自动控制原理黄家英第二版课后答案.pdf

1 第第第第7 7 7 7章章章章 线性系统的结构分析线性系统的结构分析线性系统的结构分析线性系统的结构分析 涉及到涉及到2 3 7章章 2 经典控制理论的特点经典控制理论的特点 图形方法为主 物理概念强 直观简便 实用性强图形方法为主 物理概念强 直观简便 实用性强 控制结构简单 设定和调整参数少 且调整方针明确控制结构简单 设定和调整参数少 且调整方针明确 以简单的控制结构获取相对满意的性能以简单的控制结构获取相对满意的性能 主要缺点 主要缺点 需反复需反复 试凑试凑 控制结构及性能一般不是最优 控制结构及性能一般不是最优 仅适用于单变量 仅适用于单变量 SISO 线性定常系统 不能用于 线性定常系统 不能用于 多变量 多变量 MIMO 系统 时变系统和非线性系统 系统 时变系统和非线性系统 只考虑系统输入与输出的关系只考虑系统输入与输出的关系 不涉及系统的内部状不涉及系统的内部状 态态 3 状态空间方法的特点状态空间方法的特点 统一表达和处理单 统一表达和处理单 多变量多变量系统 可以分析系统 可以分析时变系时变系 统和非线性系统统和非线性系统 核心是核心是状态变量的能控性 能观性状态变量的能控性 能观性 寻求寻求最优控制性能 最优控制性能 重要成果有重要成果有极点配置 状态观测器 最佳调节器 极点配置 状态观测器 最佳调节器 最优控制最优控制等 等 主要缺点 主要缺点 对模型精度要求高 对模型误差及未知扰动的鲁棒对模型精度要求高 对模型误差及未知扰动的鲁棒 性较差 性较差 状态反馈状态反馈难以直接实现 而采用难以直接实现 而采用状态观测器状态观测器使控制使控制 结构复杂 结构复杂 性能变差 性能变差 4 状态空间方法的主要内容状态空间方法的主要内容 线性系统状态空间描述线性系统状态空间描述 数学模型 第二章 数学模型 第二章 状态空间描述下的运动分析状态空间描述下的运动分析 分析的基础 第三章 分析的基础 第三章 李雅普诺夫稳定性理论李雅普诺夫稳定性理论 稳定性分析稳定性分析 了解 了解 线性连续系统的可控性判据线性连续系统的可控性判据 核心内容核心内容 线性连续系统的可观测性判据与对偶性原理线性连续系统的可观测性判据与对偶性原理 核心内容核心内容 线性变换与规范形线性变换与规范形 模型的结构化简模型的结构化简 线性定常系统的结构分解线性定常系统的结构分解 了解 了解 状态反馈和极点配置状态反馈和极点配置 最优控制 最优控制 状态观测器设计状态观测器设计 理理 论应用论应用 主要讲主要讲SISO线性定常系统线性定常系统 5 一 线性系统状态空间描述 第二章 一 线性系统状态空间描述 第二章 2 5 1 状态与状态空间状态与状态空间 2 5 2 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式 两种模型的相互转化两种模型的相互转化 2 5 3线性定常系统状态空间表达式的建立线性定常系统状态空间表达式的建立 2 6 1由状态空间模型转化为传递函数 阵 由状态空间模型转化为传递函数 阵 6 t x t x t x t x x t t x t x t xn n 3 2 1 n21 个状态变量个状态变量阶系统 有阶系统 有n n对于对于 状态变量状态变量 完全描述完全描述系统行为的系统行为的最小最小一组变量一组变量 线性独立的 线性独立的 称为称为状态向量状态向量 构成构成n维状态空间维状态空间 x1 x3 x2 3 3维状态空间维状态空间 x t0 x t1 x t 随时间变化产生随时间变化产生状态轨迹状态轨迹 2 5 1状态与状态空间状态与状态空间 7 例例 R L C R L C串联网络串联网络 输入 输入u u 输出 输出u uc c dt t du C t i t u dt t di L t Ri t u C C 2 x 1 x 2 x 1 x y 2 1 2 1 2 1 x x 10y u 0 L 1 x x 0 C 1 L 1 L R x x 1 x 状态方程状态方程 输出方程输出方程 Cxy BuAxx 简记为简记为 AB C 8 状状态态输输方方程程 出 出方方程程 1111 11 np nnnp xfxxuut xfxxuut 1 系 1 系的的方方程程 n元n元一一微微分分方方程程 统统状状态态 阶阶组组 1111 11 np qqnp ygxxuut ygxxuut 2 系 2 系的的出出方方程程 统统输输 状态空间表达式的构成状态空间表达式的构成 xf xut yg xut 矩阵形式矩阵形式 9 xf xut yg xut 11 nn x tx t xx xtxt 式式中中 11 22 pq uy uy uy uy 为为列列向向量量 矩阵形式矩阵形式 11 22 qn g xutf xut g xutfxut f x u tg xut gxutfxut 为为向向量量函函数数 10 nn np qn qp pqn xAxBu yCxDu A B C D 设系统有 个输入 个输出 个状态变量 则有 系统 状态 矩阵 控制 输入 矩阵 输出矩阵 前馈矩阵 线性系统线性系统状态空间表达式的一般形式状态空间表达式的一般形式 A B C D 为常数阵为常数阵 定常系统定常系统 A B C D 含时变参数含时变参数 