化学计量学2-数学Matlab1.pdf

第二章第二章 数学和M a t l a b 基础数学和M a t l a b 基础 一 线性代数学预备知识一 线性代数学预备知识 Knowledge of Linear Algebra 矩阵运算 一些基本矩阵的定义 矩阵的初等变换和矩阵的秩 逆阵 正交矩阵 方阵的行列式 特征值和特征向量 几个概念 矩阵 标量 向量 矢量 张量 5 0 3 数据数据表示方式 0 2 0 8 1 5 4 0 3 6 5 0 3 数据数据表示方式 0 2 0 8 1 5 4 0 3 6 0 2 0 8 1 5 4 0 3 6 0 2 0 8 1 5 4 0 3 6 0 1 0 6 1 2 1 9 2 3 0 1 0 6 1 2 1 9 2 3 多个矩阵连在一起多个矩阵连在一起 x 5 0 3 5 0 3 x 0 2 0 2 X xn x2 x1 A X 1 X 2 A X 1 X 2 X n X n l矩阵 matrix n 行 m 列数据的矩形列阵称为 n m 维矩阵 矩阵常用大写粗体英文字母表示 下标 i 表示行号 j 表示列号 小写aij bij表示矩阵 第 i 行第 j 列的元素 例如 mn nmnn m m mnij aaa aaa aaa a 21 22221 11211 32 674 532 l两矩阵维数相等并所有对应元素都相等记为 向量常用小写粗体英文字母a b表示 例如 1 2 1 1 n n ni a a a aa 12 4 2 ab 31 152 b mmj bbbb 121 ln 维列向量l2维列向量l m 维行向量l3维行向量 l向量 vector n 1维矩阵称为 n 维列向量 m 维矩阵称为 m 维行向量 向量常用小写黑体英文字母a b表示 l向量又称为矢量 它既有方向 也有长度 l一个 n 维向量是在一个由 n 个相互垂直的坐标轴构 成的 n 维欧氏空间中的一条有向线段 l通常把全部元素都是1的向量记为为 l向量 vector n 1维矩阵称为 n 维列向量 m 维矩阵称为 m 维行向量 l向量的方向是从这个 n 维空间的坐标原点出发指向 该点的坐标 例如下图中 a b分别表示两个三维向 量 其中 a 532 423 b l向量的长度等于所有元素的平 方之和的平方根值 向量的长 度称为模 记为 例如 a 1644 6532 222 a 3852 5423 222 b l可以将一个普通向量的各个元素除以这个向量的 模求得与该向量对应的单位向量 例如 已知向 量 a 1 3 2 的模为 相应的单位向量为 14 2 31 222 a 14 2 14 3 14 1 1 14 2 14 3 14 1 222 l长度为 的向量称为单位向量 是一个单位向量 因为 14 2 14 3 14 1 其中 a 为行向量 b 为列向量 ba ab cos 964 0 1102 32 2938 32 l常用两个维数相同的向量之间的夹角 的余弦来 衡量两个变量的关系 夹角余弦的定义为 l图中 a 2 3 5 b 3 2 4 423 532 452332 cos 222222 l两个向量正交的充分必要条件 是它们的乘积为0 l当两个向量的夹角余弦为0时 称两向量正交 orthogonal 或 垂直 这时夹角 等于90度 ba ab cos l将一个矩阵的行与列的位置对调 所得到的矩阵称 为原矩阵的转置阵 当A为B的转置阵 记B A 例如 A 32 674 532 如果 那么 它的转置阵 A 23 65 73 42 l所有元素的值都是 的矩阵称为 矩阵 记为 0 l如果矩阵的行数和列数相等 即 n m 则称这个 矩阵为方阵 l如果一个矩阵的行数和列数都等于 n 即称它为 n 阶方阵 l方阵 例如A 主对角线 指从左上角到右下角的对角 线 上所有元素之和称为这个方阵的迹 trace 记为 tr A l对于 n 阶方阵A tr A n i ii a 1 l如果一个矩阵与它的转置阵相等 即A A 则称 这个矩阵为对称阵 symmetric matrix l如果一个方阵中 除了主对角线上的元素外 其余 所有元素都是 则称这个矩阵为对角阵 diagonal matrix 主对角线上的元素可以是 也可以不是 l对角阵必定是对称阵 l如果一个方阵中 主对角线上的元素都是 其余 所有元素都是 则称这个矩阵为单位阵 identity matrix 即 1 000 0 100 0 010 0 001 I nn l单位矩阵在矩阵运算中的作用有点象初等数学中的 1 即有关系 AI IA A 矩阵的运算矩阵的运算 Matrix Operations l如果两个矩阵 例如A和B 的维数相等 可以将它 们所有的对应元素相加 所得的新矩阵 C 称为两 个原矩阵的和 记为 C A B 按矩阵加法 如果A B nmij a nmij b 则 C A B nm ijijnmij bac l维数不等的矩阵不能相加 l例如 如果A B 642 531 234 416 32 32 则 C A B 263442 451361 876 947 32 32 则 C A B nm ijijnmij bac l如果两个矩阵 例如 A 和 B 的维数相等 可以将它 们所有的对应元素相减 所得的新矩阵 C 称为两 个原矩阵的差 