高中数学 小专题复习课（四）立体几何课件 理 新人教A版.ppt

小专题复习课 四 立体几何 热点一空间几何体的三视图1 如图是长和宽分别相等的两个矩形 给定下列三个命题 存在三棱柱 其正视图 俯视图如图 存在四棱柱 其正视图 俯视图如图 存在圆柱 其正视图 俯视图如图 其中真命题的个数是 a 3 b 2 c 1 d 0 解析 选a 存在直三棱柱 其三视图中有两个为矩形 一个为直角三角形满足条件 故 为真命题 存在正四棱柱 其三视图均为矩形 满足条件 故 为真命题 对于任意的圆柱 其三视图中有两个为矩形 一个是以底面半径为半径的圆 也满足条件 故 为真命题 故选a 2 如图 某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形 且体积为则该几何体的俯视图可以是 解析 选c 方法一 体积为 而高为1 故底面积为 选c 方法二 选项a得到的几何体为正方体 其体积为1 故排除a 而选项b d所得几何体的体积都与 有关 排除b d 易知选项c符合 3 某四面体的三视图如图所示 该四面体四个面的面积中 最大的是 a 8 b c 10 d 解析 选c 该四面体是四个面均为直角三角形的四面体 其面积分别为6 8 10 故最大面积为10 4 若正三棱锥的正视图与俯视图如图所示 单位 cm 则它的侧视图的面积为 cm2 解析 由正视图和俯视图可知 侧视图的底边长为俯视图的高即侧视图的高为正视图的高所以侧视图的面积为 cm2 答案 热点二空间几何体的表面积与体积的计算问题1 2013 济南模拟 一个几何体的三视图如图所示 单位 cm 则此几何体的表面积是 a 80 cm2 b 84cm2 c 96 cm2 d 96cm2 解析 选a 由三视图可得该几何体是正四棱锥与正方体的组合 s表面积 2 若某几何体的三视图 单位 cm 如图所示 则此几何体的体积为 a cm3 b 70 cm3 c cm3 d 100 cm3 解析 选a 由三视图可知 该几何体上部是一个圆台 下部是一个半球 故其体积为故选a 3 一个几何体的三视图如图所示 其中正视图是一个正三角形 则这个几何体的外接球的表面积是 a b c d 解析 选b 根据三视图还原几何体为一个如图所示的三棱锥d abc 其中平面adc 平面abc adc为等边三角形 取ac的中点为e 连接de be 则有de ac 所以de 平面abc 所以de eb 由图中数据知ae ec eb 1 设此三棱锥的外接球的球心为o 则它落在高线de上 连接oa 则有所以故球o的半径为故所求几何体的外接球的表面积故选b 4 2013 海淀模拟 某几何体的正视图与俯视图如图所示 侧视图与正视图相同 且图中的四边形都是边长为2的正方形 两条虚线互相垂直 则该几何体的体积是 a b c 6 d 4 解析 选a 由三视图知 该几何体是正方体挖去一个以正方体的中心为顶点 以正方体的上面为底面的四棱锥后的剩余部分 其体积为故选a 热点三有关线 面位置关系和命题真假的判断1 设l m是两条不同的直线 是一个平面 则下列命题正确的是 a 若l m m 则l b 若l l m 则m c 若l m 则l m d 若l m 则l m 解析 选b 根据线线 线面位置可知 a中l可在 内或者与 相交但不垂直或者l与 平行 c中l与m也可以垂直或异面 d中l与m也可以异面或相交 故选b 2 设 为平面 l m n为直线 则m 的一个充分条件为 a l m l b n n m c m d m m 解析 选b 如图 知a错 如图 知c错 如图 在正方体中 两侧面 与 相交于l 都与底面 垂直 内的直线m 但m与 不垂直 故d错 由n n 得 又m 则m 故b正确 3 2013 武汉模拟 设 为两个不重合的平面 m n是两条不重合的直线 给出下列命题 若m n m 则n 若n m 与 相交且不垂直 则n与m不垂直 若 m n m 则n 若m n n 则m 其中所有真命题的序号是 解析 若m n m 则n 或n 是假命题 中的n与m可以垂直 假命题 中n 或n 或n与 相交 但不垂直 或n 假命题 是真命题 答案 热点四空间位置关系的证明1 如图 已知ab 平面acd de ab ad ac de 2ab 2 且f是cd的中点 af 1 求证 af 平面bce 2 求证 平面bce 平面cde 3 求此多面体的体积 解析 1 取ce的中点p 连接fp bp f为cd的中点 fp de 且fp de 又ab de 且ab de ab fp 且ab fp 四边形abpf为平行四边形 af bp 又 af平面bce bp 平面bce af 平面bce 2 ad ac f是cd的中点 af cd ab 平面acd de ab de 平面acd 又af 平面acd de af 又af cd cd de d af 平面cde 又bp af bp 平面cde 又 bp 平面bce 平面bce 平面cde 3 此多面体是一个以c为顶点 以四边形abed为底面的四棱锥 又af ac ad 2 af cd cd 2 acd为等边三角形 s四边形abed 平面abed 平面adc 等边三角形acd中ad边上的高就是四棱锥的高 2 如图 在直四棱柱abcd a1b1c1d1中 四边形abcd是梯形 ad bc ac cd e是aa1上的一点 1 求证 cd 平面ace 2 若平面cbe交dd1于点f 求证 ef ad 证明 1 因为abcd a1b1c1d1为直四棱柱 所以aa1 平面abcd 因为cd 平面abcd 所以aa1 cd 即ae cd 因为ac cd ae 平面aec ac 平面aec ae ac a 所以cd 平面aec 2 因为ad bc ad 