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杨辉三角 与二项式系数的性质 复习 二项式定理 a b n cn0an cn1an 1b1 cnkan kbk cnnbn 展形式的第k 1项为 tk 1 cnkan kbk 计算 a b n展开式的二项式系数并填入下表 对称性 议一议 1 请看系数有没有明显的规律 2 上下两行有什么关系吗 3 根据这两条规律 大家能写出下面的系数吗 每行两端都是1cn0 cnn 1 从第二行起 每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和cn 1m cnm cnm 1 杨辉三角 九章算术 杨辉 详解九章算法 中记载的表 杨辉三角 二项式系数的性质 展开式的二项式系数依次是 从函数角度看 可看成是以r为自变量的函数 其定义域是 当时 其图象是右图中的7个孤立点 对称性 与首末两端 等距离 的两个二项式系数相等 这一性质可直接由公式得到 图象的对称轴 二项式系数的性质 增减性与最大值 由于 所以相对于的增减情况由决定 二项式系数的性质 由 二项式系数前半部分是逐渐增大的 由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的 且中间项取得最大值 可知 当时 二项式系数的性质 增减性与最大值 增减性与最大值 二项式系数的性质 各二项式系数的和 在二项式定理中 令 则 这就是说 的展开式的各二项式系数的和等于 同时由于 上式还可以写成 这是组合总数公式 二项式系数的性质 例证明在 a b n展开式中 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 在二项式定理中 令 则 特值法 1 1 x 13的展开式中系数最小的项是 a 第6项 b 第7项 c 第8项 d 第9项 2 一串装饰彩灯由灯泡串联而成 每串有20个灯泡 只要有一个灯泡坏了 整串灯泡就不亮 则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为 a 20 b 219 c 220 d 220 1 c d 练习 4或5 2 1094 1093 练习 变式 若将 只有第10项 改为 第10项 呢 解 1 二项式系数的三个性质 2 数学思想 函数思想 a单调性
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