流形上的散度公式和式极限证明和数值模型[附件4 Maple.doc

附件4 可选流形上的散度公式和式极限证明和数值模型Maple程序样本杨科由于高数据量、高运算量、高处理量,引言、证明、数值模型部分的计算、作图采用Maple 11计算机代数系统格式: 以符号为首者为手动输入指令; 以符号#为首者为注释;以符号/为首者为分析说明(红色痕迹);其余为计算机代数系统返回的分析、计算、作图结果(蓝色痕迹), 与通用物理/数学表达式接近21目录引言 证明的前提条件-单连通可定向闭合曲面坐标系的建立(参见 流形上的散度公式证明 引言2)1.1 流形上的散度公式和式极限证明 . 21.2 环面坐标系散度公式和式极限证明. 182.流形上的散度公式和式极限数值模型 .313.环面坐标系散度公式和式极限数值模型.47参考书籍. 601.1流形上的散度公式和式极限证明:散度公式 设空间闭区域是由光滑或分片光滑的闭曲面S围成,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 构成向量场A 及其偏导数在空间闭区域上连续,则 (1)其中曲面S为空间闭区域的整个边界曲面外侧,n为曲面S的单位外法向量, divA为向量场A的散度 / 强调曲面的可定向性证明:符号表达系统: 向量场V,向量场V的散度diV1,diV2,任意单连通、可定向闭合曲面CS,曲面CS的切平面法向量A,B,C,曲面CS所圈围的空间闭区域,空间闭区域微元系数的一般表达式J;曲面CS的参数分割单元数量dus(可取任意值),参数u的分割区间du, 参数v的分割区间dv; 切平面法向量A,B,C在曲面CS的第一分割单元的平均值dA,dB,dC,空间向量场V在曲面CS的第一分割单元的平均值dV;切平面法向量A,B,C在曲面CS的所有分割单元的平均值stdA,stdB,stdC集合(在实际表达式中,s,t代表自然数),空间向量场V在曲面CS的所有分割单元的平均值dV;空间闭区域的参数分割单元数量dus(可取任意值),参数r的分割区间dr,参数u的分割区间du, 参数v的分割区间dv;体积微元系数J在空间闭区域的第一分割单元的对应值dJ,散度diV2在空间闭区域的第一分割单元的对应值ddiV2;体积微元系数J在空间闭区域的所有分割单元的对应值ijkdJ集合,散度diV2在空间闭区域的所有分割单元的对应值ijkddiV2集合(在实际表达式中,i,j,k代表自然数) restart; with(linalg):# 定义任意单连通、可定向闭合曲面CS的参数表达式:/不是”任意曲面CS”的参数表达式,而是”任意单连通、可定向闭合曲面CS”的参数表达式/详见”流形上的散度公式证明 引言2”说明 CS:=a*sin(u)*cos(v),b*sin(u)*sin(v),c*cos(u); (2)/ 在严格意义上, 参数表达式a sin(u)cos(v),b sin(u)sin(v),c cos(u) 是任意单连通、可定向闭合曲面CS在”直角坐标系” 和 ”任意单连通、可定向闭合曲面CS坐标系”之间的转换式# 其中a,b,c为非零常数或一阶可导连续函数表达式, 单连通、可定向闭合曲面CS决定a,b,c的取值/待定系数a,b,c均不是由任意的正弦与余弦函数构成,a,b,c的取值必须服从于参数曲面CS的”单连通、可定向闭合”的拓扑学属性;详见”流形上的散度公式证明 引言2”说明 rgu:=0,Pi; rgv:=0,2*Pi;# 设定参数u,v的变化区间0,Pi,0,2*Pi,使曲面CS闭合 (参见Poincare猜想:任何与n维球面同伦的n维闭合流形必定同胚于n维球面19,以及“流形上的散度公式证明 引言2 - 单连通可定向闭合曲面坐标系的建立”)/在散度公式涉及的三维欧氏空间, Poincare猜想对应的判断为 任何单连通、可定向2维闭合流形必定同胚于2维球面 V:=(P)(x,y,z),(Q)(x,y,z),(R)(x,y,z); (3)# 定义任意空间向量场V(设定该向量场在包含曲面CS的空间区域具有一阶连续偏导数)/ 相对于由具体的千变万化的三元函数构成的具体空间向量场, 抽象空间向量场P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) 是一种均衡、对称的抽象数据结构; 