记为C A B 按矩阵减法 如果 A B nmij a nmij b l维数不等的矩阵不能相减 l例如 如果 A B 642 531 234 416 32 32 则 C A B 263442 451361 412 125 32 32 矩阵的运算矩阵的运算 Matrix Operations a A nm ijnmij aaaa l如果用一个数字 a 乘一个矩阵中的所有元素 称为 矩阵与数字相乘 那么 有关系 l例如 如果 a 3 A 那么 那么 642 531 32 a A 642 531 3 32 634323 533313 32 18126 1593 32 矩阵的运算矩阵的运算 Matrix Operations l例如 如果 b 2 A 那么 那么 642 531 32 321 5 25 15 0 32 l当要用一个矩阵中的所有元素除以一个数字 b 可 记 a 1 b 然后用矩阵与数字相乘的方法处理它 a A nm ij nm ij b a a bb 1A 矩阵的运算矩阵的运算 Matrix Operations b A 32 2 62 42 2 2 52 32 1 32 642 531 2 1 l如果一个矩阵 A 的列数等于另一个矩阵 B 的行 数 可以将这两个矩阵相乘得到一个新的矩阵 C 记为C A B AB 新矩阵 C 的行数将等于 第一个矩阵 A 的行数 新矩阵的列数将等于第二 矩阵 B 的列数 其中各元素的值将由下面的公式 算得 即 如果A B nmij a pn ij b pm n k kjikpmij bac 1 则C A B 矩阵的运算矩阵的运算 Matrix Operations 那么 C A B A B l例如 如果A B 22 67 32 904 518 32 965706174687 935203124382 32 89780 37228 32 矩阵的运算矩阵的运算 Matrix Operations 如果A B nmij a pn ij b pm n k kjikpmij bac 1 则C A B l如果前面矩阵的列数与后面矩阵的行数不相等 称 这两个矩阵的维数不匹配 不能相乘 l如果矩阵 A 在前 在前 B 在后 称矩阵 A 前乘矩阵 B 或称矩阵 B 后乘矩阵A 记为A B或 A B 矩阵的运算矩阵的运算 Matrix Operations l矩阵代数的运算法则 l交换率 矩阵加法有交换率 即 矩阵乘法没有交换率 即 A B B A 22 63 72 32 904 518 89780 37228 32 904 518 32 与不能相乘 22 63 72 矩阵的运算矩阵的运算 Matrix Operations 矩阵与数字相乘有交换率 c A A c l结合率 矩阵加法有结合率 即 A B C A B C 642 531 234 416 32 32 123 052 32 234 416 32 642 531 32 123 052 32 357 468 32 123 052 32 876 947 32 999 999 32 642 531 32 999 999 32 矩阵的运算矩阵的运算 Matrix Operations l结合率 矩阵乘法有结合率 即 A B C A B C 或 a a 12 21 101 210 12 10 21 12 10 21 911 910 521 412 12 21 33 34 911 910 12 21 101 210 12 10 21 矩阵的运算矩阵的运算 Matrix Operations 数字与矩阵相乘有结合率 即 ab a b l分配率 数乘有分配率 即 aabb 或 aaa 12 21 3 53 42 3 65 63 1815 189 12 21 3 53 42 3 36 63 159 126 1815 189 矩阵的运算矩阵的运算 Matrix Operations l分配率 矩阵乘法有分配率 即 或 3917 3315 12 21 53 42 42 31 42 31 65 63 12 21 42 31 53 42 42 31 104 115 2913 2210 3917 3315 l尤其要注意前乘与后乘的区别 单个矩阵后乘两个矩阵之和时 矩阵的运算矩阵的运算 Matrix Operations l矩阵转置规则 642 531 02 10 21 注意 前乘变后乘 814 511 85 1411 02 10 21 642 531 85 1411 65 43 21 012 201 矩阵的运算矩阵的运算 Matrix Operations 矩阵的初等变换和秩矩阵的初等变换和秩 Matrix Transformation Rank l矩阵经过下述三种运算之一称为经过一次初等变换 l交换矩阵中两行 或两列 的位置 l把矩阵某行 或某列 乘以一个常数后加到另一行 或另一列 上 l用一个非零常数乘矩阵的某行 或某列 l矩阵 经过一系列初等变换后变成 就称 和 为等价矩阵 记为 矩阵的初等变换和秩矩阵的初等变换和秩 Matrix Transformation Rank l一个普通矩阵总可以经过一系列初等变换变成一个 对角矩阵 线性代数已经证明 与一个矩阵等价的 对角矩阵中非零元素的个数是固定不变的 其数目 与所施加的初等变换的方式和顺序无关 