第二章 分辨率与信噪比的基本概念.doc

第二章 分辨率与信噪比的基本概念第一节 分辨率的基本概念关于分辨率的文献资料很多，但真正要把问题讲透还是不容易的。读者可以自己去阅读M.B.widess及Ralph W.Knapp和俞寿朋的文章456。但这些文章中公式很多，我在这里想用简单的几幅图来说明问题。 先讲“垂向分辨率”，也就是在时间域坐标上，两个波在什么情况下可以互相分辨开来？一、严格的分辨率定义显然，想要使两个地震波完全分开，必须两个子波脉冲的包络完全分开，如图11（a），因为如果两个子波的包络连在一起，必然形成互相干涉，于是这两个波的振幅、频率、自相关以及各种参数量都变得含混不清。所以，Knapp认为，垂向分辨率应该用地震子波脉冲的时间延续度来定义。并且把这种分辨率称为厚层分辨率（这个叫法不是很确切，我认为称作“严格的分辨率”较为合适）。可惜我们地震子波的延续度很长，在常规的两三千米勘探深度上，一个地震子波大概至少要振两三下，时间延续度长达100200ms（折合约为150360m）。如果室内子波处理得很理想，压缩成一个振动相位，则也往往要长达5080ms（折合约为75120m左右）。这个分辨率当然是很差的，但严格的说，分辨率是应该这样来定义的。二、不太严格的分辨率定义目前广泛流传着一个不太严格的垂向分辨率公式，即时间分辨率 （1）式中，f*是地震子波的视频率（或主频）。从这个公式出发，只要剖面上主频偏高，就认为其时间分辨率高。如果把层速度v乘上tR，就得到厚度分辨率公式 （2）*为视波长，zR成为可分辨厚度。按这个公式，如果视频率为30Hz，速度为3000m/ms，可分辨厚度为22m！这两个公式假定了地震子波是理想的雷克子波。用楔形模型可以证明：在上述分辨厚度时，相邻两个雷克子波的过零点互相重合，此时叠加的合成波形在两个波峰之间出现一个波谷，波谷的谷底振幅为零，两个波峰刚刚分开，如图11（b）。一般来说，我们可以接受这两个公式，但请注意图11（b）右方波形的振幅已经不真实，由1.000下降到0.595。此外，如果实际子波不是零相位的，并且反褶积并没有把它压缩成一个正峰，则可分辨厚度比此公式肯定要差。例如图11（d）及（e）分别为最小相位子波及混合相位子波的例子，当子波错开半个视周期时，其合成波形看不到相应的两个波峰，很难分辨谁是谁。所以，瑞利（Rayleigh）准则指出：“一个反射波的分辨率的极限是1/4波长。”注意这里说的极限两字。公式（2）的ZR实际上也接近于四分之一视波长，因而Knapp把这四分之一视波长定义称为“薄层分辨率”。由于实际地震子波并不是零相位的雷克子波，公式（1）及（2）并不严格。所以我们应该进一步讨论一下对不同的子波具有不同频宽时，它们的特点是什么？三、三种相位特性带通子波的分辨率我用零相位、最小相位及混合相位三类带通子波，绘了一张不同子波的波形图，见图12。从此图来看，第一，子波的分辨率首先与频带宽度有关。例如左边两个子波，由于频带很窄，小于一个倍频程，则产生连续振动。此时，虽然视波长不是很大，但连续相位互相干涉，其分辨率肯定不能再用公式（1）来表达。第二，不论什么样的子波，随着频带的加宽，子波的连续振动相位数逐渐减少，并且主峰慢慢变窄、变尖锐，也就是分辨率逐渐变高，混合相位的子波也是如此。第三，在频带窄的时候，最小相位及混合相位子波与零相位的波形差别不大。但是当频宽在一个倍频程以上的时候差别就大了。例如零相位的1080及1016OHz的子波分辨率相当好，一个正峰十分突出，而最小相位子波变成正负相间的一个强头部，后面跟着一连串的振荡波形。而混合相位子波，则表现为一个高频的头部和后面拖着一个低频的长长的尾巴！分辨率就降低了。所以说相同频带范围的子波中，以零相位子波的分辨率为最高。以后我还要提到，实际子波都是混合相位的。四、频带上下限与分辨率的关系现在介绍一下频带上下限与分辨率的关系。1.绝对频宽如果我们将带通子波通频带的下限称为f1，上限为f2，则f1-f2称为绝对频宽B，即绝对频宽 （3）对于零相位子波，绝对频宽决定了包络的形态。