在流形上的散度公式证明中,客观上需要一种均衡、对称的抽象可定向闭合曲面表达式与上述抽象空间向量场匹配; Poincare猜想为抽象单连通可定向闭合曲面表达式(即a*sin(u)*cos(v),b*sin(u)*sin(v),c*cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi)的实现提供了理论依据 Diff(V1,x)+Diff(V2,y)+Diff(V3,z)=diff(V1,x)+diff(V2,y)+diff(V3,z);diV1:=rhs(%); (4)# 对任意空间向量场V求导(即计算其散度),其结果为三元函数diV1 x:=CS1:y:=CS2:z:=CS3: matrix(3,3,i,j,k,Diff(CS1,u),Diff(CS2,u),Diff(CS3,u),Diff(CS1,v),Diff(CS2,v),Diff(CS3,v)=matrix(3,3,i,j,k,diff(CS1,u),diff(CS2,u),diff(CS3,u),diff(CS1,v),diff(CS2,v),diff(CS3,v);m1:=rhs(%);# 定义偏导数矩阵m1,获取闭合参数曲面CS的切平面法向量 det(m1); # 矩阵求值 mn:=simplify(%); # 表达式化简 A:=coeff(mn,i); # 提取i项系数 B:=coeff(mn,j); # 提取j项系数 C:=coeff(mn,k); # 提取k项系数; A,B,C构成切平面法向量 (5)/ 分割参数u,v的取值区间0,Pi,0,2*Pi: dus:=50; # 设定曲面CS的参数分割单元数量,可取任意值 du:=(rgu2-rgu1)/dus; # 分割参数u的取值区间 dv:=(rgv2-rgv1)/dus; # 分割参数v的取值区间/ 曲面CS的第一分割单元的微观曲面积分过程:/ 分割切平面法向量 dA:=subs(v=rgv1+dv,subs(u=rgu1+du,A); dB:=subs(v=rgv1+dv,subs(u=rgu1+du,B); dC:=subs(v=rgv1+dv,subs(u=rgu1+du,C);# dA,dB,dC为积分曲面CS的第一分割单元对应的切平面法向量的平均值 x:=x:y:=y:z:=z:/ 变量代换,防止将x=a*sin(u)*cos(v),y=b*sin(u)*sin(v),z=c*cos(u)代入抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)/ 分割空间向量场V：(此步骤在”公式证明”中只具有形式意义,而在”数值模型”中具有实质意义) dV:=subs(v=rgv1+dv,subs(u=rgu1+du,V);# 积分曲面CS的第一分割单元对应的空间向量场V的平均值/ 计算曲面CS的第一分割单元的微观曲面积分值: (dV1*dA+dV2*dB+dV3*dC)*du*dv;# 根据积分中值定理, 空间向量场V与 dA,dB,dC的空间点积在第一分割单元的积分值/ 曲面CS的所有分割单元的微观曲面积分过程:/ 分割切平面法向量 stdA:=subs(v=rgv1+t*dv,subs(u=rgu1+s*du,A); stdB:=subs(v=rgv1+t*dv,subs(u=rgu1+s*du,B); stdC:=subs(v=rgv1+t*dv,subs(u=rgu1+s*du,C);# stdA,stdB,stdC为切平面法向量在积分曲面CS的所有分割单元的对应值表达式/ 在实际表达式中,s,t代表自然数/ stdA,stdB,stdC不再是单一向量值,而是有限个向量值的集合/ 分割空间向量场V(此步骤在”公式证明”中只具有形式意义,而在”数值模型”中具有实质意义) stdV:=subs(v=rgv1+t*dv,subs(u=rgu1+s*du,V);# 空间向量场V在积分曲面CS的所有分割单元的对应值表达式/ 计算曲面CS的所有分割单元的微观曲面积分值 (stdV1*stdA+stdV2*stdB+stdV3*stdC)*du*dv;# 根据积分中值定理,空间向量场 V 与切平面法向量stdA,stdB,stdC的空间点积在所有分割单元的积分值表达式/ 积分值不再是单一数值,而是有限个数值的集合/ 有限个微观曲面积分值的列表: seq(seq(s*t,(stdV1*stdA+stdV2*stdB+stdV3*stdC)*du*dv,evalf(stdV1*stdA+stdV2*stdB+stdV3*stdC)*du*dv),s=1.dus),t=1.dus):# 空间向量场V与切平面法向量的空间点积在所有分割单元的积分值列表,省略/ 