练习一 函数.doc

高数练习题练习一 函数一、填空题1函数的定义域是.2若，则. 3若，则.二、单项选择题 1. 若函数的定义域是0，1，则的定义域是( ) .A. B. C. D. 2. 函数的值域是.A. B. C. D. 3. 若函数，则= ( ) .A. B. C. D. 4. 下列各对函数中，（）中的两个函数相等.A. 与 B. 与C. 与 D. 与5. 下列函数中（）是偶函数.A. B. C. D. 三、解答题1设，求： (1) 的定义域； (2) ，。练习二 极限的概念一、 填空题：1、 设f (x) 是定义在(内的奇函数，且f (x) =A 0, 则f (x) = 2、 若f (x) = A, 则f (x) = 二、写出下列数列的前5项: 1 、a= ;2 、a = (1 + ); 3、a =; 4、 a = 三、观察下列数列的变化趋势,写出它们的极限1、 a =2、a= (1) 3、 a = 4、 a= (1), 四：判断是否存在，若将极限过程改为呢？练习三 无穷小、无穷大、极限运算法则一、 是非题:1、当时，f (x)是一个无穷小，则f (x)在的某领域内有界.（ ）2、一个无穷小除以一个非零的有界函数仍是无穷小.（ ）3、一个无穷大除以一个非零的有界函数仍是无穷大.（ ）4、若存在,而不存在,则可能存在.( )、非常小的数是无穷小 ( )6、零是无穷小 （ ）7、无穷小是一个函数 （ ）二、 计算题：1、 计算下列极限:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 2.设求.练习四 两个重要极限一、 计算题：1、 计算下列极限： （1） （2） （3） （4） (x为不等于零的常数）；（5） （6）（7） （8）（9）二、证明题：设 , 证明数列x的极限存在，并求其极限。练习五 无穷小比较，等价无穷小一、 填空题：1、 若, 则 a = , b= .2、 若= 0 , 则a = , b= 二、 利用等价无穷小的性质，求下列极限：(1) (2) ;(3) ; (4) ;（5）; (6) ;(7) ; (8) (m,n均为自然数）；练习七 函数的连续性，函数的间断点一、 指出下列函数的间断点，并判别其类型.1、f (x)=; 2、f (x) =;3、f (x) = ; 4 f (x) = .二、讨论函数的连续性，若有间断点，则判别其类型.三、如何选取数a，b，使函数在x = 0 处连续.阶段自测题（一）函数，极限，连续一、 是非题（10分）：1、 函数的反函数为 ( )2、 在自变量的同一变化过程中，函数可表示为一个常数与一个无穷小之和. ( )3、 在定义区间不连续的函数一定不是初等函数. ( )4、 若, 则函数f(x)在处是连续的. ( )5、 若f(x)在(a,b)内单调,则f(x)在(a,b)内至多有一个零点. ( )二、 选择题：（30分）1、 在区间(-1,0)内，由( )所给出的函数是单调上升的。 (A) (B) (C) (D)2、 当时，函数f (x)=x sin x是( )（A）无穷大量 （B）无穷小量（C）无界函数 （D）有界函数3、 当x1时，都是无穷小，则f(x)是的( )（A）高阶无穷小 （B）低阶无穷小（C）同阶无穷小 （D）等阶无穷小4、 x=0是函数的( )（A）可去间断点 （B）跳跃间断点；（C）振荡间断点 （D）无穷间断点5、下列的正确结论是（ ）（A） 若存在，则f (x)有界；（B） 若在的某邻域内，有且 都存在，则也存在； （C） 若f(x)在闭区间a, b上连续，且f (a), f (b)0则方程f (x)=0,在(a, b)内有唯一的实根;(D)当时，都是无穷小，但与却不能比. 6 .下列极限存在的是（ ）.A. B. C. D. 7. 当时, ( )不是无穷小量. A. B. C. D.8. 已知，若为无穷小量，则的趋向必须是（ ）.A. B. C. D. 9. 下列极限计算正确的是( ) A. B.C. D.10.当时,又在处连续,则( )A. 1 B. C. D. 1二、填空题（10分）1. .2. 设,则 , .3. 若,则 .4. 已知，若在内连续，则 .5. 函数的间断点是.