平面add1a1 bc平面add1a1 所以bc 平面add1a1 因为bc 平面bce 平面bce 平面add1a1 ef 所以ef bc 因为ad bc 所以ef ad 热点五折叠问题1 将如图 所示的直角梯形abef 图中数字表示对应线段的长度 沿直线cd折成直二面角 连接部分线段后围成一个空间几何体 如图 所示 1 证明 be 平面adf 2 设m是fb的中点 求证 em 平面bdf 证明 1 ce df ce平面daf df 平面daf ce 平面daf 又 bc ad bc平面daf ad 平面daf bc 平面daf ce bc c 平面cbe 平面daf 又 be 平面cbe be 平面adf 2 取bd的中点o 连接mo co 则mo fd 且mo fd ec mo且ec mo 四边形meco为平行四边形 me co 由已知fd dc 平面fdc 平面abcd 平面fdc 平面abcd cd fd 平面abcd fd oc 又易知bd oc bd fd d co 平面bdf em 平面bdf 2 已知矩形abcd中 ab 3 ad 2 点e在cd上且ce 1 如图 1 把 dae沿ae向上折起到d ae的位置 使二面角d ae b的大小为120 如图 2 1 求四棱锥d abce的体积 2 求cd 与平面abce所成角的正切值 3 设m为cd 的中点 棱ab上是否存在点n 使mn 平面d ae 若存在 试求出点n位置 若不存在 请说明理由 解析 1 取ae的中点p 连接dp d p 由da de d a d e dp ae d p ae 故 d pd 60 dd p为等边三角形 d 在平面abcd内的射影h为pd的中点 2 由题意知 d ch即为cd 与平面abce所成的角 在三角形cdh中 dh cd 3 cdh 45 由余弦定理可得ch tan d ch 3 取ce的中点f 连接mf 则mf d e 在平面abce内过f作fn ae交ab于n 连接mn 又mf nf f d e ae e 则平面mfn 平面d ae 又mn在平面mfn内 故mn 平面d ae 此时an ef ce 故存在点n使mn 平面d ae 热点六空间向量在立体几何中的应用1 如图所示 在多面体abcd a1b1c1d1中 上 下两个底面a1b1c1d1和abcd互相平行 且都是正方形 dd1 底面abcd ab 2a1b1 2dd1 2a 1 求异面直线ab1与dd1所成角的余弦值 2 已知f是ad的中点 求证 fb1 平面bcc1b1 3 在 2 的条件下 求二面角f cc1 b的余弦值 解析 以d为坐标原点 da dc dd1所在直线分别为x轴 y轴 z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 则a 2a 0 0 b 2a 2a 0 c 0 2a 0 d1 0 0 a f a 0 0 b1 a a a c1 0 a a 1 a a a 0 0 a 即异面直线ab1与dd1所成角的余弦值为 2 a a a 2a 0 0 0 a a fb1 bb1 fb1 bc bb1 bc b fb1 平面bcc1b1 3 由 2 知 为平面bcc1b1的一个法向量 设n x1 y1 z1 为平面fcc1的一个法向量 又 0 a a a 2a 0 由令y1 1 则x1 2 z1 1 n 2 1 1 即二面角f cc1 b的余弦值为 2 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 ac bc ac bc 1 cc1 2 点d e分别是aa1 cc1的中点 1 求证 ae 平面bc1d 2 证明 平面bc1d 平面bcd 3 求cd与平面bc1d所成角的正切值 解析 1 在矩形acc1a1中 由c1e ad c1e ad 得四边形aec1d是平行四边形 所以ae dc1 又ae 平面bc1d c1d 平面bc1d 所以ae 平面bc1d 2 在直三棱柱abc a1b1c1中 bc cc1 ac bc cc1 ac c 所以bc 平面acc1a1 而c1d 平面acc1a1 所以bc c1d 在矩形acc1a1中 从而dc2 dc12 cc12 所以c1d dc 又dc bc c 所以c1d 平面bcd 而c1d 平面bc1d 所以平面bc1d 平面bcd 3 方法一 由 2 可知平面bc1d 平面bcd 所以 斜线cd在平面bc1d上的射影在bd上 bdc即为直线cd与平面bc1d所成的角 又由 2 可知 bc 平面acc1a1 所以 bc cd 所以 三角形bcd是直角三角形 bc 1 cd 所以所求值为 方法二 以c1为原点 射线c1a1 c1b1 c1c为x y z轴的正半轴建立空间直角坐标系 则c 0 0 2 d 1 0 1 c1 0 0 0 b 0 1 2 则 1 0 1 1 0 1 0 1 2 设平面bc1d的一个法向量为n x y 1 由n 0 得x 1 0 由n 0 得y 2 0 由以上两式解得x 1 y 2 n 1 2 1 设n与的夹角为 则即cd与平面bc1d所成角的正弦值为故所求值为 3 如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 ad aa1 1 ab 2 1 证明 当点e在棱ab上移动时 d1e a1d 2 在棱ab上是否存在点e 使二面角d1 ec d的平面角为 若存在 求出ae的长 若不存在 请说明理由 解析 以d为原点 da dc dd1所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立如图所示的空间直角坐标系 则d 0