时变时变系统系统 系统系统 u t y t 11 DuCxy BuAxx 线性系统状态空间模型的结构图线性系统状态空间模型的结构图 B C A D x xyu 12 例例 R L C R L C串联网络串联网络 输入 输入u u 输出 输出u uc c dt t du C t i t u dt t di L t Ri t u C C 2 x 1 x 2 x 1 x y 2 1 2 1 2 1 x x 10y u 0 L 1 x x 0 C 1 L 1 L R x x 1 x 状态方程状态方程 输出方程输出方程Cxy BuAxx 简记为简记为 t u t u dt t du RC dt t ud LC C C 2 C 2 输入输出方程输入输出方程 13 由由R L CR L C网络的输入网络的输入 输出微分方程求输出微分方程求 状态变量的选择是否唯一 状态变量的选择是否唯一 11 22 1 2 010 11 10 xx u R xx LCLLC x y x 2 x 21 xx 2 x y 1 x 状态方程状态方程 输出方程输出方程 t u t u dt t du RC dt t ud LC C C 2 C 2 该方法具有一般性该方法具有一般性 可用于可用于 输入输出输入输出高阶高阶微分方程微分方程 该方法具有一般性该方法具有一般性 可用于可用于 输入输出输入输出高阶高阶微分方程微分方程 不唯一不唯一 不唯一不唯一 14 同一系统不同状态变量之间的关系 同一系统不同状态变量之间的关系 前例前例R L CR L C网络的两种网络的两种 状态变量为状态变量为 c u i x c c u u x 和和 c c u u x 令令 x u i P 0 C 1 10 C i u u u x c c c c 则则 即即同一系统状态空间模型同一系统状态空间模型的具体形式不唯一 的具体形式不唯一 不同状态变量之间不同状态变量之间存在线性变换关系存在线性变换关系 即即同一系统状态空间模型同一系统状态空间模型的具体形式不唯一 的具体形式不唯一 不同状态变量之间不同状态变量之间存在线性变换关系存在线性变换关系 15 涉及三种类型变量 输入 输出 状态 涉及三种类型变量 输入 输出 状态 对于给定系统 状态空间表达式不唯一 但状态的个数相等对于给定系统 状态空间表达式不唯一 但状态的个数相等 状态的变化与状态的初始值及输入有关 状态的变化与状态的初始值及输入有关 涉及三种类型变量 输入 输出 状态 涉及三种类型变量 输入 输出 状态 对于给定系统 状态空间表达式不唯一 但状态的个数相等对于给定系统 状态空间表达式不唯一 但状态的个数相等 状态的变化与状态的初始值及输入有关 状态的变化与状态的初始值及输入有关 状态空间描述的示意图状态空间描述的示意图 状状态态方方程程 n 2 1 x x x 输输出出方方程程 t u t y DuCxy BuAxx 状态空间表达式的一般形式状态空间表达式的一般形式 线性系统线性系统状态空间模型的结构图状态空间模型的结构图 B C A D x xyu 线性系统线性系统 xf xut yg xut 16 例例 求求3阶微分方程的状态空间表达式阶微分方程的状态空间表达式 系统系统 u t y t t ku t ya dt t dy a dt t yd a dt t yd 01 2 2 2 3 3 2 x 21 xx 3 x y 1 x 3 x 32 xx 3 2 1 3 2 1 2103 2 1 x x x 001y u k 0 0 x x x aaa 100 010 x x x 1 机理分析方法机理分析方法 由微分方程建立状态空间模型由微分方程建立状态空间模型 1 微分方程 微分方程输入量不含导数项输入量不含导数项 酉矩阵酉矩阵 2 5 3线性定常系统状态空间表达式的建立线性定常系统状态空间表达式的建立 1 机理分析方法 机理分析方法 2 实验法实验法 17 ubyayayayay 001 2 n 2n 1 n 1n n 一般规律 输入端不含导数项 一般规律 输入端不含导数项 2 x n1n3221 xx xx xx n x y 1 x 1n x n x x0001y u b 0 0 0 x aaaa 1000 0100 0010 x 01n210 18 Cxy BuAxx 0001c b 0 0 0 b aaaa 1000 0100 0010 A 01n210 即即 输入端含导数项时输入端含导数项时如何建立状态空间表达式 如何建立状态空间表达式 酉矩阵酉矩阵 19 12 1210 1 110 nnn nn nn nn yayaya ya y b ub ubub u 10 21101 322012 11 112 011 nnn nnn n xy h u xxhuy h u hu xxh uy h u hu h u xxh u yh uhuh u 选选取取n n个个变变量量为为 2 微分方程 微分方程输入量含导数项 了解 输入量含导数项 了解 121 232 11 10 nnn xxhu xxh u xxh u yxh u 状状态态方方程程为为 输输出出方方程程为为 XnXn的一阶微分 的一阶微分 h0 h1 h0 h1 hn 1hn 1未知 如何求 未知 如何求 20 12 1210 1 110 nnn nn nn nn yayaya