构建有限个微观曲面积分值组成的数列: sqn:=seq(seq(stdV1*stdA+stdV2*stdB+stdV3*stdC)*du*dv,s=1.dus),t=1.dus):/ 数列的累加,获得流形上曲面积分值: add(k,k=sqn):xi:=evalf(%); (6)# 空间向量场V与切平面法向量的空间点积在曲面CS的所有分割单元的积分值求和;该值随参数分割区间数量dus的无限增大,无限趋近于零/ 重新分割参数u,v的取值区间0,Pi,0,2*Pi: dus:=n; # 设定曲面CS的参数分割单元数量为自然数n du:=(rgu2-rgu1)/dus; # 分割自变量u的取值区间 dv:=(rgv2-rgv1)/dus; # 分割自变量v的取值区间/ 曲面CS的第一分割单元的微观曲面积分过程:/ 分割切平面法向量 dA:=subs(v=rgv1+dv,subs(u=rgu1+du,A); dB:=subs(v=rgv1+dv,subs(u=rgu1+du,B); dC:=subs(v=rgv1+dv,subs(u=rgu1+du,C);# dA,dB,dC为积分曲面CS的第一分割单元对应的切平面法向量平均值/ 分割空间向量场V(此步骤在”公式证明”中只具有形式意义,而在”数值模型”中具有实质意义) dV:=subs(v=rgv1+dv,subs(u=rgu1+du,V);# 积分曲面CS的第一分割单元对应的空间向量场V平均值/ 计算曲面CS的第一分割单元的微观曲面积分值: (dV1*dA+dV2*dB+dV3*dC)*du*dv;# 根据积分中值定理, 空间向量场V与切平面法向量dA,dB,dC的空间点积在第一分割单元的积分值/ 曲面CS的所有分割单元的微观曲面积分过程:/ 分割切平面法向量 stdA:=subs(v=rgv1+t*dv,subs(u=rgu1+s*du,A); stdB:=subs(v=rgv1+t*dv,subs(u=rgu1+s*du,B); stdC:=subs(v=rgv1+t*dv,subs(u=rgu1+s*du,C);# stdA,stdB,stdC为切平面法向量在积分曲面CS的所有分割单元的对应值表达式/ 在实际表达式中,s,t代表自然数/ stdA,stdB,stdC不再是单一向量值,而是有限个向量值的集合/ 分割空间向量场V(此步骤在”公式证明”中只具有形式意义,而在”数值模型”中具有实质意义) stdV:=subs(v=rgv1+t*dv,subs(u=rgu1+s*du,V);# 空间向量场V在积分曲面CS的所有分割单元的对应值表达式/ 计算曲面CS的所有分割单元的微观曲面积分值: (stdV1*stdA+stdV2*stdB+stdV3*stdC)*du*dv;# 根据积分中值定理, 空间向量场V与切平面法向量的空间点积在所有分割单元的积分值表达式/ 积分值不再是单一数值,而是有限个(数量不确定)数值的集合/ 构造有限和式: Sum(Sum(stdV1*stdA+stdV2*stdB+stdV3*stdC)*du*dv,s=1.dus),t=1.dus);# 在参数分割单元数量n不确定的情况下,空间向量场V与切平面法向量的空间点积在所有分割单元的积分值求和 vs:=value(%): Limit(vs,n=infinity); (7)/ 有限和式的无限化,其极限运算值即为流形上的曲面积分值# 在参数分割单元数量n趋于无穷的情况下, 空间向量场V与切平面法向量的空间点积在所有分割单元的积分值求和表达式的极限值 delta:=value(%);/ “积分值为零”具有明确的数学、物理意义:在数学意义上,积分值为零是逻辑推导的必然结果,反映了积分诸元素之间的逻辑均衡状态;在物理意义上,积分值为零意味着“抽象向量场”在“抽象单连通、可定向闭合曲面”上的通量恒为静止、待定的零; 如果积分值为某一正数、负数或者某一表达式,则意味着“抽象向量场”在“抽象单连通、可定向闭合曲面”上始终存在流出/流入量或者某一未知的值,这将是不可解释的现象 x:=x:y:=y:z:=z: x:=r*CS1:y:=r*CS2:z:=r*CS3: (8)#通乘以向径r(设定r0),将x,y,z轴方向上的曲面坐标参数转化为空间闭区域坐标参数 