重积分期末复习题高等数学下册上海电机学院.docVIP

第九章 重积分一、选择题1.I=球面内部， 则I= C A. 的体积 B. C. D. 2. 是x=0, y=0, z=0, x+2y+z=1所围闭区域， 则 B A. B. C. D. 3. 设区域由直线和所围闭区域，是位于第一象限的部分，则B （A） （B） （C）（D）4. :， 则 C A. 1 B. C. 0 D. 5，其中，则 D A. B. C. D. -6设，D为全平面，则 CA. B. C. D.7积分可写为 D A. B. B. D. 8.交换二次积分的积分顺序为（ A）.(A) (B) (C) (D) 9.设平面区域由围成，若 则的大小顺序为（ C）.(A) (B) (C) (D) 10的值 （ B）.(A) 大于零 (B) 小于零 (C) 0 (D) 不能确定11设积分区域由围成，则（ C）.(A) (B) (C) 0 (D) A, B, C都不对12的值 （ B）.(A) 大于零 (B) 小于零 (C) 0 (D) 不能确定13.把二次积分化为极坐标形式的二次积分（B ）.(A) (B) (C) (D) 14. 设积分区域D是由直线y=x,y=0,x=1围成，则有（ A ）（A） （B） （C） （D）15. 设D由围成，则（ B ）（A） （B） （C）1 （D）16根据二重积分的几何意义，下列不等式中正确的是( B )；(A) ：，；(B) ：，；(C) ：；(D) ：+17( C )，其中：；(A) ； (B) ；(C) ； (D) 18. 二重积分（ C ）（A）1 （B） （C） （D）219. 的值等于（ A ） A. ； B. ； C. ； D. 20. 二重积分（ C ）（A）1 （B） （C） （D）221. 设D是区域，则a=（ B ）（A）1 （B）2 （C）4 （D）822. 若D是平面区域，则二重积分（ B ）（A） （B） （C） （D）123. 设D由围成，则（ B ）（A） （B） （C）1 （D）二、填空题1变换积分次序 2比较大小：其中D是以为顶点的三角形 0）解：采用柱坐标16.计算，其中D由y=x，x=0，y=1所围成的平面区域。解： 17. 求，其中D为直线,所围成的区域。=（2分）=（2分）=18设D是由所围在第一象限内的部分，求二重积分解 =19、求，其中D为：。解： (3分)=曲面积分与曲线积分选择 1设是从O（0，0）到点M（1，1）的直线段，则与曲线积分I=不相等的积分是：（ ） A) B) C) D) 2设L是从点O(0,0)沿折线y=1-|x-1| 至点A(2,0) 的折线段，则曲线积分I=等于（ ） A)0 B)-1 C)2 D)-2 3设L为下半圆周，将曲线积分I= 化为定积分的正确结果是：（ ） A) B) C) D) 4设L是以A(-1,0) ,B(-3,2) ,C(3,0) 为顶点的三角形域的周界沿ABCA方向， 则等于：（ ） A) -8 B) 0 C) 8 D) 205设AEB是由点A(-1,0) 沿上半圆 经点E(0,1)到点B(1,0)，则曲线积分I=等于：（ ） A) 0 B) C) D) 一、 填空 1是光滑闭曲面的外法向量的方向余弦，又所围的空间闭区域为；设函数P(x,y,z),Q(x,y,z)和R(x,y,z)在上具有二阶连续偏导数，则由高斯公式，有 = 。 2设L是xoy 平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，且，则L 所围成的平面闭区域D的面积等于 。 3设函数P(x,y,z,)在空间有界闭区域上有连续的一阶偏导数，又是的光滑边界面的外侧，则由高斯公式，有 。 4设是球面的外侧，则积分 。 5设L是xoy 面上的圆周的顺时针方向，则I1=与I2= 的大小关系是 。 6设力的模, 的方向与相同，则在力的作用下，质点沿曲线L: 正向绕行一周，力所做的功可用曲线积分表示为: 。二、 计算1 计算曲线积分，其中L为连结O(0,0),A(1,0),B(0,1) 的闭曲线OABO.2 计算，其中L由直线段AB与BC 组成，路径方向从点A(2,-1) 经点B(2,2)到点C(0,2).3 求 I=, 其中为由点A(a,0)到点O(0,0) 上半圆周.4 验证：当 时，是某二元函数U(x,y) 的全微分，并求U(x,y).5 计算，是球面在第一卦限部分的上侧。