ya y b ub ubub u 112 11011 nnn nnnn xxh uyh uhuh u 01121 0 1 111 0 2 221 120 1112231 0 011221 100 nnn n n n nn n nnn nnnnn nnnn xa xa xax bh u bhah u bhahah u bhahaha h u bahaha ha h u 011 nnn nn xyh uhuh u 1 1 10 211 322 11 nnn xy h u xxhu xxh u xxh u 21 01121 0 1 111 0 2 221 120 1112231 0 011221 100 nnn n n n nn n nnn nnnnn nnnn xa xa xax bh u bhah u bhahah u bhahaha h u bahaha ha h u 0 111 0 221 120 1112231 0 011221 100 n nn nnn nnnnn nnnnn hb hbah hbahah hbahaha h hbahaha ha h 22 1 2 1 0121 0 0100 0010 0001 1000 n nn xAxbu ycxdu h h Ab h aaaah cdh 写写成成向向量量矩矩阵阵形形式式 式式中中 酉矩阵 23 2 6 12 6 1由状态空间模型转化为传递函数 阵 由状态空间模型转化为传递函数 阵 2 6 22 6 2由传递函数转化为状态空间描述由传递函数转化为状态空间描述 应用应用MATLABMATLAB进行模型之间的相互转化 自进行模型之间的相互转化 自 学 学 2 6 2 6 两种模型的相互转化两种模型的相互转化 24 DuCxy BuAxx 空间模型为空间模型为设线性定常系统的状态设线性定常系统的状态 sI A det sI A detDadj sI A BC DBA C sI s U s Y G s 1 系统系统系统系统 u t y t G s 对应的传递函数 阵 为对应的传递函数 阵 为 注意 注意 DU s CX s Y s BU s AX s 0 x sX s 对其进行拉氏变换对其进行拉氏变换 BU s AX s sX s 0 0 x 得得 令初始条件为零令初始条件为零 系统的特征值系统的特征值 为为特征方程 对应的根称特征方程 对应的根称 为系统的为系统的 0 AsIdet 2 6 1 由状态空间模型转化为传递函数 阵 由状态空间模型转化为传递函数 阵 BU s BU s A A sI sIX s X s 1 1 25 设同一系统的两种状态空间表达式为设同一系统的两种状态空间表达式为 BuPxPAPxBuxPAxP 11 DuxPCy DD PCC BPB PAPA 11 DuCxy BuAxx uDxCy uBxAx 和和 则有则有 xPx 非奇异线性变换为非奇异线性变换为存在 存在 1 P 同一系统不同状态空间表达式可以之导出相同的传同一系统不同状态空间表达式可以之导出相同的传 递函数递函数 26 DBAsIC s G 1 线性变换不改变系统的传递函数线性变换不改变系统的传递函数 变换前变换前 变换后为变换后为 s G DBAsIC DBPPAsIPCP DBPAPPsICP DBAsIC s G 1 1 1 1 1 1 1 1 变换关系 变换关系 DD PCC BPB PAPA 11 27 2 1 2 1 2 1 x x 10y u 0 L 1 x x 0 C 1 L 1 L R x x 2 1 2 1 2 1 x x 01y u 1 0 x x L R LC 1 10 x x 1RCsLCs 1 s G 2 由同一系统的不同状态空间表由同一系统的不同状态空间表 达式导出的达式导出的传递函数 阵 必 然相同 由同一系统的不同状态空间表由同一系统的不同状态空间表 达式导出的达式导出的传递函数 阵 必传递函数 阵 必 然相同然相同 例例 R L C串联网络 输入串联网络 输入u 输出 输出y uc 同一系统不同状态空间表达式可以之导出相同的传同一系统不同状态空间表达式可以之导出相同的传 递函数递函数 28 转化的实质 转化的实质 寻找在外部特性上等价的状态空间表寻找在外部特性上等价的状态空间表 达式 使其满足输入输出微分方程或传递函数达式 使其满足输入输出微分方程或传递函数 G s C sI A 1B D 并称该状态空间表达式为该传递函数的一个实现 并称该状态空间表达式为该传递函数的一个实现 这种转换不唯一这种转换不唯一 系统系统系统系统 u t y t G s U s Y s A B C D之前已知 由微分方程转之前已知 由微分方程转 化为状态空间模型化为状态空间模型 2 6 2 2 6 2 由系统传递函数建立状态空间模型由系统传递函数建立状态空间模型 29 直接分解法直接分解法 s a s b asasas bsbsb U s Y s G s 01 1n 1n n 01 1n 1n s H s b s U s a s bY s 1 则则 s UH s s a 设设 G s 为为SISOSISO系统系统 系统系统系统系统 u t y t G s U s Y s A B C D t hb t hb t hb t y t u t ha t ha t ha t h 