l与矩阵等价的对角矩阵非零元素的个数叫做矩阵的 秩 r a n k 矩阵 的秩记为 R 矩阵的初等变换和秩矩阵的初等变换和秩 Matrix Transformation Rank l经一系列初等变换来求一个矩阵的秩的例子 6842 3452 3410 设有矩阵 6842 3452 3410 3410 3452 6842 交换第1 3 行 使它为0 第1 行 1 加到第2 行 3410 3410 6842 使它为0 矩阵的初等变换和秩矩阵的初等变换和秩 Matrix Transformation Rank 6842 3452 3410 3410 3452 6842 交换第1 3 行 第1 行 1 加到第2 行 3410 3410 6842 第2 行 1 加到第3 行 0000 3410 6842 使它们为0 第3 列 3 4 加到第4 列 0000 0410 0842 使它们为0 矩阵的初等变换和秩矩阵的初等变换和秩 Matrix Transformation Rank 第3 列 3 4 加到第4 列 0000 0410 0842 第1 列 2 加到第2 列 0000 0410 0802 使它为0 第1 列 4 加到第3 列 0000 0410 0002 使它为0 第2 列 4 加到第3 列 0000 0010 0002 使它为0 矩阵的初等变换和秩矩阵的初等变换和秩 Matrix Transformation Rank l经过一系列初等变换矩阵 变成了一个对角阵 6842 3452 3410 0000 0010 0002 因此求得矩阵 的秩为2 即 2 R l任何矩阵的秩必定小于或等于矩阵行数和列数中的 较小值 即 M i n 行数 列数 R l若一个方阵的秩等于它的阶数 称这个矩阵为满秩 矩阵 f u l l r a n k l不满秩矩阵又称为奇异矩阵 s i n g u l a r m a t r i x 逆矩阵逆矩阵Inverse l若方阵 与方阵 的乘积为单位矩阵 即 则称矩阵 为矩阵 的逆阵 记为 1 或称 为 的逆阵 记为 1 l只有满秩方阵才可以求逆 l有许多方法可以求一个可逆方阵的逆阵 例如通 过对可逆方阵的各行进行初等变换来求逆 l逆阵在矩阵运算中的作用有点象初等数学中的倒数 即有关系 1 1 1 1 l在化学计量学中 矩阵求逆是很重要的运算 l若把正交矩阵的各行 或列 看作向量 那么这些 向量的模必定为1 不同行 或列 向量的乘积必定 为0 即它们都是彼此垂直的单位向量 具有这种 性质的向量组称为正规化单位向量集 orthonormal set 正交矩阵正交矩阵 Orthogonal Matrix l如果方阵 的转置阵刚好等于它的逆阵 即 1 1 则称矩阵 是个正交矩阵 l对于正交矩阵 具有性质 正交矩阵正交矩阵 Orthogonal Matrix l正交矩阵的例子 2 12 1 2 12 1 2 12 1 2 12 1 l可以验证 2 12 1 2 12 1 2 12 1 2 12 1 方阵的行列式方阵的行列式 Determinant det 1 det 11 1 21 22221 11211 kk k nn n n Sa aaa aaa aaa A 阶方阵行列式的计算公式为 n l方阵中所有各种不同行 不同列元素乘积的代数和 称为该方阵的行列式 记为 或 det 方阵的行列式方阵的行列式 Determinant 333231 232221 131211 aaa aaa aaa l三阶方阵行列式的计算公式为 3 n 322113312312332211 aaaaaaaaa 322311332112312213 aaaaaaaaa 333231 232221 131211 aaa aaa aaa a2 1 a3 1a3 2 a1 1a1 2 a2 2 方阵的行列式方阵的行列式 Determinant l矩阵行列式的性质 l满秩矩阵的行列式不为0 奇异矩阵的行列式值为0 l交换两行 或两列 的位置 行列式值不改变 l若有一行 或列 的全部元素为0 行列式值为0 l若有两行 或两列 的对应元素相同 行列式值为0 l若两行 或两列 的对应元素成比例 行列式值为0 l用一个非零常数乘上某一行 或一列 后再加到另 一行 或一列 行列式值不变 k 特征值和特征向量特征值和特征向量 Eigenvalue Eigenvectors l下面举例说明一种最基本求解特征值和特征向量 的方法 l对于阶方阵 若存在一个常数值和一个维 向量 能使得 称为矩阵 的一个 特征值 为矩阵 对应于的特征向量 n n 12 21 若特征值为 对应的特征向量为 特征方程为 0 即 0 即 det det 12 21 10 01 det 12 21 0 0 det 12 21 02 1 22 0 21 21 12 21 于是求得 的两个特征值为 1 2 3 1 由 对应于的正规化特征向量为 3 1 2 1 2 1 对应于的正规化特征向量为 1 2 2 1 2 1 奇异值分解奇异值分解 l化学计量学中常用到奇异值分解 For any matrix An m n m one can always use the technique called singlular value decomposition SVD to