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计算机图形学作业答案 第二章图形系统 1 什么是图像的分辨率 解答 在水平和垂直方向上每单位长度 如英寸 所包含的像素点 的数目 2 计算在240像素 英寸下640 480图像的大小 解答 640 240 480 240 或者 8 3 2英寸 3 计算有512 512像素的2 2英寸图像的分辨率 解答 512 2或256像素 英寸 第3章 二维图形生成技术 a 一条直线的两个端点是 0 0 和 6 18 计算x从0变到6 时y所对应的值 并画出结果 解答 由于直线的方程没有给出 所以必须找到直线的方程 下面 是寻找直线方程 y mx b 的过程 首先寻找斜率 m y x y2 y1 x2 x1 18 0 6 0 3 接着b在y轴的截距可以代入方程y 3x b求出 0 3 0 b 因此 b 0 所以直线方程为y 3x b 使用斜截式方程画斜率介于0 和45 之间的直线的步骤是什么 解答 1 计算dx dx x2 x1 2 计算dy dy y2 y1 3 计算m m dy dx 4 计算b b y1 m x1 5 设置左下方的端点坐标为 x y 同时将xend设为x 的最大值 如果dx 0 那么x x1 y y1和xend x2 6 测试整条线是否已经画完 如果x xend就停止 7 在当前的 x y 坐标画一个点 8 增加x x x 1 9 根据方程y mx b计算下一个y值 10 转到步骤 6 c 请用伪代码程序描述使用斜截式方程画一条斜率介于45 和 45 即 m 1 之间的直线所需的步骤 解答 假设线段的两个端点为 x1 y1 和 x2 y2 且y1 y2 int x x1 y y1 float xf m y2 y1 x2 x1 b y1 mx1 setPixel x y 画一个像素点 while y y2 y xf y b m x Floor xf 0 5 setPixel x y d 请用伪代码程序描述使用DDA算法扫描转换一条斜率介于 45 和45 即 m 1 之间的直线所需的步骤 解答 假设线段的两个端点 x1 y1 和 x2 y2 且x1 x2 int x x1 y float yf y1 m y2 y1 x2 x1 while x x2 y Floor yf 0 5 setPixel x y x yf yf m e 使用Bresenham算法画斜率介于0 和45 之间的直线所需的步 骤 解答 11 计算初始值 dx x2 x1 Inc2 2 dy dx dy y2 y1 d Inc1 dx Inc1 2dy 12 设置左下方的端点坐标为 x y 同时将xend设为x 的最大值 如果dx 0 那么x x1 y y1和xend x2 13 在当前的 x y 坐标画一个点 14 判断整条线段是否已经画完 如果x xend就停止 15 计算下一像素的位置 如果dy就停止 21 以中心 h k 为对称点 对当前的 x y 坐标画8 个圆上的点 plot x h y k plot x h y k plot y h x k plot y h x k plot y h x k plot y h x k plot x h y k plot x h y k 其中plot a b 表示以给定的参数为中心画一个小块 22 计算下一个像素的位置 如果d 0 那么d d 4x 6 和x x 1 如果d 0 那么d d 4 x y 10 x x 1和y y 1 23 转到步骤 2 h 给定数据点P0 0 0 P1 1 2 P2 2 1 P3 3 1 P4 4 10 P5 5 5 用三次B样条插值法插值这些数据点 求出曲线 并找出定义三次B样条的节点集t0 t9 解答 m 3 n 5 选择节点集可以有两种方案 1 选择 其余的节点按以下方式选择 故 2 三次样条的另一种方案是 其余节点按以下方式选择 I 0 n 4 故 t4 2 t5 3 两种方法选择节点集 其根据是数据点沿x轴为等间距 第4章 图形的裁剪及几何变换 a 写出实现下述映射的规范化变换 将左下角在 1 1 右上 角在 3 5 的窗口映射到 a 规范化设备的全屏幕视区 b 左下角在 0 0 右上角在的视区 解答 a 窗口参数是 视区参数是 那么且 b 窗口参数同 a 视区参数是 那么且 b 设R是左下角L 