matrix(3,3,Diff(r*CS1,r),Diff(r*CS1,u),Diff(r*CS1,v),Diff(r*CS2,r),Diff(r*CS2,u),Diff(r*CS2,v),Diff(r*CS3,r),Diff(r*CS3,u),Diff(r*CS3,v)=matrix(3,3,diff(r*CS1,r),diff(r*CS1,u),diff(r*CS1,v),diff(r*CS2,r),diff(r*CS2,u),diff(r*CS2,v),diff(r*CS3,r),diff(r*CS3,u),diff(r*CS3,v);m2:=rhs(%);# 定义矩阵m2,获取任意空间闭区域体积微元系数的一般表达式/在严格意义上,空间闭区域微元系数是” 空间闭区域坐标微元”和”直角坐标微元”之间的比值 det(m2); # 矩阵求值 J:=simplify(%); # 表达式化简,获得任意空间闭区域微元系数的一般表达式 (9) x:=x:y:=y:z:=z:/ 变量代换,防止将x = r*a*sin(u)*cos(v),y = r*b*sin(u)*sin(v),z = r*c*cos(u)代入抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) Diff(V1,x)*Diff(r*CS1,r)*Diff(r*CS1,u)*Diff(r*CS1,v)+Diff(V2,y)*Diff(r*CS2,r)*Diff(r*CS2,u)*Diff(r*CS2,v)+Diff(V3,z)*Diff(r*CS3,r)*Diff(r*CS3,u)*Diff(r*CS3,v);diV2:=value(%); # 将diV1从直角坐标形式转变为空间闭区域坐标形式 (10)/ 是”链式求导”还是”坐标转换”? / 如果是”链式求导”,根据”同链相乘,分链相加”的原则应为: / 不论是”链式求导”还是求”散度”或者”旋度”, 解决的是抽象向量场 P(x,y,z),Q(x,y,z), R(x,y,z)”如何求导”、”求导方式” 的问题;而这里是要将抽象向量场P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) 散度求导的结果从一个坐标转化到另一个坐标的问题; 两个”问题”的性质和层次都是不同的,这里是”相乘”而不是”相加”, 这是由坐标的空间属性决定的/ 分割参数r,u,v的取值区间0,1,0,Pi,0,2*Pi: dus:=20; # 设定曲面CS圈围的空间闭区域的参数分割单元数量,可取任意值 rgr:=0,1;/ 这里向径r的取值区间始终为0,1,而不是0,n或0,; 因为”1”的存在,才能使a,b,c,r,u,v保持正确的比例关系 dr:=(rgr2-rgr1)/dus; # 分割自变量r的取值区间 du:=(rgu2-rgu1)/dus; # 分割自变量u的取值区间 dv:=(rgv2-rgv1)/dus; # 分割自变量v的取值区间/ 空间闭区域的第一分割单元的微观三重积分过程:/ 分割体积微元系数J: dJ:=subs(r=rgr1+dr,subs(v=rgv1+dv,subs(u=rgu1+du,J);# 体积微元系数J在空间闭区域的第一分割单元的对应值/ 分割抽象散度函数diV2: ddiV2:=subs(r=rgr1+dr,subs(v=rgv1+dv,subs(u=rgu1+du,diV2); # 散度diV2在空间闭区域的第一分割单元的对应值/ 计算空间闭区域的第一分割单元的微观三重积分值: ddiV2*dJ*dr*du*dv;# 根据积分中值定理,散度diV2与体积微元的乘积在第一分割单元的积分值/ 空间闭区域的所有分割单元的微观三重积分过程:/ 分割体积微元系数J: ijkdJ:=subs(r=rgr1+k*dr,subs(v=rgv1+j*dv,subs(u=rgu1+i*du,J); # 体积微元系数J在空间闭区域的所有分割单元的表达式/ 分割抽象散度函数diV2: ijkddiV2:=subs(r=rgr1+k*dr,subs(v=rgv1+j*dv,subs(u=rgu1+i*du,diV2); # 散度diV2在空间闭区域的所有分割单元的表达式/ 计算空间闭区域的所有分割单元的微观三重积分值: ijkddiV2*ijkdJ*dr*du*dv;# 根据积分中值定理,散度diV2与体积微元的乘积在所有分割单元的积分值表达式/ 有限个微观三重积分值的列表: seq(seq(seq(i*j*k,ijkddiV2*ijkdJ*dr*du*dv,evalf(ijkddiV2*ijkdJ*dr*du*dv),i=1.dus),j=1.dus),k=1.dus):# 