01 1 n 1n 01 1 n 1n n 2 x n x 1 x n x 引入中间引入中间 变量变量 h t 对该方程的处理类同前面 对该方程的处理类同前面 2 6 2 2 6 2 由系统传递函数建立状态空间模型由系统传递函数建立状态空间模型 时传传递递数数阶阶阶阶 n n 此此函函的的分分子子次次小小于于分分母母次次 即即b 0b 0 30 uha hahahah 01 2 n 2n 1 n 1n n 2 x n1n3221 xx xx xx n x 1 x 1n x n x xbbbby u 1 0 0 0 x aaaa 1000 0100 0010 x 1n210 1n210 1021n1n xbxbxb t y 称为可控规范形称为可控规范形 31 思考 若传递函数思考 若传递函数不是严格真的有理分式不是严格真的有理分式 01 1n 1n n 01 1n 1n n n asasas bsbsbsb U s Y s G s 如何导出状态空间模型的可控规范形 如何导出状态空间模型的可控规范形 1 111100 1 110 n nnnnn n nn n bb asbb a sbb a b sasa sa 由微分方程或传递函数转化为状态空间模型这种转换由微分方程或传递函数转化为状态空间模型这种转换 不唯一不唯一 由同一系统的不同状态空间表达式导出的传递由同一系统的不同状态空间表达式导出的传递 函数 阵 必然相同函数 阵 必然相同 32 练习练习 B2 24 1 2 B2 24 1 2 B2 25 B2 25 B2 26 B2 27B2 26 B2 27 33 二 二 状态空间描述下的运动分析 第三章状态空间描述下的运动分析 第三章3 2 2 0 初初始始值值 x t ax t ku t x t 0 0 0 t a t ta t t x tex t keud 先考虑最简单的情况先考虑最简单的情况 0 若若初初值值x 0 0 t ata t x te x keud 状态的零状态的零 输入响应输入响应 状态的零状态的零 状态响应状态响应 本响应形态本响应形态决定系统的稳定性和基决定系统的稳定性和基 at e X 一维 一维 a k 常数常数 34 1 1 齐次状态方程齐次状态方程 U 0 U 0 的解 的解 状态的零输入响应状态的零输入响应 0k kk22At tA k 1 tA 2 1 AtIe 定义定义 2 2 0 111 1 2 atkkkk k eata ta ta t k k 00 00 x tAx txxt 0 容容易易得得到到方方程程的的解解 At x tex 模仿前面单变量方程的求解模仿前面单变量方程的求解 t e At 状态转移矩阵 记为 状态转移矩阵 记为 1 幂级数法 时域 幂级数法 时域 无穷级数 35 x Ax 上上式式进进行行拉拉氏氏变变换换 0 0 0 0 sX s x t AX s sX s x t AX s sI A X s x t sI A X s x t 将将两两边边 1 0 1 1 用用 sI A 上 sI A 上式式端端 可可得得 左左乘乘 X ssIAx t 两两 1 1 O 0O0 1 1 0 x t L sI A x t t 0 x t x x t L sI A x 经变变换换拉拉普普拉拉斯斯反反得得 2 拉普拉斯变换解法 复域 拉普拉斯变换解法 复域 求解齐次方程求解齐次方程 36 0 2 2 11 0 11 2 Atkk t eIAtA tLA t k LsIAt 对比下面式子对比下面式子 0 11 0 幂级数法 拉普拉斯变换法 At x tex x tLsIAx 状态转移矩阵状态转移矩阵 对于线性定常系统 矩阵指数与状态转移矩阵等对于线性定常系统 矩阵指数与状态转移矩阵等 价 状态转移矩阵是矩阵指数的闭合表示形式价 状态转移矩阵是矩阵指数的闭合表示形式 37 2 2 状态转移矩阵的性质 状态转移矩阵的性质 3 2 33 2 3 p198p198 A t t A t Ie 0 0A 2 1 211020 3 tttttt t nt t t t t tt n 122121 的特例有 的特例有作为 作为 56 5 分段转移特性分段转移特性 可交换性和可交换性和 乘法性乘法性 t x tt t x 0 x t t x 00 或或 系统从系统从t0 时的状态转移到时的状态转移到t时刻的状态 再从时刻的状态 再从t时的状态时的状态 转移回到转移回到t0时的状态时 应保持原来的状态不变时的状态时 应保持原来的状态不变 0 11 0000 4 或或必必有有逆逆 且且逆逆 ttt ttttttttttI 状态先从状态先从t0 转移到转移到t1 再从 再从t1 转移到转移到t2 与它直 与它直 接从接从 t0 转移到转移到t2应是相同的应是相同的 微分特性微分特性 求逆运算求逆运算 初值公式初值公式 38 3 3 状态转移矩阵的计算状态转移矩阵的计算 拉氏变换 复域 法 拉氏变换 复域 法 实用实用 11 AsI L t 定义式计算 定义式计算 2 2 0 1 2 1 Ak k tk eIAtA tA t k 39 对角标准形法 对角标准形法 1 it At i AdiaPgediag eAP 有有 设矩阵设矩阵 A 的的特征值特征值相异 对角变换为相异 对角变换为 0 xe t x tA xPx 1 