数的一种方法。如用待定系数法求二次函数的解析式。 反证法，作为数学中非常特殊的一种方法，在初中不很常用，但是教材中已经游乐渗透。用反证法一般有三步：（1）是假设命题的结论不成立；（2）是从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论的正确。采用反证法论证的命题结论往往有“最少”、“至少”、“都”、“不全”、“唯一”等等的字样。例如平行公理的推论的论证、在一条直线上三点不能共圆两问题就是采用反证法证明的。另外用反证法证明无理数也是非常有效的。 判别式与韦达定理法，这一方法主要针对的是一元二次方程而言。特别是与一元二次方程有关的几何问题，圆与一元二次方程的综合问题，常常需要用到判别式与韦达定理来解决。 此外，还有因式分解法也很重要，在解一元二次方程中经常用到。还有构造法、面积法、几何变换法等。掌握数学方法，对培养解题能力，发展思维，培养良好的意志品质有其重要的作用，同时还能激发学生的学习兴趣，增强学生学习的积极性和主动性。 第三，数学思想、方法、能力与素质教育。进行数学思想、数学方法教学使学生提高意识，发展思维，形成解决问题的方法，适应社会发展的需要，这本身就是素质教育的要求。数学素质教育作为素质教育的一部分，也担负着教会学生做人的重担，使学生头脑中有数学思想意识，用数学方法去探讨去解决有关实际问题，从而形成分析问题、解决问题的能力。正如爱因斯坦所说：“发展独立思考和独立判断，应当始终放在首位，而不应该把获取专业知识放在首位，如果一个人掌握了他所学的学科的基础理论，并且学会了独立思考和独立工作，他必将找到自己的道路，而且比起那种主要获取细节知识为其培训内容的人来说，他一定会更好地适应进步和变化。”因此，数学思想和数学方法一旦掌握，而且会用此解决问题，这就是爱因斯坦所说的会思考和会工作，而且能适应进步和变化的人，这也正是素质教育所要达到的目的。 数学思想和数学方法对实施数学素质教育的意义重大。首先，由于加强数学思想和数学方法的教学是为培养学生能力打基础，因为人们在教学活动中总要面对各种问题，并要寻求解决的手段和途径，我们教育学生也正是让学生有此能力。其次，加强数学思想和数学方法的教学是为了达到真正意义上的面向全体学生，防止学生分化和厌学，是学生真正得到全面发展。古人说的好，授之以鱼，只供一饭之需，授之以渔，则受用终身。第三，加强数学思想和数学方法教学，能激发学生学习兴趣，提高学生积极性，符合素质教育的要求，同时，也符合学生的认知规律，对学生的能力提高有重要的作用。第四，加强数学思想数学方法的教学，能克服教师与学生就题论题和死套模式的老路，使学生达到举一反三的目的，有利于发展学生的思维，促使学生思维的健康发展。 第四，加强数学思想和数学方法的教学对教师的要求。首先，教师要认知学习，不断加深和扩展自身的知识，特别是素质教育理论和有关数学史的知识。其次，要掌握好数学思想和数学方法，及二者关系。教学中不能想当然地渗透和讲解，避免加重学生的负担。第三，教师要充分挖掘教材，把数学思想和数学方法纳入授课目的之中，教师要认真准备。第四，要及时归纳和总结，形成知识体系，把数学思想和数学方法与数学知识有机地结合起来。第五，数学思想和数学方法的教学，必须利用好课堂这个舞台，使学生真正地学有所得，学有所用。第六，数学思想和数学方法教学不是一瞬就能完成的事情，需要时间，同时还要考虑到学生的接受力和理解力不同，教师不能急躁，要持之以恒。 总之，在大力提倡素质教育的今天，每一位教师都应该认真去学习和研究。实施素质教育是为了更好地贯彻党的教育方针，更好地培养出社会主义的建设者和接班人。数学素质教育的目的也是基于此。因此，作为一名数学教师要在素质教育的大潮中锻炼自己，为素质教育的实施贡献自己的力量！数学：浅谈初中数学思想方法的教学 内容摘要 数学教学中必须重视思想方法的教学，它是数学教育教学本身的需要，是以人为本的教育理念下培养学生素养为目标的需要，是提高学生解题能力的需要。初中数学教学中要注意在概念教学中渗透数学思想方法，在定理和公式的探求中挖掘数学思想方法，在问题解决过程中强化数学思想方法，并及时总结以逐步内化数学思想方法。数学思想是指人们在研究数学过程中对其内容、方法、结构、思维方式及其意义的基本看法和本质的认识，是人们对数学的观念系统的认识。数学教学中必须重视思想方法的教学，其理由是显而易见的。首先，重视思想方法的教学是数学教育教学本身的需要。数学思想方法是以数学为工具进行科学研究的方法。纵观数学的发展史我们看到数学总是伴随着数学思想方法的发展而发展的。如坐标法思想的具体应用产生了解析几何；无限细分求和思想方法导致了微积分学的诞生，数学思想方法产生数学知识，而数学知识又蕴载着数学思想，二者相辅相成，密不可分。