散度diV2与体积微元的乘积在所有分割单元的积分值列表,省略/ 构建有限个微观三重积分值组成的数列: sqn:=seq(seq(seq(ijkddiV2*ijkdJ*dr*du*dv,i=1.dus),j=1.dus),k=1.dus):/ 数列的累加,获得整个空间闭区域的三重积分值: add(k,k=sqn):omega:=evalf(%): (11)# 散度diV2与体积微元的乘积在所有分割单元上的积分值求和;由于解析和数值表达式均过长,省略;该值随空间闭区域的参数分割区间数量dus的无限增大,无限趋近于零/ 重新分割参数r,u,v的取值区间0,1,0,Pi,0,2*Pi: dus:=n; # 设定曲面CS圈围的空间闭区域的参数分割单元数量为自然数n dr:=(rgr2-rgr1)/dus; # 分割自变量r的取值区间 du:=(rgu2-rgu1)/dus; # 分割自变量u的取值区间 dv:=(rgv2-rgv1)/dus; # 分割自变量v的取值区间/ 空间闭区域的第一分割单元的微观三重积分过程:/ 分割体积微元系数J: dJ:=subs(r=rgr1+dr,subs(v=rgv1+dv,subs(u=rgu1+du,J);# 体积微元系数J在空间闭区域的第一分割单元的对应值/ 分割抽象散度函数diV2: ddiV2:=subs(r=rgr1+dr,subs(v=rgv1+dv,subs(u=rgu1+du,diV2); # 散度diV2在空间闭区域的第一分割单元的对应值/ 计算空间闭区域的第一分割单元的微观三重积分值: ddiV2*dJ*dr*du*dv;# 根据积分中值定理,散度diV2与体积微元的乘积在第一分割单元的积分值/ 空间闭区域的所有分割单元的微观三重积分过程:/ 分割体积微元系数J: ijkdJ:=subs(r=rgr1+k*dr,subs(v=rgv1+j*dv,subs(u=rgu1+i*du,J); # 体积微元系数J在空间闭区域的所有分割单元的表达式/ 分割抽象散度函数diV2: ijkddiV2:=subs(r=rgr1+k*dr,subs(v=rgv1+j*dv,subs(u=rgu1+i*du,diV2);# 散度diV2在空间闭区域的所有分割单元的表达式/ 计算空间闭区域的所有分割单元的微观三重积分值: ijkddiV2*ijkdJ*dr*du*dv;# 根据积分中值定理,散度diV2与体积微元的乘积在所有分割单元的积分值表达式/ 构造有限和式: Sum(Sum(Sum(ijkddiV2*ijkdJ*dr*du*dv,i=1.dus),j=1.dus),k=1.dus); # 在参数分割单元数量n不确定的情况下, 散度diV2与体积微元的乘积在所有分割单元的积分值求和 vs:=value(%); Limit(vs,n=infinity); (12)/ 有限和式的无限化,其极限运算值即为整个空间闭区域的三重积分值# 在参数分割单元数量n的情况下, 散度diV2与体积微元的乘积在所有分割单元的积分值求和表达式的极限值 epsilon:=value(%);其中,即设定体积微元本身在所有分割单元的积分值之和不能为零,也可以理解为设定空间积分区域不能为零体积即在n 情况下,(7)=(12):=亦可表述为 (1), 证毕1.2 环面散度公式和式极限证明:散度公式 设空间闭区域是由光滑或分片光滑的闭曲面S围成,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 构成向量场A 及其偏导数在空间闭区域上连续,则 (1)其中曲面S为空间闭区域的整个边界曲面外侧,n为曲面S的单位外法向量,divA为向量场A的散度证明:符号表达系统: 向量场V,向量场V的散度diV1,diV2,环面CS, 环面CS的切平面法向量A,B,C,环面CS所圈围的空间闭区域,空间闭区域微元系数的一般表达式J;环面CS的参数分割单元数量dus(可取任意值),参数u的分割区间du, 参数v的分割区间dv; 切平面法向量A,B,C在环面CS的第一分割单元的平均值dA,dB,dC,空间向量场V在环面CS的第一分割单元的平均值dV;切平面法向量A,B,C在环面CS的所有分割单元的平均值stdA,stdB,stdC集合(在实际表达式中,s,t代表自然数),空间向量场V在环面CS的所有分割单元的平均值dV;空间闭区域的参数分割单元数量dus(可取任意值),参数r的分割区间dr,参数u的分割区间du, 