0 1 1 0 A At t x tex x PP PetP x 利利用用式式得得变变换换 即即 1t1tAAt P e diagPPPee i 40 t2tt2t t2tt2t 1 1At 1 e2ee2e2 eeee2 AsILe 2s 1s s 2s 1s 2 2s 1s 1 2s 1s 3s AsI 2s 1s AsI 3s2 1s AsI 的状态转移矩阵的状态转移矩阵例 计算例 计算 32 10 A 解 解 1 用拉氏变换法计算 用拉氏变换法计算 41 t2tt2t t2tt2t t2 t 1tAAt t2 t tA1 e2ee2e2 eeee2 11 12 e0 0e 21 11 PPe e e0 0e e 20 01 APPA 2 利用对角形变换法计算 利用对角形变换法计算 12 det 0 1 2sIA 两个 求 求得得互互异异的的特特征征值值 11 12 P 21 11 11 P 1 21 有有取取 P201例例3 3 12 12 11 0 1 2 ii i 由由 I A 解 I A 解得得 01 23 A 42 1 1 2 2 22 0 1 12 0 1 t t tt tt e xxt e ete xxt ete 例例 已已知知某某二二阶阶线线性性定定常常系系统统的的零零输输入入响响应应为为 当当 时时 当当 时时 试试求求该该系系统统的的状状态态转转移移矩矩阵阵及及其其逆逆矩矩阵阵 1 2 1 2 1 1 2 2 0 0 0 0 xx xtxt xtt x xtt x 解解 由由于于与与是是线线性性无无关关的的 故故所所给给的的两两个个 解解和和为为系系统统零零输输入入响响应应的的一一组组基基本本解解 于于是是有有 43 2122 1 1 ttt ttt eete t eete 即即 1 2221 1 1 24 2 ttt ttt ttt tt eete t eete etete tetete 1 4 2 2 ttt tt etet t e tetete t 而而 1 2 1 2 0 0 xtxttxx 写写成成如如下下形形式式 44 4 4 非齐次状态方程的解非齐次状态方程的解 U U 0 1 1 1 0 0 0 sX sxAX sBU s sIA X sxBU s sIA X ssIAxsIABU s 拉拉氏氏变变换换 或或者者 左左边边乘乘 可可得得 t Du t Cx t y x x t Bu t Ax t x 初值初值对于对于 0 0 0 AtAt X sL exL eBU s 45 t 0 0 t 0 A tAt d Bu t x t d Bue 0 x ex t 则则 0 0 0 0 t AtA t t y tC exeBudDu t Ct xtBudDu t 0 AtAt X sL exL eBU s 反变换可用卷积积分卷积积分求得 若初值若初值 00 x t x 特性有关 特性有关 与系统初始条件及系统与系统初始条件及系统对于零输入响应部分 对于零输入响应部分 固有特性有关 固有特性有关 输入有关 同时与系统输入有关 同时与系统对于零状态响应 即与对于零状态响应 即与 组成 组成 输入响应和零状态响应输入响应和零状态响应系统的完全响应是由零系统的完全响应是由零 46 和和求求 例 已知例 已知 t y t x x21y t 1u 1 1 0 x u 1 0 x 32 10 x t2tt2t t2tt2t At e2ee2e2 eeee2 e 解 解 t2t t2t t2t t2t t2t t2t t 0 A tAt e3e2 e5 1e25 0 ee3 e5 0e5 0 e4e3 e2e3 d Bue 0 x e t x t2t e5 4e25 0 t Cx t y 参考参考 前面前面 47 练习练习 B3 4B3 4 1 1 B3 5 B3 5 1 1 B3 7 B3 7 48 状态可控性定义与判据状态可控性定义与判据 7 2 1 7 2 1 状态可控性定义状态可控性定义 输入输入u能不能直接控制能不能直接控制状态变量状态变量uc 7 3 7 3 状态可控性判据状态可控性判据 第第7 7章章 状态可控性和状态可观测性的状态可控性和状态可观测性的 定义与判据定义与判据 状态可观测性定义与判据状态可观测性定义与判据 7 2 2 7 2 2 状态可观测性定义状态可观测性定义 输出输出u u1 1能不能确定状态变量能不能确定状态变量 u uc c 7 4 7 4 状态可观测性判据状态可观测性判据 1 u 49 7 2 1 状态可控性状态可控性 问题 问题 所有的状态变量所有的状态变量能否通过能否通过输入输入 u 任意任意 改变 控制 改变 控制 DuCxy BuAxx 线性系统状态空间模型的结构图线性系统状态空间模型的结构图 B C A D x xyu 50 121423 132421 13242413 34 13241324 11 1 1111 0 Lc LL cc xixuR RR R R RR RRR LRRRRLRRRRii uL uu RR CRRRRCRRRR 例例 取取量量 方方程程 选选状状态态变变当当时时为为 虽然虽然 u不能直接控制不能直接控制 uc 但可 但可 以通过控制以通过控制 iL 来间接影响来间接影响uc 可以证明系统是完全可控的 可以证明系统是完全可控的 1112 