Knapp在他的文章中对此作出了数学证明，他称之为“频移过程中子波包络的不变性”。例如1040Hz的子波包络与306OHz的包络完全一样，因此他认为二者的分辨率也一样。见图13上方，左右两个子波的B都等于30，它们的包络就一样，3060Hz的子波振动相位数却增加了两倍！2.相对频宽f2与fl相除称为相对频宽R，即 （4）相对频宽还有一种表达方法，即采用倍频程数一个倍频程就是音乐中的一个“高八度”，也就是频率翻一翻。对于两个零相位带通子波而言，只要以倍频程表示的相对频宽一样，那么，它们的波形就是一样的，只是波形的胖瘦不一样，如图13，左边上下两个子波，它们的相对频宽R都等于4，于是它们的波形不变，只是包络缩放了一倍。通带为2080Hz的子波波形与1040的子波，只是在时间轴上压缩了一倍。Knapp指出倍频程一样，波形一样时，还是瘦的子波分辨率最高。所以他认为分辨率不能用倍频程来衡量，只能用绝对频宽来衡量。 相对频宽决定了子波的振动相位数。图14是我统计的图12中零相位子波的连续相位数及主峰视周期宽度的示意图。从图中可以看到零相位子波窄于一个倍频程时，连续相位迅速增多，一个倍频程时相位数约等于1.5个（此时用负极性显示，可见两个波峰）。所以，如果我们在地震剖面上看到大多数反射波有两到三个连续相位时，就可以说：它的分辨率不高，频宽不够一个倍频程（或者是相位谱不好）。3.视频率 通频带的中心频率fc决定了视频率fp（或称主频），即 （6） 主频就是我们眼睛看到的剖面上同相轴的胖瘦程度。以上便是对带通子波的一般分析结果。五、关于分辨率的争议关于分辨率的讨论其实还存在着不少争议。例如，Widess认为在没有噪声的情况下，反射波的可分辨厚度应该定为1/8视波长。又如Knapp指出，如果研究孤立的薄地层，其实不一定需要有足够的带宽，例如大学物理教科书中就有使用单色光和相干原理测量肥皂泡薄膜厚度的实验。Knapp除了把四分之一视波长称为“薄层分辨率”以外，又划分了另外一种分辨率韵律层的分辨率，即对薄层状的周期性重复的沉积韵律层来说，可以用高频来检测薄互层的厚度，这种韵律层产生一种对频率高次谐波的调谐作用。我记得过去50年代老的地震教科书上也有一段关于测定薄互层厚度的反射调谐振幅的文章。但是，以上测肥皂泡厚度的例子必须是一层单独的薄膜，而韵律层则必须是许多互层周期地作简单重复，它们都是在特殊情况下的特例。在这些特例中可能不需要频带很宽，也不需要低频成分。但是对我们地下的实际沉积剖面来说，我认为：无疑地我们需要一个较宽的频带，才能解决分辨率问题。因为地的砂岩、泥岩、灰岩的沉积往往不是一个“孤立”的层，也不是简单的周期重复，而是千变万化的。没有足够的频宽是不能准确描述它的。六、不同频宽子波对不同厚度砂岩层的反映我认为好的分辨率不能光看绝对频宽是多少，而还要看所占的频段在哪里。例如40160Hz的宽频（B=120）不一定比1080Hz（B=70）的好。因为前者缺乏1040Hz低频段，会使厚砂层在波阻抗反演后形成砂层中央的阻抗值下陷。为了说明不同频宽对描述砂岩分布的能力的情况，我作了如下的试验。图15是不同频宽的零相位带通子波（即Sinc子波）反映砂层的反射波形图。左方设计了从厚度为3m到60m的7个砂层模型的反射系数，假定采样率为2ms，层速度为3000m/s。右方各道是不同频带的子波与反射系数的褶积结果。这些带通子波的形态可参看图20（a）。从此图来看：第条曲线4050Hz的子波频带太窄，连续振动多，肯定不好；曲线及频带最宽，为5135Hz及l0160Hz，它们的反射波形都接近为反射系数曲线，曲线及为10-23Hz及l033Hz，频带虽然不太宽，但定性地尚可以反映出存在着7个砂层。现在，我们把这个图的各个道积分一下，变成了相对波阻抗的形式，见图16。左边第一道就是7个砂层的波阻抗模型。现在我们来看右边哪一条曲线描述这个模型最好。显然，55Hz及10160Hz两条曲线最好。右边曲线1080Hz也不错，只要砂层都是孤立的，互相不挨，就都能分辨，但它对6m到3m的砂层描绘得过分胖而没有棱角了。