参数v的分割区间dv;体积微元系数J在空间闭区域的第一分割单元的对应值dJ,散度diV2在空间闭区域的第一分割单元的对应值ddiV2;体积微元系数J在空间闭区域的所有分割单元的对应值ijkdJ集合,散度diV2在空间闭区域的所有分割单元的对应值ijkddiV2集合(在实际表达式中,i,j,k代表自然数) restart; with(plots):with(linalg): CS:=(2+cos(u)*cos(v),(2+cos(u)*sin(v),sin(u); (2)# 定义环面CS的参数表达式 rgu:=0,2*Pi; rgv:=0,2*Pi; # 设定参数u,v的变化区间0,2*Pi,0,2*Pi,使环面CS闭合 plot3d(CS,u=rgu1.rgu2,v=rgv1.rgv2,scaling=constrained,projection=0.9,numpoints=3000); # 环面作图 图1 参数环面 V:=(P)(x,y,z),(Q)(x,y,z),(R)(x,y,z); (3)# 定义任意空间向量场V (设定该向量场在包含环面 CS的空间闭区域 具有一阶连续偏导数) Diff(V1,x)+Diff(V2,y)+Diff(V3,z)=diff(V1,x)+diff(V2,y)+diff(V3,z);diV1:=rhs(%); (4)# 对任意空间向量场V求导(即计算其散度),其结果为三元函数diV1 x:=CS1:y:=CS2:z:=CS3: matrix(3,3,i,j,k,Diff(CS1,u),Diff(CS2,u),Diff(CS3,u),Diff(CS1,v),Diff(CS2,v),Diff(CS3,v)=matrix(3,3,i,j,k,diff(CS1,u),diff(CS2,u),diff(CS3,u),diff(CS1,v),diff(CS2,v),diff(CS3,v);m1:=rhs(%);# 定义偏导数矩阵m1,获取参数环面CS的切平面法向量 det(m1); # 矩阵求值 mn:=simplify(%); # 表达式化简 A:=coeff(mn,i); # 提取i项系数 B:=coeff(mn,j); # 提取j项系数 C:=coeff(mn,k); # 提取k项系数; A,B,C构成切平面法向量 (5) dus:=50; # 设定环面CS的参数分割单元数量,可取任意值 du:=(rgu2-rgu1)/dus; # 分割参数u的取值区间 dv:=(rgv2-rgv1)/dus; # 分割参数v的取值区间 dA:=subs(v=rgv1+dv,subs(u=rgu1+du,A); dB:=subs(v=rgv1+dv,subs(u=rgu1+du,B); dC:=subs(v=rgv1+dv,subs(u=rgu1+du,C);# dA,dB,dC为积分环面CS的第一分割单元对应的切平面法向量的平均值 x:=x:y:=y:z:=z: dV:=subs(v=rgv1+dv,subs(u=rgu1+du,V);# 积分环面CS的第一分割单元对应的空间向量场V的平均值 (dV1*dA+dV2*dB+dV3*dC)*du*dv;# 根据积分中值定理, 空间向量场V与切平面法向量dA,dB,dC的空间点积在第一分割单元的积分值 stdA:=subs(v=rgv1+t*dv,subs(u=rgu1+s*du,A); stdB:=subs(v=rgv1+t*dv,subs(u=rgu1+s*du,B); stdC:=subs(v=rgv1+t*dv,subs(u=rgu1+s*du,C);# stdA,stdB,stdC为切平面法向量在积分环面CS的所有分割单元的对应值表达式 stdV:=subs(v=rgv1+t*dv,subs(u=rgu1+s*du,V);# 空间向量场V在积分环面CS的所有分割单元的对应值表达式 (stdV1*stdA+stdV2*stdB+stdV3*stdC)*du*dv;# 根据积分中值定理, 空间向量场V与切平面法向量stdA,stdB,stdC的空间点积在所有分割单元的积分值表达式 seq(seq(s*t,(stdV1*stdA+stdV2*stdB+stdV3*stdC)*du*dv,evalf(stdV1*stdA+stdV2*stdB+stdV3*stdC)*du*dv),s=1.dus),t=1.dus):# 空间向量场V与切平面法向量的空间点积在所有分割单元的积分值列表,省略 