2122 1 LLc cLc iaiauu L uaia u 7 2 1 状态可控性状态可控性 51 1324 1324 1324 1 0 1 111 0 0 LL cc R RR R LRRRRii uL uu CRRRR 选状态变为当时状态为 1L2c14231L2c1423 例例 取取量量x i x u x i x u R R R R方R R R R方程程 显然 通过显然 通过 u 可以控制状可以控制状 态变量态变量 iL 但不能控制 但不能控制 uc 所以系统是不完全可控的 所以系统是不完全可控的 c22c L11L ua u u L 1 ia i 可控是有条件的可控是有条件的 52 可控性定义可控性定义 0 01 1 t t u t x tx x tAx tBu t t 存存在在 某某一一初初始始状状 态态转转移移到到任任一一终终端端状状态态 对对于于若若 能能在在 有有限限的的时时间间区区间间内内 使使系系统统由由 则则 状状态态 称称系系统统是是 可可控控的的 如果系统中的如果系统中的所有状态是可控所有状态是可控的 则的 则系统是完全可控系统是完全可控 的的 如果只有对 如果只有对部分状态变量部分状态变量可以做到这一点 则可以做到这一点 则系系 统不完全可控的统不完全可控的 若对状态空间的若对状态空间的任一非零状态任一非零状态 x t0 都存在一个有限都存在一个有限 时刻时刻 t1 t0 和一个容许控制和一个容许控制 u t0 t1 能在能在t1时刻使状态时刻使状态 x t1 0 说明 不计较说明 不计较x的轨迹如何的轨迹如何 简化简化 53 7 37 3线性连续系统的可控性判据线性连续系统的可控性判据 7 3 17 3 1线性定常系统线性定常系统的可控秩判据的可控秩判据 DuCxy BuAxx 一般情况下 对于任意给定的一般情况下 对于任意给定的 A B 系统是否可 系统是否可 控 控 54 1 1 可控性判据可控性判据 1n 1 0 1n t 0 k 1n 0k k BAABBd u BA 0 x 1 0d Bue 0 x e t x 1 11 t 0 A ttA 1 即 即转移到转移到 内将内将在在根据可控性定义 希望根据可控性定义 希望 0 t x 0 x 1 t 0 1 1 t 0 A d Bue 0 x 1n 1 0i d u 1 t 0 ii 式中式中 2 2 0 1 1 011 0 11 2 Atkk k n nk nk k eIAtA tA t k t It Att AA 凯莱凯莱 哈密尔顿哈密尔顿 Cayley Hamilton 定理定理 非零非零 有解有解 55 结论 线性定常系统结论 线性定常系统完全可控的充要条件为完全可控的充要条件为 nBAABBrankQrank 1n c 满秩 满秩 件为件为上式有解的充分必要条上式有解的充分必要条BAABB 1n Qc 可控性判别阵 可控性判别阵 系统的系统的可控性可控性是由是由系统的系统的A B矩阵唯一确定矩阵唯一确定 系统可控性反映了系统的固有属性 系统可控性反映了系统的固有属性 与输入及干扰与输入及干扰 具体形式无关具体形式无关 与初始时刻与初始时刻t0的选取无关的选取无关 56 可控 可控 则则若若 则不可控则不可控对于单输入系统 若对于单输入系统 若 0Qdet 0Qdet c c 是否为零来判断可控性是否为零来判断可控性可根据可根据 不是方阵不是方阵对于多输入系统 对于多输入系统 T cc T ccc c QQdet Qrank QQrank Q 其中r为B阵的秩 其中r为B阵的秩 是否成立是否成立 判据为判据为对于多输入系统 简化对于多输入系统 简化 nBAB AB rank rn 关于可控性判别阵的说明 关于可控性判别阵的说明 57 u t R1R2 C2 y x1 x2 C1u CR 1 CR 1 x x CR 1 0 0 CR 1 x x 22 11 2 1 22 11 2 1 系统的状态方程为系统的状态方程为 R1 C1 R2 C2 时时 det Qc 0 Qc 满秩 系统状态完全可控 满秩 系统状态完全可控 但但 R1 C1 R2 C2 时时 det Qc 0 Qc 不满秩 系统状态不完全不满秩 系统状态不完全 可控 可控 2 2 2 222 2 1 2 111 c CR 1 CR 1 CR 1 CR 1 ABBQ 判断系统在什么条件下是完全可控的 判断系统在什么条件下是完全可控的 CR 1 CR 1 CRCR 1 Q 22112211 c 58 解 解 rank B 2 简化判别阵为简化判别阵为 2 1 3 2 1 3 2 1 u u 10 01 10 x x x 110 010 011 x x x 例 判断下列多输入系统的可控性例 判断下列多输入系统的可控性 1110 0101 1110 ABBBAABBQ rn 1c 0 313 121 313 detQQdet T 1c1c 系统是系统是不完全可不完全可 控的控的 或简称 或简称为为 系统不可控系统不可控 59 矩阵矩阵 A 的对角化的对角化 1 矩阵矩阵A的特征值的特征值 i 互异互异 可变换 可变换为对角形为对角形 设变换矩阵设变换矩阵P为为 n1n21 PP PPP 的特征向量 的特征向量 为矩阵A对应特征值为矩阵A对应特征值 P P i ii i n 2 1i 