三、 计算题:（30分）1、 计算下列各式极限：（1） （2）（3） （4）（5）2、 确定常数a, b，使函数在x=-1处连续.四、证明题：设f (x)在闭区间a, b上连续，且af(x)b, 证明在(a, b)内至少有一点，使.练习八 导数的概念1、 从直线运动方程求t = 1 , t = 0.1时的平均速度.2、 按导数定义求下列函数的导数。(1) (2) 3、 试证： 在x = 0右连续，但不存在.4、 设为了使函数f(x)在 x = 1处连续且可导, a , b 应取什么值？5、 已知 求f (x ).6、 若f(x)是偶函数，且f (0)存在，求f (0) .7、练习九 导数的四则运算1、 求下列函数的导数:(1) y=3x- 5x+1 (2) y=2 (3) y= (4) y=(5) y= (6) y=(7) y= (8) y=(9) y= (10) y=(11) y= (12) y = xlnx(13) y= (14) y=x sinx lnx(15) y=2、 求下列函数在给定点处的导数:(1) . (2) .3.求抛物线y=a x+ b x + c上具有水平切线的点的坐标.求导：设 f (x)可导，求下列函数导数(1) y=f (x) (2) y = f (f (f (x) ) )练习十一 隐函数导数、对数求导法1、 求（1） ; (2) 2、 利用对数求(1) ; (2) .3、 求由方程所确定的隐函数 在 x= 0处的导数.7、求y.8自然数n至少是多大，才能使 有f (0) ,并求其值.9、设证明：.10、求方程所确定的隐数y的二阶导数.练习十三 函数的微分一.填空:（1）; (2) ;（3）; (4) ;（5）; (6) ;(7) d ( ) = adx; (8) d ( )=3x; (9) d( )=; (10) ; (11) ; (12) ; (13) ; (14) .二.求下列函数的微分dy(1) ; (2) ;(3) ; (4) ;(6) 其中f (x) 可导.三.求y=tg x当x由4510 时增量的近似值.四.求下列各数的近似值: (1) lg11 (2) 五.当|很小时，证明： (1) ; (2) tg xx.阶段自测题（二）导数与微分一、 是非题：（ ）1、若y=f (x)在点可微，则必在该点连续.（ ）2、若f(x), g(x)都在点可导，则都在该点可导.（ ）3、 若y=f(x) , 在点的切线平行坐标轴，则必有存在且等于0.（ ）4、设y=f(x)在点x=可微，则其微分二、 填空题:1、 设存在，则= ;2、 则 ;3、 设, 则dy= ;4、 设则 ;5、 y=f(x)为方程xsin y + ye确定的隐函数, 则 .三、 选择题:1、 则的值为( ) (A) lna (B) lna (C) (D) 2、 设曲线与直线x= -1相交于点P, 曲线过点P处的切线方程为( ) (A) 2x-y-2=0 (B) 2x+y+1=0 (C) 2x+y-3=0 (D) 2x-y+3=03、 设 处处可导，则( )(A) a=b=1 (B) a=-2, b=-1 (C) a=0, b=1 (D) a=2, b=14、 若f(x)在点x可微,则的值为( ) (A) 1 (B) 0 (C) -1 (D) 不确定5、设y=f(sin x), f(x)为可导函数，则dy的表达式为( ) (A) (B) (C) (D)四、 计算题：1、 设对一切实数x有f(1+x)=2f (x),且,求2、 若g(x)=又f(x)在x=0处可导，求3、 f(x)在x=a处连续,求4、 设, 求5、 计算的近似值.五、 证明题：1、 设f(x)是以为周期的可导函数，证明也是以为周期函数;2、 设证明（1） f(x)在原点连续；（2） f(x)在原点不可导.练习十四 中值定理1、 验证函数在区间 - 1，2 上满足罗尔定理，并找出相应的点，使f()=0.2、 验证函数f (x)=ln x在区间 l, e上满足拉格朗日定理，并找出相应的点,使3、应用拉格朗日中值定理，证明当01时，5已知应用罗尔定理，证明方程：在(0,1)内至少有一实根.6不用求出函数f (x) =(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)的导数，说明方程f(x)=0有几个实根，并指出它们所在的区间.7证明方程只有一个正根.