再右边l040Hz及1023Hz曲线进一步圆滑，没有棱角，正峰宽度几乎相等，厚度也就成一致的了，同时负峰明显增强，1023Hz的曲线连厚砂层也似乎变薄了。曲线4050Hz更不行，子波连续振动3.5个相位，分辨率最差，看不清与砂层的关系。而曲线及对厚砂层也反映很差。40160Hz（B=120Hz）按分辨率定义来说分辨率很高，但由于缺乏低频，反映l0m以上砂层的能力是很差的，此曲线对21m至60m砂层都出现中央波阻抗值下陷。所以，绝对频宽很宽的子波如果缺少了低频，也不是好事！七、不同的频率有不同的用处我认为不同的频率有不同的作用，其实道理很简单，在时间域，当子波的主瓣宽度（半周期）和砂层的时间厚度相一致时，褶积后，输出振幅达到最强，否则振幅要变弱。这种效应相当于一种对不同砂层厚度的“滤波器”。显然，被增强的砂层厚度大致为1/4视波长（即时间厚度为半周期），所以有表2 增强砂层的厚度与加强频率的关系增强砂层的厚度（m）7537.52518.812.59.47.56.24.7加强频率102030405060708090例如，你希望搞清楚厚度为60m的砂层，按表1，f1必须达到10Hz，否则如图16曲线，2066Hz的曲线就不能反映出60m的砂层，但是它还可以勉强反映30m的砂层。又例如要使6m的砂层正确地反映出它的宽度和波阻抗数值，按附表2则需要高频f2达120Hz，如图16曲线反映6m很好，而曲线即1080Hz的阻抗值就偏小，厚度也偏大。在以上七个砂层的模型中，每个砂层几乎是孤立的。这种情况当然比较简单，有时1030Hz似乎也反映得不错，但是当砂层岩互层比较复杂，像后面图17图19那样，频带的宽度就十分重要了。图19左方设计了一个砂层互层的模型，砂层厚度从1.5m道24m不等。它的反射系数序列如图17最左边一条曲线。仍旧用以上九种子波褶积这个反射系数序列，得到像图17右边各个地震道。这个图不很直观，我们把它们每个道从上到下作一次积分，变成相对波阻抗，如图18所示。然后再加上低频分量，变成图19那个样子。从图19可以判断哪一条曲线反映最好。显然，频宽10160Hz的曲线反映最好，它连1.5m厚的砂层都有反映（当然似厚度变大了是其缺点）。其次5135Hz的曲线也不错，4.5m以上的砂层都反映得很好，就是1.5m的（在中下部）也有所反映，但振幅太小，不易识别，这与表1所列的数据是相符的。5Hz的低频在此例中没有起作用，因为模型中没有厚度大于75m的砂层。其它曲线反映砂层的情况都比较差，但是，1.28s处21m厚的砂层在许多曲线上都有反映。我对反映不好的打上了符号，良好的打上了V，请读者自己对比一下。值得一提的是4050Hz的曲线频带太窄，根本不能反映砂层的存在；而4060Hz的曲线虽然绝对频带很宽，但是它对模型的反映也很差，因为它缺乏低频。而此模型中有不少泥岩的厚度较大，缺乏低频，波谷就衬托不出来。八、对台阶状波阻抗的反映再来看看不同频宽的子波对反映一个台阶状的波阻抗的情况。图20（a）就是我所采用的。不同带通子波的波形。左方第条曲线是反射系数，台阶的反射系数当然就是一个尖脉冲，而右方各道就是各子波原来的样子，可以看到405OHz的子波的连续相位很多。图20（b）是相对被阻抗的情况。左边第条曲线就是波阻抗的台阶形状。右边各道由于尚没有加低频成分，台阶的形态没有很好地反映出来。但可以看出：5135Hz由于频带较宽、低频成分较丰富，所以反映一个台阶的形态最好。10160Hz也不错，然而，虽然它频带宽度比5135Hz更宽些，但要反映一个台阶，低频成分起着很大的作用。且看右边，凡是fl大于1OHz的曲.线，都反映不好。由图200（b）可得以下四点结论：（1）如果要反映地下一个台阶（波阻抗），则子波的频带愈宽愈好，并且低频相当重要。（2）曲线与曲线都是两个倍频程宽，但比差得多，按绝对频宽所定义的分辨率却是比好4倍。（3）曲线的绝对频宽比要小，但反映一个台阶却更清楚。我们用8Hz的低通滤波对台阶状函数作滤波，得到其低频分量，然后统一加到图20（b）理各相对波阻抗曲线上去，变为绝对波阻抗曲线，如图20（c）。此图告诉我们要反映好一个台严阶状波阻抗是十分不容易的。频带窄了根本不成，缺乏低频与缺乏高频都不成。