3 1 右上角为R 2 6 的矩形窗口 请写出图中的线段端点的区域编码 图5 6 P90 解答 点 x y 的区域编码根据下面的模式设置 比特1 sign y ymax sign y 6 比特3 sign x xmax sign x 2 比特2 sign ymin y sign 1 y 比特4 sign xmin x sign 3 x 此处 因此 A 4 2 0001 B 1 7 1000 C 1 5 0000 D 3 8 1010 E 2 3 0000 F 1 2 0000 G 1 2 0100 H 3 3 0010 I 4 7 1001 J 2 0 1000 Xmin 3 Xmax 2 ymax 6 ymin 1 A 4 2 F 1 2 E 2 3 G 1 2 H 3 3 C 1 5 D 3 8 I 4 2 J 2 10 B 1 7 x y c 求垂直线x和水平线y与四边形平行坐标轴的矩形裁剪窗口的交 点 写出线段 从到 与 a 垂直线x a b 水平线y b的 交点 解答 线段的参数方程是 a 因为 将它代入方程得到 然后把此值再代入方程 则 交点是和 b 因为 将它代入方程得到 然后把此值再代入方程 则 交点是和 d 如何判断一个点P x y 是在由A x1 y1 和B x2 y2 所连接 的线段的左边还是右边 解答 参见图所示 对于向量AB和AP 如果P点在AB的左边 根据两 个向量叉乘的定义 向量AB AP的方向是向量K 即xy平面的正交 方向 如果在右边 叉乘方向为 K 此时 P B AB AP K A 因此 这个叉乘的方向由下式确定 e 如果是正的 P在AB的左边 如果是负的 P在AB的右边 f 根据一个对象点绕原点旋转的旋转变换 写出对应的矩阵表 示 解答 根据sin和cos的三角函数定义计算得到 x r cos y r sin 和 x r cos y r sin 根据三角公式 得出 r cos r cos cos sin sin x cos y sin 和 r sin r sin cos cos sin x sin y cos 或 x x cos y sin y x sin y cos 设P P 且 则可得出 g a 写出对象绕原点旋转的旋转变换矩阵 b 设点为 P 2 4 旋转后的新坐标是什么 解答 c 根据上题 R30 d 新的坐标可以通过矩阵乘法得到 h 写出点Q x y 绕定点P h k 旋转的旋转变换 解答 通过三步确定 1 平移对象 使它的旋转中心P与原点重合 2 绕原点旋转 3 将P平移回 h k 使用v h I k J作为平移向量 可通过组合变换得到 i 写出下列关于原点的缩放变换 a 在X轴方向缩放a单 位 b 在Y轴方向缩放b单位 c 同时分别在X轴方向缩放a单 位 在Y轴方向缩放b单位 解答 e 点P x y 缩放变换后得到点 ax y 可以用形式 Sa 1 P的矩阵表示 即 f 与 a 类似 可以用形式S1 b P的矩阵表示 即 g 在两个方向上的缩放可以通过x ax和y by变换得到 Sa b P 写成矩阵形式有 j 写出以直线L作为反射轴的反射变换矩阵 解答 设图中所示的直线L交y轴于B 0 b 倾斜角为 与x轴夹 角 然后用已知的交换来描述整个过程 24 平移交点B到原点 25 旋转 使直线L跟x轴重合 26 关于x轴镜面对称 27 旋转回到原方向 28 将B平移回 0 b 其交换表示为 ML Tv R Mx R T v 其中 v bJ P P x y k 矩阵被称为同时错切变换或简称错切变换 在b 0的特例下叫 x方向错切变换 a 0时叫y方向错切变换 说明这个变换在a 2 和b 3时对正方形A 0 0 B 1 0 C 1 1 D 0 1 进行变换的结果 解答 图中 a 是原始正方形 图 b 是x方向错切变换 图 c 是y方 向错切变换 图 d 是在两个方向上的错切变 换 d c b a B 1 3 C 3 4 D 2 1 A C 1 4 B 1 3 D A B A D B A D 2 1 C 3 1 C 1 1 l 寻找圆方程对应的xy坐标方程 假设x y 坐标是通过对xy坐标 在x方向缩放a单位 在y方向缩放b单位得到的 解答 由坐标缩放变换方程可以得到 进行替换 得到 应注意缩放的结果 圆方程经过变换后变为xy坐标系的椭圆方程 m 写出直线方程对应的xy坐标方程 假设坐标系是由xy坐标系旋 