高考数学 第六章 第四节 基本不等式课件 理 新人教A版.ppt

第四节基本不等式 1 基本不等式 1 基本不等式成立的条件是 2 等号成立的条件 当且仅当 时取等号 称为正数a b的 称为正数a b的 4 语言叙述 两个正数的 不小于它们的 a 0 b 0 a b 算术平均数 几何 平均数 算术平均数 几何平均 数 2 基本不等式的变形 1 a b a b 0 2 a2 b2 a b r 3 3 利用基本不等式求最值 1 两个正数的和为定值时 它们的积有最大值 即若a b为正实数 且a b m m为定值 则ab 等号当且仅当 时成立 简记 和定积最大 2ab a b 2 两个正数的积为定值时 它们的和有最小值 即若a b为正实数 且ab p p为定值 则a b 等号当且仅当 时成立 简记 积定和最小 a b 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 函数y x 的最小值是2 2 ab 成立的条件是ab 0 3 函数f x x 0 的最小值等于4 4 x 0且y 0是的充要条件 5 若a 0 则的最小值为 解析 1 错误 当x0且y 0时一定有但当时 不一定有x 0且y 0 所以x 0且y 0是的充分不必要条件 5 错误 虽有 但不能说就是的最小值 因为的值与a有关 不是一个定值 答案 1 2 3 4 5 1 下列不等式中正确的是 a 若a r 则a2 9 6a b 若a b r 则 c 若a b 0 则 d 若x r 则 解析 选c 对于a a2 9 6a a 3 2 0 a2 9 6a 故a不正确 由基本不等式成立的条件知b错误 对于c 当a b 0时 有 所以故c选项正确 对于d x r 故d错误 2 若x 0 y 0 且x y 则xy的最大值为 a b c d 解析 选d 由基本不等式可得当且仅当x y 时 xy取最大值 故选d 3 函数f x 3x 3 x的最小值是 a 2 b 1 c 3 d 解析 选a 由于3x 0 3 x 0 所以当且仅当3x 3 x 即x 0时函数取得最小值2 4 某公司租地建仓库 每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比 而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比 如果在距离车站10千米处建仓库 这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元 那么 要使这两项费用之和最小 仓库应建在离车站 千米处 解析 设仓库到车站的距离为x千米 由题意设y2 k2x 而当x 10时 y1 2 y2 8 于是k1 20 k2 因此y1 y2 x y1 y2 当且仅当x 5时取等号 所以仓库应建在离车站5千米处 答案 5 5 已知a b为正实数且a b 1 则 1 1 的最小值为 解析 a 0 b 0 a b 1 同理 等号成立的条件为a b 答案 9 考向1利用基本不等式判断命题真假 典例1 1 2013 东莞模拟 若a 0 b 0 且a b 2 则下列不等式中正确的是 a ab 1 b ab 1 c a2 b2 4 d a2 b2 4 2 2012 福建高考 下列不等式一定成立的是 a lg x2 lgx x 0 b c x2 1 2 x d 思路点拨 运用基本不等式和不等式的性质对每个选项进行分析判断 注意基本不等式应用的条件和等号成立的条件是否满足 规范解答 1 选a 由已知可得而a2 b2 a b 2 2ab 4 2ab 2 故只有a正确 2 选c 由于所以当且仅当x2 即x 时取等号 故a错误 当sinx 0时 不可能有故b错误 由基本不等式可得x2 1 x 2 12 2 x 故c正确 由于x2 0 x2 1 1 所以故d错误 拓展提升 基本不等式的变形在基本不等式及其一些变形形式中 可以将字母a b换成其他的数 字母 代数式等 只要这些数 字母 代数式符合不等式成立的条件 那么得到的不等式也是成立的 由此可以得到一些常用的不等式 例如 当x 0时 当a 1时 lga loga10 2 当ab 0时 变式训练 2013 南通模拟 给出下列结论 若x 0 则 若a 0 b 0 则 当x 0 时 sinx 的最小值为6 若a b 0 且ab 2 则其中正确结论的序号是 解析 对于 只有当x 0时 才有成立 故 错误 对于 虽然有a 0 b 0 但lga和lgb不一定都是正数 因此不一定有故 错误 对于 虽然当x 0 时 sinx 0 所以sin 但其中的等号成立的条件是sinx 即sinx 3 这显然是不可能的 因此不能说sinx 的最小值为6 故 错误 对于 由于当且仅当a b 时取等号 所以 正确 答案 考向2利用基本不等式求最值 典例2 1 2013 南京模拟 若x0 则函数y 的最小值等于 3 2013 余姚模拟 已知正数a b满足则a b的取值范围是 思路点拨 1 因为x 0 所以可对 x 利用基本不等式求最小值 2 将函数解析式变形为y 再对运用基本不等式求最值 3 一种思路是根据将a b中的b用a表示 然后用基本不等式求范围 另一种思路是对变形 获得a b与ab的关系 然后利用解不等式消去ab建立a b的不等式求解 规范解答 1 由于x 0 所以f x 1 x 1 x 当且仅当 x 即x 4时 函数取最小值9 答案 9 2 y 2 当且仅当即x 1时取等号 所以函数的最小值等于2 答案 2 3 方法一 由得a b 3ab 所以由于a 0 b 0 可得a 于是当且仅当a 即a 时取等号 所以a b的取值范围是 方法二 由得a b 3ab 由于 所以 即4 a b 3 a b 2 所以a b 即a b的取值范围是 答案 互动探究 本例题 3 中 条件不变 则ab的取值范围是 解析 由于a b 所以3ab 即9 ab 2 4ab 所以ab 即ab的取值范围是 答案 