有一个现象很是成对出现的，频带愈窄、子波视周期愈大，此现象愈严重。显然，要反映好一个台阶的波阻抗曲线必须是全频带。大家知道：只有激冲函数的积分才是一个阶跃函数！附带说一句，我这个试验还不够严格，对反射系数的标定工作尚没有作，不过定性的结论是没有错的。此外，这个例子也正好说明了波阻扰反演中反射系数的标定工作是不容易做好的，视周期大的低频子波在递推波阻抗数值时会产生积累值偏大的现象。我将在第十一章里作进一步讨论。九、结论我认为：不同的频率成分有不同的用处，缺了哪一部分都不成；要查明地下5m到30m厚度的砂层，最重要的频段是10160Hz，对于查明大套灰岩顶部的台阶状波阻抗的情况，低频成分+分重要；分辨率与频宽成正比这句话虽然不错，但是并不能光看频宽数值愈大愈好还要注意不要丢掉低频成分。我以后还要指出：那种丢掉低频成分的、表面上看来主频较高的分辨率是假分辨率。第二节 分辨率与信噪比的关系以上讨论的分辨率都还没有与信噪比联系起来讨论。下面我要讲：信噪比是分辨率的基础，分辨率是由信噪比所定义的。以前不少学者列出了在存在噪音条件下的分辨率公式。例如，Widess的公式：分辨率 （8）式中，As （f）是信号的振幅谱，AN （f）是噪音的振幅谱。这个公式不容易直观地被人所理解，现在我用几个图来加以说明。图21上方是一个地震道的频谱。地震道总是由信号及噪音混合而成的，通常记录道在中频段（1060Hz）信噪比较高，小于1OHz往往低频面波占据着优势，而高频60100Hz往往又是由高频干扰占着统治地位，如图上方所示。图中黑色竖线条是信号所占据的部分，上面白色部分是噪音所占。图21的下方绘出信号S与噪音N各自所占的百分比，可称下图为“信噪比谱”。在此图中信号占优势的范围，即S/N大于1的部分大致在12Hz到6OHz，此段称“有效频宽”。图21上方在有效频宽的两侧，振幅谱虽然也有能量较强的成分，如512Hz及6075Hz，但它们是“无效频宽”，因为那里噪音占着上风。即使用反褶积把它们的能量提起来，也没有用。1986年我用理论模型作试验加以证实：任何反褶积或单道褶积滤波都不会改变每一个频率成分中的信噪比。其实道理很简单，因为褶积过程中，褶积算子对信号与噪音是一视同仁的。我在文献7中用矢量合成的图解方法说明了这一点。图22是一个理论试算的实例，用已知的信号及噪音道相加组成地震道。图22（a）是反褶积前信号加噪音的振幅谱，其中黑色粗线条部分是信号S，上面细线条是N，其外包线就是地震道的振幅谱。图22（b）是把信号加噪音当成100%，绘出S及N各自百分比的“信噪比谱”。图22（c）为同一地震道经过脉冲反褶积后的振幅谱，白噪系数采用常规的千分之一。图22（d）为反褶积后的信噪比谱。比较图22（b）与（d）可以看到它们丝毫不差，即反褶积并不改变信噪比谱。我还作了另一个带通滤波的例子，情况也是如此。那么，那么，为什么说带通滤波可以改进信噪比，又为什么说反褶积可以提高分辨率呢？我提出一种新的概念，即视觉信噪比和视觉分辨率的概念。带通滤波和反褶积不能改变每一个频率成分的信噪比例，但却能改变视觉信噪比与视觉分辨率。一、视觉信噪比什么是视觉信噪比呢？它可以由下式定义。视觉信噪比（Visual Signal-to-Noise Ratio）简写为VISNR （9）式中，Ax（f）是倍号加噪音道，即地震道x（t）的振幅谱。含信比最大为1，最小为0。它比信噪比更合理，因为噪音等于零的时候，信噪比S/N可以等于无穷大，不好作计算。上述累加符号是在频域中从零频加到3/4个Nyquist频率fN。因为3/4fN之上往往振幅极小，计算结果不可靠。同时也是野外采样及室内的去假频滤被器所清除的部分，所以我建议只算到3/4fN为止。视觉信噪比公式（9）的物理意义就是图22（a）中黑粗线条S的面积与细线条N所占的面积之比值。此图中黑的愈多，灰的愈少，则视觉信噪比愈高。此例中反褶积前视觉信噪比为1.0595.经脉冲反褶积后变为0.8652，即降低了18.3%，因为图22（c）中虽然黑色S区域大了，但灰色N区域的面权更大了些。这是反褶积白噪系数用千分之一的情况。