转90 得到 解答 旋转坐标变换方程可以写成 代入原方程式得到 写成y的方程式 得 第5章 交互技术及用户接口 第6章 三维形体的表示 第7章 三维形体输出流水线 a 二次旋转变换定义为先绕x轴再绕y轴旋转的变换 a 写出 这个变换的矩阵 b 旋转的先后顺序对结果有影响吗 解答 a 通过组合两个旋转矩阵可以得到变换T b 通过可以得到变换矩阵 这个矩阵与 a 的不同 所以旋转的顺序有影响 b 旋转轴L是向量V和通过轴的点P决定的 试写出绕L轴旋转 的变换 解答 通过下面步骤找到要求的变换 29 将P平移到原点 30 使V平行于向量K 31 绕K旋转 32 逆变换步骤 2 和 1 因此有 c 写出关于xy平面对称面的镜面反射变换 解答 由图得知P x y z 得对称点是 x y z 其反射变换是 P x y z P x y z y x z d 用原点作为投影中心 请写出满足下述条件的透视变换 通过 点R0 x0 y0 z0 并且有法线向量 解答 设P x y z 点投影到点 向量和方向相同 因此存在一个数 使得且 现在求 得值 因为所有在视平面上的点满足下面的方程 其中 将代入方程得到 这个投影变换不能用3 3矩阵变换公式表示 但是使用齐次 坐标表示三维点时 可以写出投影变换得4 4矩阵 P x y z N n1I n2J n3K P x y z y x z 将此矩阵与点P的齐次坐标表示P x y z 1 连接运算 得到 这就 是上面所得到的齐次坐标 e 写出投影到视平面z d的透视投影 其中投影中心在原点 0 0 0 解答 平面z d平行于xy平面 且距离为d个单位 因此视平面的法线向 量N和xy平面的法线向量K 即N K 选择R0 0 0 d 视见参考 点 根据上题可以确定参数 因此 所以投影矩阵是 f 写出投影到xy平面 方向是的平行投影方程 解答 从可以看出向量V和有相同方向 即 比较分量 则有 因此 在3 3的矩阵形式中 有 P x y 0 V a1 b3 cK P x y z 所以 g 如何确定一个点P在观察体的内部还是外部 解答 一个平面空间将空间分成两部分 平面的一般方程是 对于任意点P x y z 若定义一个标量函数f P 有 如果sign f P sign f Q 那么说P点和Q点在同一边 相 对平面而言 令和分别表示顶平面 底平面 左平面 右平面 近平面 远平面 另外 L和R分别是窗口的左下角点和右上角点 且Pb和Pf分别是后 裁剪平面和前裁剪平面的参考点 那么如果下面都成立 则P点在观察体内 对于平面fr来说 P和L在同一边 对于平面fB来说 P和R在同一边 对于平面fR来说 P和L在同一边 对于平面fL来说 P和R在同一边 对于平面fN来说 P和Pb在同一边 对于平面fF来说 P和Pf在同一边 相当于 sign fT P sign fT L sign fL P sign fL R sign fB P sign fB R sign fN P sign fN Pb sign fR P sign fR L sign fF P sign fF Pf h 对于三维Cohen Sutherland裁剪算法 下述观察体作为裁剪区 域时 线段端点的区域编码分别是什么 a 规范化平行观察 体 b 规范化透视观察体 解答 整个过程逻辑上可以参照第5章的二维裁剪算法 在三维情况下 描 述观察体的平面把三维空间分成6个重叠的外部区域 即观察体的上 下左右 加上观察体的内部 因此需要用6比特区域编码 设 P x y z 为端点的坐标 a 对于规范化平行观察体 根据下述规定把每个比特设 为真 1 或假 0 比特1 端点在观察体上方 sign y 1 比特2 端点在观察体下方 sign y 比特3 端点在观察体右方 sign x 1 比特4 端点在观察体左方 sign x 比特5 端点在观察体后方 sign z 1 比特6 端点在观察体前方 sign z 如果 a 为正的 则sign a 1 否则为0 b 对于规范化平行透视体 比特1 端点在观察体上方 sign y z 比特2 端点在观察体下方 sign z y 比特3 端点在观察体右方 sign x z 比特4 端点在观察体左方 sign z x 比特5 端点在观察体后方 sign z 1 比特6 端点在观察体前方 sign P zf z 线段的分类是 1 如果两个区域编码都是000000 则为可见线段 2 