练习十五 罗必塔法则一、 判断题：（ ）1、（ ）2、 ( ）3、（ ）4、（ ）5、如果f(x)和g(x)可导，且存在，那么必有=.二、 填空题：(1) ;(2) ;(3) ; (4) ;(5) .三、 说明极限存在，但不能用罗必塔法则.四.用罗必塔法则求极限（先判别该题属于哪种不定型，再求极限）.(1) (2) (3) (4) 四、 用罗必塔法则求极限（先判别该题属于哪种不定型，再求极限）.(1) (2) (3) (4) 函数单调性判定法、极值及其求法、最值问题练习十六一、 求下列函数的单调区间: (1) (2) 二、 求下列函数的极值点和极值: (1) (2) 三、 试问a为何值时，函数在处取得极值，是极大值还是极小值？并求出其极值.四、 求下列函数在所给闭区间上的最大值和最小值:(1) (2) 五、 一球的半径为R作内接球的圆锥，试求其最大的体积.练习十八 利用导数研究函数一、 求下列曲线的凹向区间及拐点:(1) (2) .二、 描绘函数的图形（填空） （1）、所给函数的定义域为 ; （2）、 , 驻点 ; （3）、 ; （4）、列表x( , 2 )2(2, 10(1,+ )yy”y（5）、因为 , 所以 为铅直渐近线； 因为 , 所以 为水平渐近线. （6）、作图： y l x三、 描绘函数的图形.四、 利用凹函数的性质，证明下列不等式： （1） ; （2） 阶段自测题（三）导数的应用一、 填空题：1、 函数f(x)=arctanx在0 ,1上使拉格朗日中值定理结论成立的= ;2、 若则a= , b= ;3、 设f(x)有连续导数，且则= 4、 的极大值为 ，极小值为 ;5、 的最大值为 ，最小值为 .二、 选择题：1、 如果a,b是方程f(x)=0的两个根，函数f(x)在a,b上满足罗尔定理条件，那么方程f(x)=0在(a,b)内（ ）（A）仅有一个根； （B）至少有一个根；（C）没有根； （D）以上结论都不对。2、 函数在区间-上（ ）（A） 满足罗尔定理的条件，且 （B） 满足罗尔定理的条件，但无法求（C） 不满足罗尔定理的条件，但有能满足该定理的结论； （D） 不满足罗尔定理的条件3、 如果一个连续函数在闭区间上既有极大值，又有极小值，则（ ）（A） 极大值一定是最大值； （B）极小值一定是最小值； （C）极大值一定比极小值大； （D）极在值不一定是最大值，极小值不一定是最小值。4、 设f(x)在(a, b)内可导，则是f(x)在(a, b)内为减函数的（ ）（A）充分条件； （B）必要条件；（C）充要条件； （D）既非充分又非必要条件。5、 若f(x)在(a, b)上两次可导，且（ ）, 则f(x)在(a, b)内单调增加且是上凹的。（A）； （B）；（C） ； （D）三、 计算题：1、 求: 2、 求过曲线y=xe上的极大值点和拐点的连线的中点，并垂直于直线x=0的直线方程.五、证明题： 证明不等式 练习十九 不定积分概念及性质一、 填空题: （1） ; （2） ; （3） ; （4） ; （5） ; （6） ; （7） ; （8）已知一个函数的导数并当x=1时，这个函数值等于则这个函数为 .二、 求下不列不定积分:（1） (2) (3) (4) (5) (6) (7) 练习二十 换元积分法一、 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立（例如）(1) (2) (3) (4) (5) (6) 二、 计算下列不定积分（其中a,b,均为常数）:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 练习二十一 分部积分一、 填空题：（1） ;（2） ;（3） ;（4） ;（5）若f (x) 的一个原函数为则 .二、 求下列不定积分:(1) (2) (3) (4) (5) （6）(6) （7）练习二十二 微分方程初步一. 求方程的通解二.验证函数是方程的通解,并求满足初始条件的特解.