如果进一步降低白噪系数，则图22（c）还可以把频谱展得更宽，但由22（b）及图22（d）可知：6OHz以上已经为噪音所统治，所以再展宽频谱只能使视觉信噪比降得更低，剖面上一片乱。二、视觉分辨率什么是视觉分辨率呢？视觉分辨率（Visual Resolution）可筒写为VIRS （10）公式中的累加号也是从零频加到3/4个fN，其数目为m个。Axo（f）是信号加噪音地震道的归一化振幅谱（令其最大值为1），即式中，Axmax（f）是地震道振幅谱中的极大振幅，除上它以后，Axo就是相对振幅（在0与1之间变化），故称其为归一化振幅谱。于是视觉分辨率公式（12）的物理意义就是图22（a）及（c）中黑色S区域的面积与长方形图框面积之比（这个图框就是从零频到3/4fN的一个长方形框框.在此例中，采样率为4ms，Nyquist频率为125Hz，所以3/4fN为94Hz）。显然，图22（c）中黑色S区的面积比图（a）中的黑色面积来得大，所以视觉分辨率在这次反褶积中提高了。VIRS从0.1005提高到0.1514，提高50.6%.可以设想，如果把白噪系数进一步降低，则频谱可以展得更宽，但视觉有效分辨率看样子不大可能再增加很多，因为即使你把信号加噪音的合成谱包线完全展平，也最多象图22（b）或（d）那样。在图22（d）中黑色S区的面积是有限的，它就是实际地震道彻底谱白化的最理想条件下可能达到的最大分辨率，显然最理想时Axo（f）恒等于1，于是公式（12）变为最大视觉分辨率这实际上是含信比的平均值，是一种全频谱综合含信比。然而此时视觉信噪比却是极差的，这种剖面是不能用的，因为22（d）中高频噪音占据了主要的面积。三、扬长避短 量体裁衣归根结底，一个处理人员是否把滤波及反褶积（包括谱白化）作得很好，完全决定于他是否能够把信噪比谱中SN的那部分最大程度地提起来；而把SN的部分最大程度地压噩缩下去。这就好比每个人都有优点和缺点，我们应该发挥优点，减少缺点，即所谓“扬长避短”。那么，怎么知道哪里是长，哪里是短呢？很简单，你只要在作谱自化之前，先作一次分频扫描。如本书第五章中图52那样，调查一下各频段的实际信噪比，然后决定谱白化的门能够开望到多大。显然只能开到肉眼刚刚可以看到同相轴影子的那个频段，即信噪比在0.71.0之间。开小了，牺牲了本来可以获得的有效分辨率；开大了，剖面中的噪音就很大。如果作脉冲反褶积及预测反褶积，则可以调节白噪系数，通过试验掌握分寸，使频谱最宽而剖面又不乱。在文献7中，我还指出Widess的公式（8）所定义的分辨率实际上接近为全频谱综合含信比。它往往是实际记录所永远达不到的一种最大分辨率的极限。以上的讨论都是假定处理人员不改变记录中的频域信噪比谱的。在这个基础上我得到结论：如果不提高倍噪比，那么频率加强滤波（Spectrum Enhancement Filter）就是达到最佳有效分辨率的一种反褶积方法了。因为该方法自动地放大信噪比高的部分，压制信噪比低的那一部分，是扬长避短的好方法。“频率加强滤波”可以根据地震剖面里的信噪比谱，恰到好处地放大那些信噪比大于1的有效频带。该方法采用剖面中相邻地震道之间的两两互相关近似求得信号的功率谱。（因为信号在相邻道之间是有很大相关性的，而假设噪音没有相关性）。而地震道的自相关就代表着信号加噪音的功率谱。于是从自相关及互相关之间就可以分别估算信号的功率谱As（f）及噪音的功率谱AN（f）。这种方法的滤波算子由两部分组成：其一为分辩率滤波器Hr（f），它把地震信号频谱展宽，即这与脉冲反褶积是类似的，它使信号谱白化。AS（f）是信号振幅谱。其二是信噪比滤波器，也称相干滤波器HC（f），它是一个纯振幅滤波器。即式中，AS2（f）为信号功率谱，AN2（f）为噪音功率谱，RSN（f）为每一频率分量的功率信噪比。将两个公式结合起来，于是整个频率加强滤波因子就是Hp（f）可以看出：当RSN（f）=0（即S/N=0处），相干滤波器Hc（f）=0时，输出为零，即不使低信噪比的频率分量放大；而当信噪比很大时，RSN（f）=时，Hc（f）=1，滤波器是通放的；而当S/N=1时，RSN（