0P AI n 2 1i APP ii iii 即即 diagAPPA i 1 线性定常系统的线性定常系统的对角线规范形对角线规范形与与约当规范形约当规范形 2 可控性特征判据可控性特征判据 需要指出状态能控性的性质需要指出状态能控性的性质 线性定常系统经线性定常系统经线性变线性变 换后状态能控性保持不变换后状态能控性保持不变 7 57 5有证明 有证明 定理 线性定常系统 若其定理 线性定常系统 若其特征值互不相同特征值互不相同 则必存在一 则必存在一非非 奇异矩阵奇异矩阵P P 通过线性变换 使 通过线性变换 使A A阵化为对角形阵化为对角形 60 变换矩阵变换矩阵P的计算的计算 方法一 方法一 先求矩阵先求矩阵 A 的特征值的特征值 i i 1 2 n 由由 i I A Pi 0 确定每一个确定每一个 i 所对应的特征所对应的特征 列 列 向量向量 Pi i 1 2 n 特征向量不唯一 特征向量不唯一 线性变换矩阵线性变换矩阵P P1 P2 Pn 方法二 若方法二 若矩阵矩阵A为可控规范形 酉矩阵 为可控规范形 酉矩阵 且 且特征值特征值 互异互异 则实现对角化的一个变换阵为范得蒙 则实现对角化的一个变换阵为范得蒙 Vandermonde 矩阵 矩阵 P 1n n 1n 2 1n 1 2 n 2 2 2 1 n21 1 1 1 P 0121 11 110 0100 0010 0001 n nn n A aaaa IAaaa 61 例 已知例 已知 5 11 6 6 11 6 1 1 0 A试求对角化变换矩阵试求对角化变换矩阵P T 31211111 321 p ppP1 3 2 1 0A Idet 的特征向量的特征向量设属于设属于 得得由由 得得则由则由0A PI 11 解 解 T 1 0 1 P 1p 0p 1p 1 312111 即即 可解得可解得取取 0p6p11p6 0p6p10p6 0pp p 312111 312111 312111 特征向量不唯一特征向量不唯一 满足比例关系满足比例关系 62 3 2 1 APPA 9 4 1 6 2 0 1 1 1 P 9 6 1 P 4 2 1 P 32 1 3 2 32 T T 验证验证 的特征向量分别为的特征向量分别为 和和于于用同样的方法可求得属用同样的方法可求得属 63 6 11 6 1 0 0 0 1 0 A 例 例 试求变换矩阵试求变换矩阵P 解 解 3 2 1 APPA 9 4 1 3 2 1 1 1 1 1 1 1 P A 3 2 1 0A I 1 2 3 2 2 2 1 321 321 验算验算 为可控规范形为可控规范形 得得由由 64 2 矩阵 矩阵A 有有多重特征值多重特征值 可变换为 可变换为约当标准形约当标准形 1 1 11 1 100 00 10 000 0 m n Ap Ap 1231mmn ppppppp 若若A有有m个重实根 其余个重实根 其余n m个为互异实数特征值 个为互异实数特征值 但在求解但在求解 时 只有时 只有1个独立的实特征向量个独立的实特征向量 p1 则可化则可化A为约当阵为约当阵 iii App A 约当块约当块 65 4 2 3 2 0 1 5 6 0 A A例 例 2 3 1 求将矩阵 求将矩阵A变换为约变换为约当形的变换矩阵当形的变换矩阵P 解 解 设属于设属于 1的特征向量为的特征向量为P1 T 2 1 2P 2p 1p2p 0A PI 1 312111 11 则求得则求得取取 其特征值为 其特征值为 1 2 123 1 1 1212 1 100 00 001 000 m mm p ppp pppA ppp 其中其中满足满足 66 232 22 32 PP AI 0P AI 方程方程列列下下满足满足 P P和和P P的特征向量的特征向量双重特征值双重特征值 3 32 2 100 110 002 APPA 49 46 49 22 1 PP p p p 3 2 3 2 1 1 5 6 1 7 5 7 3 1P1p 1 T 32 33 23 13 T 212 约当标准形为约当标准形为 则求得则求得若取若取 2 2 1 1 00 10 00 APPA 67 可控性可控性对角线规范形对角线规范形判据 结论判据 结论7 27 2 p101p101 具有具有两两相异特征值两两相异特征值的线性定常系统状态为的线性定常系统状态为完全可控完全可控 的的充分必要条件是 由其导出的对角线规范形充分必要条件是 由其导出的对角线规范形 1 2 n xxBu 其输入矩阵其输入矩阵 1 P B B 不含有全为零元素的行不含有全为零元素的行 68 线性定常系统状态为完全可控的充分必要条件是 线性定常系统状态为完全可控的充分必要条件是 由其导出的由其导出的约当规范约当规范形形 11 22 nn JB JB xxu JB 可控性可控性约当规范形约当规范形判据 结论判据 结论7 37 3 p102p102 其中其中等特征值等特征值的的各约当块各约当块末行末行所对应所对应的的 阵的那些行 阵的那些行 应线性无关应线性无关 B 互异特征值互异特征值的的各约当块各约当块末行末行所对应所对应的的 阵的那些行 阵的那些行 不能全为零元素 不能全为零元素 B 69 u 5 2 xx 50 07 1 解 解 1 1 由定理可知由定理可知 A A为特征值互异的对角线矩阵为特征值互异的对角线矩阵 