阶段自测题（四） 不定积分一、 选择题：1、 设可微，则（ ）（A） （B）（C） （D）2、 若F（x）是的一个原函数，则cF（x）（ ）的原函数 （A）是 （B）不是 （C）不一定是3、 若则（ ） （A） （B） （C） （D）4、 设在a，b上连续，则在（a，b）内必有（ ）（A） 导函数 （B） 原函数（C） 极值 （D） 最大值或最大值5、 下列函数对中是同一函数的原函数的有（ ） 6、 在积分曲线族中，过点的曲线方程是（ ） 7、下列积分能用初等函数表出的是（ ） （A）； （B）； （C）； （D）.8、函数的一个原函数( )（A）; （B）;（C) ; （D） .9、已知一个函数的导数为，且x=1时y=1,这个函数是（ ） （A） （B） （C） （D）10、（） （A）; （B）; （C）； （D）.11、（ ） （A）； （B）； （C）； （D）.二、 判断题:1、若函数在任一点都有连续导数，则.（ ）2、及都是函数的原函数.（ ）3、若在某区间内不连续，则在这个区间内必无原函数.（ ）4、调连续函数的原函数必为单调函数.（ ）5、若的某个原函数为常数，则必有=0.（ ）三、 计算题:1、 2、3、 4、 四.求其中定积分概念、性质、中值定理练习二十三一、 单项选择题：1、 f (x)在a,b上连续是存在的( ); （A）必要条件 （B）充要条件 （C）充分条件 （D）既不充分也不必要的条件2、 下列函数中，在0,1上不可积的函数是( ); (A) f (x)=x (B)C. (D)3、 设则( );(A) (B) (C) (D) 4、 设且f (x) 在a, b上连续，则( ); （A）f (x)=0; （B）必存在x使f (x)=0; （C）存在唯一的一点x使f (x)=0; （D）不一定存在点x使f (x)=0.5、 设 , 则( ), 使（A） 在0,1内至少有一点 （B）在0,1上不存在 (C)在0,都存在 （D）在中存在二、 计算题：1、 由定积分的定义计算;2、 估计定积分的取值范围;3、 利用定积分的几何意义计算;四、（应用题）：已知物体以v=3t+5的速度作直线运动，试用定积分表示出物体在时间间隔1,4内所走过的路程s，并利用定积分的几何意义算出其值.练习二十四 牛顿莱布尼茨公式一、 单项选择题：1、 当x0 时，与( )等价无穷小. （A） (B) (C) (D) x2、 设是连续函数, 则( ).（A） 对一切. （B） （B）对一切 (C ) 对一切 （D）为常数）3、 设(a0,又证明：（1）（2）在a, b内有且仅有一个实根. 练习二十五 定积分的计算一、 填空题：1、 设f (x)是-a, a上的连续函数，则 ;2、 ;3、 设f (x)是可导函数，则 ;4、 已知则f (0)= ;5、 设f (u)是u的连续函数,则 .二、 计算题：1. 2 .3.设4.三.设f (x)在0,1连续，试证练习二十六 无限区间上的广义积分一、 计算以下广义积分：; 2. ;3. ; 4. ;5. 6. 练习二十七 定积分的应用一、 计算题：1.计算由曲线和所围成的图形的面积.阶段自测题（五） 定积分一、 判别题：1、 若，则为奇函数。（ ）2、 （ ）3、 由于在上是奇函数，因此（ ）二、 填空题：1、 设是连续函数，则F(x)= ;2、 设是连续函数，则 ；3、设是连续函数，f(0)= -1,则 ；4、函数=在区间a，b上的平均值为 .三、 单项选择题：1、 设存在，则在a，b上( ) (A)可导 (B)连续 (C)具有最大值和最小值 (D)有界2、 设是以T为周期的连续函数，则( ) （A） （B） （C） （D）f（a）3、 设存在，则I=( ) (A)f（x） (B)2 f（x） (C) 2 f（x）+c (D)0 4、 曲线及y轴所围的图形面积为( ) (A) (B) (C) (D) 四、 计算下列定积分:1、 3、 五、 求下列极限: 六、 设可导函数y=y（x）由方程所决定，试讨论函数y=y（x）的极值.练习二十八 二元函数的极限与连续一、填空题：1、设，则= 。2、函数的定义域是 。3、函数的间断点是 。二、计算题：1、求下列函数的定义域：（1）； （2）。（3）2、若，求。三、证明题：验证不存在。练习二十九 偏导数和全微分一、计算题： 1、设，求， 2