sqn:=seq(seq(stdV1*stdA+stdV2*stdB+stdV3*stdC)*du*dv,s=1.dus),t=1.dus): add(k,k=sqn):xi:=evalf(%); (6)# 空间向量场V与切平面法向量的空间点积在球面CS的所有分割单元的积分值求和;该值随参数分割区间数量dus的无限增大,无限趋近于零 dus:=n; # 设定环面CS的参数分割单元数量为自然数n du:=(rgu2-rgu1)/dus; # 分割自变量u的取值区间 dv:=(rgv2-rgv1)/dus; # 分割自变量v的取值区间 dA:=subs(v=rgv1+dv,subs(u=rgu1+du,A); dB:=subs(v=rgv1+dv,subs(u=rgu1+du,B); dC:=subs(v=rgv1+dv,subs(u=rgu1+du,C);# dA,dB,dC为积分环面CS的第一分割单元对应的切平面法向量平均值 dV:=subs(v=rgv1+dv,subs(u=rgu1+du,V);# 积分球面CS的第一分割单元对应的空间向量场V平均值 (dV1*dA+dV2*dB+dV3*dC)*du*dv;# 根据积分中值定理, 空间向量场V与切平面法向量dA,dB,dC的空间点积在第一分割单元的积分值 stdA:=subs(v=rgv1+t*dv,subs(u=rgu1+s*du,A); stdB:=subs(v=rgv1+t*dv,subs(u=rgu1+s*du,B); stdC:=subs(v=rgv1+t*dv,subs(u=rgu1+s*du,C);# stdA,stdB,stdC为切平面法向量在积分环面CS的所有分割单元的对应值表达式 stdV:=subs(v=rgv1+t*dv,subs(u=rgu1+s*du,V);# 空间向量场V在积分环面CS的所有分割单元的对应值表达式 (stdV1*stdA+stdV2*stdB+stdV3*stdC)*du*dv;# 根据积分中值定理, 空间向量场V与切平面法向量的空间点积在所有分割单元的积分值表达式 Sum(Sum(stdV1*stdA+stdV2*stdB+stdV3*stdC)*du*dv,s=1.dus),t=1.dus);# 在参数分割单元数量n不确定的情况下,空间向量场V与切平面法向量的空间点积在所有分割单元的积分值求和 vs:=value(%): Limit(vs,n=infinity); (7)# 在参数分割单元数量n趋于无穷的情况下, 空间向量场V与切平面法向量的空间点积在所有分割单元的积分值求和表达式的极限值 delta:=value(%); x:=x:y:=y:z:=z: x:=r*CS1:y:=r*CS2:z:=r*CS3: (8)#通乘以向径r(设定r0),将x,y,z轴方向上的环面坐标参数转化为空间闭区域坐标参数 matrix(3,3,Diff(r*CS1,r),Diff(r*CS1,u),Diff(r*CS1,v),Diff(r*CS2,r),Diff(r*CS2,u),Diff(r*CS2,v),Diff(r*CS3,r),Diff(r*CS3,u),Diff(r*CS3,v)=matrix(3,3,diff(r*CS1,r),diff(r*CS1,u),diff(r*CS1,v),diff(r*CS2,r),diff(r*CS2,u),diff(r*CS2,v),diff(r*CS3,r),diff(r*CS3,u),diff(r*CS3,v);m2:=rhs(%);# 定义矩阵m2,获取环面空间闭区域体积微元系数的一般表达式 det(m2); # 矩阵求值 J:=simplify(%); # 表达式化简,获得环面空间闭区域微元系数的一般表达式 (9) x:=x:y:=y:z:=z: Diff(V1,x)*Diff(r*CS1,r)*Diff(r*CS1,u)*Diff(r*CS1,v)+Diff(V2,y)*Diff(r*CS2,r)*Diff(r*CS2,u)*Diff(r*CS2,v)+Diff(V3,z)*Diff(r*CS3,r)*Diff(r*CS3,u)*Diff(r*CS3,v);diV2:=value(%); # 将diV1从直角坐标形式转变为空间闭区域坐标形式 (10) dus:=20; # 设定环面CS圈围的空间闭区域的参数分割单元数量,可取任意值 rgr:=0,1; dr:=(rgr2-rgr1)/dus; # 分割自变量r的取值区间 du:=(rgu2-rgu1)/dus; # 分割自变量u的取值区间 