如果两个区域编码的按位与操作不是000000 则为完全不可见线 段 3 如果两个区域编码的按位与操作是000000 则为要裁剪线段 i 写出线段与下述规范化观察体边界平面相交的交点 a 平行 投影 b 透视投影 解答 设P1 x1 y1 z1 和P2 x1 y1 z1 为线段的两个端点 线段的参数 方程是 交点参数是 其中N是法线向量 R0是平面的参考点 a 平行规范化观察体边界平面是x 0 x 1 y 0 y 1 z 0和z 1 对于平面x 1 有N I和R0 1 0 0 所 以有 如果0 t1 1 线段与平面有交点 交点坐标为 同理可以求出与其他平面的交点 b 透视规范化观察体边界平面是x z x z y z y z z zf和z 1 为了求出与x z平面的交点 将平面方程 写成x z 0 根据这个方程 有法线向量N I K 参考 点是R0 0 0 0 所以有 如果0 t1 1 则将代入线段的参数方程计算交点 同理可以求出与其 他平面的交点 第8章 消隐及真实感图形生成技术 a 已知点P1 1 2 0 P2 3 6 20 和观察点P3 2 4 6 试判断从C 0 0 10 观察时 哪个点挡了其他点 解答 连接观察点C 0 0 10 和点P1 1 2 0 的直线是 x t y 2t z 10 10t 为了判断P2 3 6 20 是否在这条线上 可以将点带入方程 得x 3时t 3 在t 3时x 3 y 6 z 20 所以P2在过C点和P1点的 投影线上 接着以C为基准 判断哪个点在前面 C P1 P2分别在这条线的t 0 1 3位置上 由t值可知 P1在P2前面 即P1遮挡了P2 现在判断P3 2 4 6 是否在这条线上 x 2时t 2 y 4 z 10 所以P3 2 4 6 不在这条投影线上 既没有遮挡P1 P2 也 没有被P1 P2遮挡 b 为什么需要隐藏面消影法 解答 需要用隐藏面消影法来判断哪些物体和表面遮挡了放在它们 后面的物体和表面 从而产生更逼真的图像 c 需要用哪两步判断给定的点P1 x1 y1 z1 是否遮挡了另一 个点P2 x2 y2 z2 解答 必须判断 1 两个点是否在同一个投影线上 2 如果 是 哪个点在另一个点前面 d 为什么在平行投影时更容易确定隐藏面 解答 平行投影没有灭点 因而 任意点P a b z 和其他有同 样x和y坐标的点位于同一投影线上 这样只需比较z来判断哪个点更 靠近观察者 e Z缓冲器算法是怎样判断哪个面应消影的 解答 Z缓冲器算法设置了一个二维数组 类似于帧缓冲器 但是 Z缓冲器存放的是每个像素点的深度值 而不是帧缓冲器中的颜色 值 Z缓冲器的初始值设置为某个大的数值 通常是后裁剪平面的距 离 在判断像素 x y 上的哪个平面更靠近观察者时 就可以简 单的比较Z缓冲器中的深度值和当前平面的深度值 如果当前平面的 值比Z缓冲器中的值小 即距视点更近 则用新值替换原Z缓冲器 中的值 像素的颜色值也变成新平面的颜色值 f 局部光照模型和全局光照模型的不同之处是什么 解答 局部光照模型主要是考虑光源发出的光对物体的直接影响 另外 全局光照模型除了处理光源发出的光之外 还考虑其他辅助光的影 响 如光线穿过透明或半透明物体 以及光线从一个物体表面反射 到另一个表面等 g 物体的颜色很大程度上取决于它的漫反射系数 如果kd 0 8 0 4 0 且光源是蓝色的 那么物体是什么颜色的 解答 黑色 由kd得知 物体不反射蓝光 又光源没有红光和绿 光 h 参见上题 如果光源用品红色的 会是怎样的情况 解答 红色 因为物体只反射品红色光的红色部分 i 假设点P1在扫描线y1上且亮度为I1 点P2在扫描线y2上且亮度为 I2 给出y方向上的递推公式 该公式可以用线性插值计算P1和P2 之间所有扫描线的亮度值I 解答 设P1为开始点 则从一条扫描线到下一条扫描线的亮度变化 值为 所以 且 其中i 2 y2 y1 j 参见上题 如果在第5条线上的点P1有RGB颜色 1 0 5 0 在第15条线上的点P2有RGB颜色 0 2 0 5 0 6 那么在 第8条线上的点是什么颜色 解答 因为 所以有为第8条线上点的颜色 11 说出表面明暗处理的三个部分和用于计算每个部分的辅助光 线 解答 局部贡献 阴影光线 反射光贡献 镜面反射光线 和透 射光贡献 镜面透射光线 12 一束光线表示为 其中且 分别求出对应于t 0 1 2 5和3的 光线上的