6 设在xoy 面内有一分布着质量的曲线弧L，在点(x,y)处它的线密度为(x,y)，用对弧长的曲线积分分别表达：（1）这曲线弧对x轴、对y轴的转动惯量Ix,Iy； （2）这曲线弧的重心坐标。1 计算下列对弧长的曲线积分：（1），其中L为圆周x=acost ,y=asint ；（2），其中 L为圆周，直线y=x 及 x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；（3），其中为折线ABCD，这里A,B,C,D依次为点(0,0,0) , (0,0,2) , (1,0,2) , (1,3,2) . 2 计算下列对坐标的曲线积分：（1），其中L 为圆周及 x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）；（2） ，其中 L为圆周（按逆时针方向绕行）；（3），其中是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线。 9利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积：圆. 10证明下列曲线积分在整个xoy面内与路径无关，并计算积分值： 11利用格林公式，计算下列曲线积分：, 其中L为正向星形线 . 12验证下列 P(x,y)dx+Q(x,y)dy在整个xoy平面内是某一函数U(x,y)的全微分，并求这样的一个U(x,y) ： 13计算下列对面积的曲面积分：（1），其中为平面2x+2y+z=6在第一卦限中的部分；（2），其中为锥面被柱面所截得的有限部分。 14求抛物面壳 ()的质量，此壳的面密度的大小为=z. 15计算下列对坐标的曲面积分：（1），其中是柱面被平面z=0及z=3 所截得的在第一卦限内的部分的前侧；（2），其中是平面x=0 ,y=0 ,z=0 ,x+y+z=1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧。 16利用高斯公式计算曲面积分： , 其中为球面的外侧。三、 证明已知f(u)连续，且L为逐段光滑的简单封闭曲线，证明： 四、 应用 1求均匀的锥面（设面密度为1）对ox轴的转动惯量。 2求矢量场穿过圆柱体的全表面的流量和侧表面的流量。 3求均匀弧x=a(t-sint) ,y=a(1-cost) 的重心坐标。 4设z轴与重力的方向一致，求质量为m的质点从位置()沿直线移动到 ()时重力所作的功。 5设曲线L的极坐标方程为，其上任一点处的线密度等于该点处矢径的长度，求L 的质量。 6*求半径为R的均匀半圆周L（线密度为=1）对于位于圆心的单位质量的质点的引力。 7*试用曲线积分求平面曲线L1 ：绕直线L2 ：旋转所成旋转曲面的面积。五、 模拟1 试解下列各题：（1） 设是由光滑闭曲面所围成的空间闭区域，其体积记为V，则沿外侧的积分= 。 （2） L是xoy平面上具有质量的光滑曲线，其线密度为(x,y)，则L关于ox轴的转动惯量可用曲线积分表示为 。（其中(x,y )为连续函数）（3） L是从A(1,6)沿xy=6至点B(3,2)的曲线段，则 。（4） 力构成力场（y0），若已知质点在此力场(y0) 内运动时场力所做的功与路径无关，则m= 。 2 试解下列各题：（1） 设L是圆周负向一周，则曲线积分（ ） A) B) C) D) （2）设L是表示的围线的正向，则 之值等于（ ） A) 0 B)2 C) - 2 D)4ln2（3）设L是从A(1,0) 到 B(-1,2)的线段，则曲线积分= （ ） A) B) C)2 D)0（4）L是圆域D：的正向周界，则等于（ ） A) - 2 B) 0 C) D) 2 3已知曲线L的极坐标方程为r= ()，L上任一点处的线密度为，试求该曲线段关于极轴的转动惯量。 4验证：存在u(x,y)使 ，并求u(x,y) . 5设是连接点A(0,2)及点的直线段，计算曲线积分. 6设为球面的外侧，计算. 7 计算，其中是上半球面的上侧。8 设P(x,y,z) ,Q(x,y,z) ,R(x,y,z) 均为连续函数，是一光滑曲面，面积记为S，M是在上的最大值，试证明： 答 案二 .选择 1.D 2.D 3 .D 4.A 5.C三 .填空 1. 0 2 3. 4. 0 5. 6. 四 .计算 1. 2. 3. 4. 5. 6. (1) (2) 7.(1) (2) (3)