高中数学 3.3.1二倍角的三角函数（一）课件 北师大版必修4.ppt

3二倍角的三角函数 一 二倍角公式及其变形 sin cos cos sin 2sin cos cos cos sin sin 2cos2 1 1 2sin2 1 判一判 正确的打 错误的打 1 sin2 2sin 2 cos2 sin2 cos2 3 tan2 对任意的 都成立 4 sin2 解析 1 错误 因为sin2 2sin cos 2 错误 因为cos2 cos2 sin2 3 错误 因为 k z 时公式不成立 4 错误 因为sin2 答案 1 2 3 4 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 sin15 cos15 2 cos215 sin215 3 解析 1 sin15 cos15 sin30 答案 2 cos215 sin215 cos30 答案 3 原式 tan45 答案 要点探究 知识点正弦 余弦 正切的二倍角公式1 对二倍角中 倍 的说明 1 倍 具有广泛的涵义 例如 2 是 的二倍角 同样地 4 是2 的二倍角 2n 是2n 1 的二倍角 是的二倍角 3 是的二倍角等 2 在具体应用中可先对角进行观察 寻求待求的角与已知角之间的差异 再决定用哪种 倍 的关系 2 二倍角的应用 1 直接应用公式进行升幂 配方 开方 求值化简证明等运算 2 变形应用公式主要体现在化异角为同角 化异次为同次 逆用公式等方面 其中二倍角的余弦公式最灵活 如 1 cos2 2cos2 cos2 1 cos2 2sin2 sin2 不仅仅是逆用 更重要的是体现了幂指数的变化 其中 是从一次幂向二次幂转换 因此把它们称为升幂公式 则是从二次幂向一次幂转换 因此把它们称为降幂公式 微思考 1 公式s2 c2 t2 的适用范围是否相同 提示 公式s2 c2 中角 可以是任意角 但公式t2 只有当 k 及 k z 时才成立 否则不成立 2 逆用正弦 余弦 正切的二倍角公式的关键是什么 提示 关键是将待化简的三角函数式化到公式右边所满足的结构 再逆用公式 即时练 求值 1 2 1 2sin2750 3 tan150 解析 1 原式 答案 2 原式 cos 2 750 cos1500 cos 4 360 60 cos60 答案 3 原式 答案 题型示范 类型一用二倍角公式解决给值求值问题 典例1 1 2013 新课标全国 已知sin2 则 2 2013 四川高考 设sin2 sin 则tan2 的值是 3 已知0 x 求的值 解题探究 1 题 1 中如何将化简 2 题 2 中求tan2 的关键是什么 3 题 3 中cos2x 如何用 x的三角函数值表示 探究提示 1 利用降幂公式得2 由已知求得tan 后用正切二倍角公式求解 3 cos2x 自主解答 1 选a 因为所以选a 2 根据题意sin2 sin 可得2sin cos sin 可得cos tan 所以tan2 答案 3 因为x 所以又因为所以又cos2x 所以原式 延伸探究 把第 3 题的条件改为x 求sin4x 解析 因为 所以cos2x 因为x 所以2x 2 所以sin2x 所以sin4x 2sin2xcos2x 方法技巧 1 用二倍角公式求解给值求值问题的常用策略 1 当已知和待求式含有三角函数的平方式时 需先降幂 再求解 2 先探寻到已知和待求式中角的倍 单关系 再正用或逆用二倍角公式求解 3 当式子中涉及的角较多时 要探寻其间的关系 化异角为同角 2 x与2x的关系当遇到 x这样的角时可利用角的互余关系和诱导公式沟通条件与结论 如cos2x 类似这样的变换还有 变式训练 2014 江苏高考 已知 1 求的值 2 求的值 解析 1 由题意cos 所以 2 sin2 2sin cos cos2 2cos2 1 所以 补偿训练 已知 1 求tan 的值 2 求的值 解析 1 解得tan 2 类型二利用二倍角公式化简与证明 典例2 1 设 k k z 求证 2 2014 西安高一检测 已知函数f x 2asinx cosx 2bsin2x b a b为常数 且a 0 的图像过点 0 3 且函数f x 的最大值为2 求函数y f x 的解析式 并写出其单调递增区间 解题探究 1 证明三角恒等式应遵循什么样的原则 2 题 2 中如何将f x 化为一个角的三角函数式 探究提示 1 应本着 异名化同名 复角化单角 的原则 2 先逆用二倍角及降幂公式 再用辅助角公式 解析 1 左边 右边 所以 2 f x asin2x bcos2x 由f 0 得b 又由 2及a 0 解得a 1 所以函数y f x 的解析式是f x sin2x cos2x 所以f x 的单调递增区间是 k z 方法技巧 1 化简三角函数式的策略一般地 三角函数式的化简要从减少角的种类 减少函数的种类 改变函数式的运算结构入手 通过切化弦 弦化切 异角化同角 高次降幂 分解因式 逆用公式等手段 使函数式的结构化为最简形式 2 证明三角恒等式的原则与步骤 1 观察恒等式的两端的结构形式 处理原则是从复杂到简单 高次降低 复角化单角 如果两端都比较复杂 就将两端都化简 即采用 两头凑 的思想 2 证明恒等式的一般步骤是 先观察 找出角 函数名称 式子结构等方面的差异 然后本着 复角化单角 异名化同名 变换式子结构 变量集中 等原则 设法消除差异 达到证明的目的 变式训练 求证 证明 要证只需证 上式 左边 右边 所以原等式成立 补偿训练 化简 sin3 sin3 cos3 cos3 解题指南 先利用变形公式sin2 和cos2 降幂 再整合化简 注意公式的逆用和变形用 解析 原式 sin2 sin sin3 cos2 cos cos3 sin sin3 cos cos3 cos cos3 sin sin3 cos2 cos3 cos sin3 sin cos 3 cos2 cos 3 cos2 cos2 cos4 cos2 1 cos4 cos2 2cos22 cos32 拓展类型利用对偶式化简求值 备选例题 1 计算 cos72 cos36 2 计算 sin10 sin30 sin50 sin70 解析 1 方法一 cos72 cos36 方法二 令x cos72 cos36 y sin72 sin36 则xy sin72 cos72 sin36 cos36 sin144 sin72 故答案 2 因为sin10 cos80 sin50 cos40 sin70 cos20 所以原式 cos80 cos40 cos20 答案 方法技巧 1 对偶式的概念在三角学上 如果把某个三角式中的角的位置转化为同角互余的弦值 那么得到的式子叫原式的对偶式 这两个式子互为对偶式 2 对偶式的应用在化简求值或证明一些三角问题时 如果能灵活地运用对偶的数学思想 合理地构造出对偶式 并对原式和对偶式进行和 差或积的计算 则可以使问题得到巧妙解决 易错误区 利用二倍角公式及其变形求值过程中忽视角的范围致误 典例 2014 榆林高一检测 已知sin 2 sin 则sin 解析 因为所以 2 2 0 所以 2 由得2 2 所以cos 2 因为 0 由sin 得cos 所以cos2 cos 2 cos 2 cos sin 2 sin 由cos2 1 2sin2 得sin2 又 所以sin 答案 常见误区 防范措施 1 审题问题已知条件角度的认识不到位 不能够结合三角函数值的符号 将已知角的范围进一步缩小 在本例中求得sin 2 0 可以将2 的角度进行再缩小 得2 2 就可以轻松求解其余