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文档简介

第五章 大数定律及中心极限定理出题人:蒲兴成基本要求1. 理解大数定律及中心极限定理的内涵;2. 熟记大数定律及中心极限定理的几种基本形式;3. 能够指出大数定律及中心极限定理成立时应满足的条件;4. 能用大数定律及中心极限定理解决一些实际问题.部分习题讲解1.根据以往经验,某种元件的寿命服从均值为100小时的指数分布,现随机地取16只,设它们的寿命是相互独立的.求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.解:以表示第只电器的使用寿命,则记,即表示这16只电器的使用寿命之和,据独立同分布的中心极限定理有:2.一部件包括10部分,每部分的长度是一个随机变量,它们相互独立,且服从同一分布,其数学期望为2mm,均方差为0.05mm.规定总长度为(20时产品合格,试求产品合格的概率.解:以表示第部分的长度,则记,即表示这10部分总长度,据独立同分布的中心极限定理有:3.计算器在进行加法时,将每个加数舍入最靠近它的整数.设所有舍入误差是相互独立的且在上服从均匀分布.(1)若将1500个数相加,问误差总和的绝对值超过15的概率是多少?(2)最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90?解:(1)以表示第个数相加时产生的误差,则则表示1500个加数相加时产生的误差总和.据独立同分布的中心极限定理有:(2)设最多有个数相加满足条件, 据独立同分布的中心极限定理有:,即由此求得.4.设各零件的重量是随机变量,它们相互独立,且服从相同的分布,其数学期望为0.5kg,均方差为0.1kg,问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少?解:以表示第个零件的重量,则记则表示这5000个零件的重量之和,据独立统分布的中心极限定理有:5.有一批建筑房屋用的木柱,其中80%的长度不小于3米,现从这批木柱中随机取出100根,问其中至少有30根短于3米的概率是多少?解:以表示100根木柱中长度小于3米的根树,则是一个随机变量,由题意:,据棣莫弗-拉普拉斯定理:6.各以的概率取值和,当为何值时,大数定理可用于独立随机变量序列的算术平均值?解:若,则,由契贝晓夫大数定理,此时服从大数定律.7.求证:当时,不等式证明:(1) (2) 即由(1)(2)知结论成立.8.用棣莫弗-拉普拉斯定理证明,在贝努力试验中,若则不管是多大,总有:证明:由棣莫弗-拉普拉斯定理:思考题:1.已知随机变量序列的方差有界,即
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