拓展提升 两个正数的和与积的转化基本不等式具有将 和式 转化为 积式 和将 积式 转化为 和式 的放缩功能 因此可以用在一些不等式的证明中 还可以用于求代数式的最值或取值范围 如果条件等式中 同时含有两个变量的和与积的形式 就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化 然后通过解不等式进行求解 提醒 形如y x a 0 的函数求最值时 首先考虑用基本不等式 若等号取不到 再利用该函数的单调性求解 变式备选 1 2012 济宁模拟 已知x 0 y 0 x 2y 2xy 8 则x 2y的最小值是 a 3 b 4 c d 解析 选b 由于x 0 y 0 所以2xy x 2y 而2xy 8 x 2y 于是有8 x 2y 令x 2y t 则t2 4t 32 0 解得t 4或t 8 舍去 因此x 2y 4 即x 2y的最小值是4 故选b 2 2012 海口模拟 函数f x sinx 0 x 的最小值是 解析 因为0 x 所以0 sinx 1 因此由基本不等式得 f x sinx 当且仅当sinx sinx 即x 或x 时取到等号 所以函数的最小值等于1 答案 1 考向3基本不等式的实际应用 典例3 某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房 由于地理位置的限制 房子侧面的长度x不得超过5m 房屋正面的造价为400元 m2 房屋侧面的造价为150元 m2 屋顶和地面的造价费用合计为5800元 如果墙高为3m 且不计房屋背面的费用 当侧面的长度为多少时 总造价最低 思路点拨 用长度x表示出造价 利用基本不等式求最值即可 但要注意变量x的取值范围为0 x 5 判断函数取最小值时的x是否在定义域内 若不在定义域内 不能用基本不等式求最值 可以考虑单调性 规范解答 设总造价为y 由题意可得 y 3 2x 150 400 5800 900 x 5800 0 x 5 由基本不等式得y 900 x 5800 900 5800 13000 元 当且仅当x 即x 4时取等号 故当侧面的长度为4米时 总造价最低 互动探究 本例中 若要求房子侧面的长度x不得少于5m 那么侧面的长度为多少时 总造价最低 解析 设总造价为y 由题意可得 y 3 2x 150 400 5800 900 x 5800 x 5 由于y 900 1 令y 0得x 4 x 4舍去 所以函数在 4 上单调递增 于是当x 5时 y取得最小值13180元 拓展提升 注意变量的取值范围在利用基本不等式解决实际应用问题时 一定要注意问题中所涉及变量的取值范围 即函数的定义域 分析在该范围内是否存在使基本不等式的等号成立的变量值 若存在 则可利用基本不等式求解 若使基本不等式的等号成立的变量值不在函数定义域内 则应利用导数研究函数的单调性 根据单调性求最值 变式备选 某种汽车 购车费用为10万元 每年的保险费 汽油费约为0 9万元 年维修费第一年是0 2万元 以后逐年递增0 2万元 这种汽车使用多少年时 它的年平均费用最少 解析 由于 年维修费第一年是0 2万元 以后逐年递增0 2万元 可知汽车每年维修费构成以0 2万元为首项 0 2万元为公差的等差数列 因此 汽车使用x年时总的维修费用为万元 设汽车的年平均费用为y万元 则有 当且仅当即x 10时 y取得最小值 答 汽车使用10年时 它的年平均费用最少 易错误区 忽视基本不等式等号成立的条件致误 典例 2012 浙江高考 若正数x y满足x 3y 5xy 则3x 4y的最小值是 a b c 5 d 6 误区警示 本题在求解中容易出现的错误是 对x 3y运用基本不等式得到的范围 再对3x 4y运用基本不等式 然后通过不等式的传递性得到3x 4y的最值 忽视了基本不等式中等号成立的条件 没有注意到两次运用基本不等式时等号成立的条件不一致 从而导致错误 规范解答 选c 由x 3y 5xy可得所以3x 4y 3x 4y 当且仅当x 1 y 时取等号 故3x 4y的最小值是5 思考点评 1 连续运用基本不等式应注意等号成立的条件 连续使用基本不等式时取等号的条件很严格 要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致 因此尽量不要连续两次以上使用基本不等式 若使用两次时应保证两次等号成立的条件同时相等 2 妙用 1 的代换求代数式的最值 在求解含有两个变量的代数式的最值问题时 通常的解决办法是变量替换或常值 1 的替换 即由已知条件得到某个式子的值为常数 然后将欲求最值的代数式乘上常数 再对代数式进行变形整理 从而可利用基本不等式求最值 1 2013 韶关模拟 若a 1 则的最大值是 a 3 b a c 1 d 解析 选c 因为a 1 所以a 1 0 因此当且仅当1 a 即a 0时取最大值 1 故选c 2 2013 佛山模拟 爬山是一种简单有趣的野外运动 有益于身心健康 但要注意安全 准备好必需物品 控制好速度 现有甲 乙两人相约爬山 若甲上山的速度为v1 下山的速度为v2 v1 v2 乙上山和下山的速度都是 甲 乙两人中途不停歇且下山时按原路返回 则甲 乙两人上下山所用的时间t1 t2的关系为 a t1 t2 b t1 t2 c t1 t2 d 不能确定 解析 选a 设上山路程为h 同理下山路程为h 则依题意有 3 2013 济宁模拟 已知a 0 b 0 若不等式恒成立 则m的最大值等于 a 10 b 9 c 8 d 7 解析 选b 由于a 0 b 0 所以不等式可化为而当且仅当 即a b时取最小值9 所以不等式恒成立时m的最大值等于9 4 2013 湛江模拟 已知三角形abc中 点d是bc的中点 过点d的直线分别交直线ab ac于e f两点 若则的最小值是 a 9 b c 5 d 解析 选d 由d e f三点共线可设 d为bc的中点 即 2 则当且仅当时取等号 故选d 1 下列结论中正确的是 a 若