dv:=(rgv2-rgv1)/dus; # 分割自变量v的取值区间 dJ:=subs(r=rgr1+dr,subs(v=rgv1+dv,subs(u=rgu1+du,J);# 体积微元系数J在空间闭区域的第一分割单元的对应值 ddiV2:=subs(r=rgr1+dr,subs(v=rgv1+dv,subs(u=rgu1+du,diV2); # 散度diV2在空间闭区域的第一分割单元的对应值 ddiV2*dJ*dr*du*dv;# 根据积分中值定理,散度diV2与体积微元的乘积在第一分割单元的积分值 ijkdJ:=subs(r=rgr1+k*dr,subs(v=rgv1+j*dv,subs(u=rgu1+i*du,J); # 体积微元系数J在空间闭区域的所有分割单元的表达式 ijkddiV2:=subs(r=rgr1+k*dr,subs(v=rgv1+j*dv,subs(u=rgu1+i*du,diV2); # 散度diV2在空间闭区域的所有分割单元的表达式 ijkddiV2*ijkdJ*dr*du*dv;# 根据积分中值定理,散度diV2与体积微元的乘积在所有分割单元的积分值表达式 seq(seq(seq(i*j*k,ijkddiV2*ijkdJ*dr*du*dv,evalf(ijkddiV2*ijkdJ*dr*du*dv),i=1.dus),j=1.dus),k=1.dus):# 散度diV2与体积微元的乘积在所有分割单元的积分值列表,省略 sqn:=seq(seq(seq(ijkddiV2*ijkdJ*dr*du*dv,i=1.dus),j=1.dus),k=1.dus): add(k,k=sqn):omega:=evalf(%): (11)# 散度diV2与体积微元的乘积在所有分割单元的积分值求和; 由于解析和数值表达式均过长,省略;该值随空间闭区域的参数分割区间数量dus的无限增大,无限趋近于零 dus:=n; # 设定环面CS圈围的空间闭区域的参数分割单元数量为自然数n dr:=(rgr2-rgr1)/dus; # 分割自变量r的取值区间 du:=(rgu2-rgu1)/dus; # 分割自变量u的取值区间 dv:=(rgv2-rgv1)/dus; # 分割自变量v的取值区间 dJ:=subs(r=rgr1+dr,subs(v=rgv1+dv,subs(u=rgu1+du,J);# 体积微元系数J在空间闭区域的第一分割单元的对应值 ddiV2:=subs(r=rgr1+dr,subs(v=rgv1+dv,subs(u=rgu1+du,diV2); # 散度diV2在空间闭区域的第一分割单元的对应值 ddiV2*dJ*dr*du*dv;# 根据积分中值定理,散度diV2与体积微元的乘积在第一分割单元的积分值 ijkdJ:=subs(r=rgr1+k*dr,subs(v=rgv1+j*dv,subs(u=rgu1+i*du,J); # 体积微元系数J在空间闭区域的所有分割单元的表达式 ijkddiV2:=subs(r=rgr1+k*dr,subs(v=rgv1+j*dv,subs(u=rgu1+i*du,diV2); # 散度diV2在空间闭区域的所有分割单元的表达式 ijkddiV2*ijkdJ*dr*du*dv;# 根据积分中值定理,散度diV2与体积微元的乘积在所有分割单元的积分值表达式 Sum(Sum(Sum(ijkddiV2*ijkdJ*dr*du*dv,i=1.dus),j=1.dus),k=1.dus); # 在参数分割单元数量n不确定的情况下, 散度diV2与体积微元的乘积在所有分割单元的积分值求和 vs:=value(%); Limit(vs,n=infinity); (12)# 在参数分割单元数量n的情况下, 散度diV2与体积微元的乘积在所有分割单元的积分值求和表达式的极限值 epsilon:=value(%);即在n 情况下,(7)=(12): =亦可表述为 (1), 证毕2.流形上的散度公式和式极限数值模型: restart; with(plots):with(linalg): CS:=sin(u)*(1-cos(v),sin(u)*sin(v)+2*u,u*(1-cos(u); (2)# 定义任意单连通、可定向闭合参数曲面CS rgu:=0,Pi; rgv:=0,2*Pi; # 设定参数u,v的变化范围,使参数曲面CS闭合 plot3d(CS,u=rgu1.rgu2,v=rgv1.rgv2,scaling=constrained,projection=0.9,