且且B B中各行不全为零中各行不全为零 故系统状态完全能控 故系统状态完全能控 例例 试判断如下系统的状态能控性 试判断如下系统的状态能控性 41000 2 04000 00311 xxu 2 2 A A的的每个特征值都只有一个约旦块每个特征值都只有一个约旦块 但对应于但对应于 特征值特征值 4 4的约旦块的的约旦块的B B的分块的最后一行全为零的分块的最后一行全为零 故故 状态状态x1x1和和x2x2不能控 或是不能控 或是X1X1或是或是X2X2不能控 不能控 则系统则系统 状态不完全能控 状态不完全能控 00 11 00 思考 70 例 考察下列系统状态和各状态变量的可控性 例例 考察下列系统状态和各状态变量的可控性 例7 7 p103 40001 02000 00102 00030 1 100 xx u yx 解 由状态空间表达式可知 解 由状态空间表达式可知 A A为特征值互异的对角为特征值互异的对角 线矩阵线矩阵 但但B B中有两行均为零元素中有两行均为零元素 故系统状态为不完故系统状态为不完 全可控 全可控 其中其中x1x1和和x3x3为可控状态 为可控状态 x2x2和和x4x4为不可控状态为不可控状态 71 例 分析下列系统各状态变量的可控性 例例 分析下列系统各状态变量的可控性 例7 8 p104 2040 21000 02100 2007 31110 03000 xxu 解 由状态空间表达式可知 解 由状态空间表达式可知 A A为约当规范性矩阵为约当规范性矩阵 系统有四重的系统有四重的 特征值特征值 1 2 1 2 和两重特征值和两重特征值 2 32 3 1 21 2有有3 3个约当块 各约当块最后一行所对应的个约当块 各约当块最后一行所对应的B B阵阵中的那些中的那些 行行 线性无关 线性无关 x1 x2 x3 x4x1 x2 x3 x4均为可控状态变均为可控状态变 量 量 2 3 该约当块所对应的 该约当块所对应的B阵的末行全为零元素 阵的末行全为零元素 x6为不可为不可 控状态变量 控状态变量 x5为可控状态变量 为可控状态变量 040 100 007 72 对对可控性可控性约当规范形约当规范形判据判据作两点说明作两点说明 1 状态能控性特征值判据讨论的是约旦规范形状态能控性特征值判据讨论的是约旦规范形 对 对 角线规范形是约旦形的特例 角线规范形是约旦形的特例 若系统的状态空间模型不为约旦规范形若系统的状态空间模型不为约旦规范形 则可根则可根 据线性变换不改变状态能控性的性质据线性变换不改变状态能控性的性质 先将状态空间先将状态空间 模型变换成约旦规范形模型变换成约旦规范形 然后再利用定理来判别状态然后再利用定理来判别状态 能控性能控性 2 定理不仅可判别出状态能控性定理不仅可判别出状态能控性 而且更进一步地而且更进一步地 指出是系统的指出是系统的哪一特征值或极点或哪一状态不能控哪一特征值或极点或哪一状态不能控 这对于进行系统分析和反馈校正是非常有帮助的 这对于进行系统分析和反馈校正是非常有帮助的 注意 当注意 当A阵为阵为特征值相同的对角阵特征值相同的对角阵时 时 可控性对角线可控性对角线 判据判据不成立不成立 101 011 xxu 直观地看 似乎每个状态变直观地看 似乎每个状态变 量都受输入量都受输入u的控制 但该系的控制 但该系 统是不完全可控的 统是不完全可控的 73 约当规范形判据约当规范形判据应用时需将一般的状态空间 模型变换成约旦规范形 属于一种间接方法 PBH特征值判据特征值判据是是另一种形式的状态能控性 判据 是一种直接法 定理 定理 线性定常连续系统线性定常连续系统 A B A B 状态完全能状态完全能 控的充必条件为控的充必条件为 对于所有的对于所有的 下式成立下式成立 rank rank i iI A B nI A B n 3 PBH3 PBH特征值判据 了解 特征值判据 了解 74 1 det 单单输输入入线线性性定定常常系系统统为为状状态态完完全全可可控控 的的充充要要条条件件是是 其其输输入入 状状态态传传递递函函 分分子子分分母母没没有有公公因因子子 简简称称无无零零极极相相消消 数数阵阵 adj sIA sIAbb sIA A b 注意注意 结论结论7 6 单输入系统单输入系统可控性可控性零极相消判据零极相消判据 了解 了解 P105 例例7 9 说明 对多输入多输出系统不适用说明 对多输入多输出系统不适用 75 11 22 1 11 010 xx u xx 解 解 1 222 1 11 11010 1 00 1 1 1 1 1 01 ss ss sIAb sss s 零极相消零极相消 例 例 判断下面系统的可控性判断下面系统的可控性 系统不完全可控系统不完全可控 76 能控性判据小结能控性判据小结 判定方法判定方法特点特点判据判据 代数判据代数判据 约旦规范形约旦规范形 判据判据 PHBPHB特征值特征值 判据判据 能控性矩阵能控性矩阵Q Qc c B B ABAB A An n 1 1B B 满秩满秩 约旦标准形中同一特约旦标准形中同一特 征值对应的征值对应的B B矩阵分块矩阵分块 的最后一行线性无关的最后一行线性无关 对于所有特征值对于所有特征值 rank rank I I A A B B n n 1 1 计算简便可行 计算简便可行 2