正是数学知识与数学思想方法的这种辩证统一性，决定了我们在传授数学知识的同时必须重视数学思想方法的教学。其次，重视思想方法的教学是以人为本的教育理念下培养学生素养为目标的需要。著名日本数学家和数学教育家米山国藏在从事多年数学教育研究之后，说过这样一段耐人寻味的话：“学生们在初中或高中所学到的数学知识，在进入社会后，几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的教学，通常在出校门后不到一两年就忘掉了，然而不管他们从事什么业务工作，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在他们的生活和工作中发挥着作用。” 倘若我们留意各行各业的某些专家或一般工作者，当感到他们思维敏锐，逻辑严谨，说理透彻的时候，往往可以追溯到他们在中小学所受的数学教育，尤其是数学思想方法的熏陶。理论研究和人才成长的轨迹也都表明，数学思想方法在人的能力培养和素质提高方面起着重要作用。再次，从现实的角度看，重视思想方法的教学是提高学生解题能力的需要。如2002年绍兴市中考题：某斜拉桥的一组钢索a、b、c、d、e，共5条，它们相互平行，钢索与桥面的固定点p1、p2、p3、p4、p5中，每相邻两点等距离。（1）问至少需要知道几条钢索的长，才能计算出其余钢索的长？（2）请你对（1）中需知道的钢索给出具体的数值，并且由此计算出其余钢索的长。这是道斜拉桥背景的情景题，需要学生将其抽象出几何模型，转化为数学问题求解。该市教研员著文称，此题体现了命题者先进的数学思想及现代数学的意识，像这种好题今后还会继续出现在我市的中考数学试卷上。那么，数学教学中如何进行数学思想方法的教学？笔者以为可着重从以下几个方面入手：1、在概念教学中渗透数学思想方法数学概念是现实世界中空间形式和数量关系及其本质属性在思维中的反映，人们先通过感觉、知觉对客观事物形成感性认识，再经过分析比较，抽象概括等一系列思维活动而抽取事物的本质属性才形成概念。因此，概念教学不应只是简单的给出定义，而要引导学生感受及领悟隐含于概念形成之中的数学思想。比如绝对值概念的教学，初一代数是直接给出绝对值的描述性定义（正数的绝对值取它的本身，负数的绝对值取它的相反数，零的绝对值还是零）学生往往无法透彻理解这一概念只能生搬硬套，如何用我们刚刚所学过的数轴这一直观形象来揭示“绝对值”这个概念的内涵，从而能使学生更透彻、更全面地理解这一概念，我们在教学中可按如下方式提出问题引导学生思考：（1）请同学们将下列各数0、3、-3、5 、-5 在数轴上表示出来；（2）3与-3；5 与-5 有什么关系？（3）3到原点的距离与-3到原点的距离有什么关系？5 到原点的距离与-5 到原点的距离有什么关系？这样引出绝对值的概念后，再让学生自己归纳出绝对值的描述性定义。（4）绝对值等于7的数有几个？你能从数轴上说明吗？通过上述教学方法，学生既学习了绝对值的概念，又渗透了数形结合的数学思想方法，这对后续课程中进一步解决有关绝对值的方程和不等式问题，无疑是有益的。2、在定理和公式的探求中挖掘数学思想方法著名数学家华罗庚说过：“学习数学最好到数学家的纸篓里找材料，不要只看书上的结论。”这就是说，对探索结论过程的数学思想方法学习，其重要性决不亚于结论本身。数学定理、公式、法则等结论，都是具体的判断，其形成大致分成两种情况：一是经过观察，分析用不完全归纳法或类比等方法得出猜想，尔后再寻求逻辑证明；二是从理论推导出发得出结论。总之这些结论的取得都是数学思想方法运用的成功范例。因此，在定理公式的教学中不要过早给出结论，而应引导学生参与结论的探索、发现、推导过程。搞清其中的因果关系，领悟它与其它知识的关系，让学生亲身体验创造性思维活动中所经历和应用到的数学思想和方法。例如，在圆周角定理从度数关系的发现到证明体现了特殊到一般、分类讨论、化归以及枚举归纳的数学思想方法。在教学中我们可依次提出如下富有挑战性的问题让学生思考：（1）我们已经知道圆心角的度数定理，我们不禁要问：圆周角的度数是否与圆心角的度数存在某种关系？圆心角的顶点就是圆心！就圆心而言它与圆周角的边的位置关系有几种可能？（2）让我们先考察特殊的情况下二者之间有何度量关系？（3）其它两种情况有必要另起炉灶另外重新证明吗？如何转化为前述的特殊情况给与证明？（4）上述的证明是否完整？为什么？可见，由于以上引导展示了探索问题的整个思维过程所应用的数学思想方法，因而较好地发挥了定理探讨课型在数学思想方法应用上的教育和示范功能。3、在问题解决过程中强化数学思想方法许多