勾股定理经典分类学习_精品(答案).docx

北师大版八年级上勾股定理学案一教学目标：1. 经历勾股定理及直角三角形判别条件（逆定理）的探索，了解勾股定理的各种探究方法及其内在联系，进一步发展学生的推理。2.掌握勾股定理及其逆定理，及它们的应用。二知识要点 ：1.。勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2。即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（由直角三角形得到边的关系）2. 勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形。3.满足条件的三个正整数，称为勾股数。常见的勾股数组有：（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12，13）；（8，15，17）；（7，24，25）；（20，21，29）；（9，40，41）；（这些勾股数组的倍数仍是勾股数）4.勾股定理的验证。【一】勾股定理的验证与证明1.如图，每个小正方形的边长是1，图中三个正方形的面积分别是S1、S2、S3，则它们的面积关系是，直角ABC的三边的关系是.2.如图，是由四个全等的Rt拼成的图形，你能用它证明勾股定理吗？3.如图，是由四个全等的Rt拼成的图形，你能用它证明勾股定理吗？4.如图，已知AB90且AEDBCE，A、E、B在同一直线上.根据此图证明勾股定理.【二】勾股定理的简单运用1.如图， 根据所标数据，确定正方形的面积A，B，C.2.如图，直线l上有三个正方形a、b、c若a和c的面积分别为5和11，则b的面积为多少？3.如图，以直角三角形的三边向形外作等边三角形，探究Sa、Sb和Sc之间的关系.4.如图，以直角三角形的三边向形外作等腰直角三角形，探究Sa、Sb和Sc之间的关系.5. 如图，以直角三角形的三边向形外作半圆，探究Sa、Sb和Sc之间的关系.6. 如图，已知ABC中，ACB90，以ABC的各边为长边向形外作矩形，使其宽为长的一半，则这三个矩形的面积S1、S2、S3之间有什么关系，并证明你的结论.7. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积之和为多少？8.如图，在水平面上依次放置着七个正方形已知斜放置的三个正方形的面积分别是a、b、c，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3 ，则 S1 S2 S3 S4= . 【三】利用勾股定理求边长1.在RtABC中，C90，a12，b16，则c的长为（ ）A.26 B.18 C.20 D.212.在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是(3,4)，则OP的长为（ ）A.3 B.4 C.5 D.3将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（ ）A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 不能确定4.等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ）A. B. C. D.35.若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（ ）A.6 B.7 C.8 D.96.若一个三角形的三边长为3、4、x，则使此三角形是直角三角形的x的值是（ ）A.5 B. 6 C. D.5或7.下列各组数中以a，b，c为边的三角形不是Rt的是（）A.a=2，b=3, c=4 B.a=7, b=24, c=25C.a=6, b=8, c=10 D.a=3, b=4, c=58.要从电杆离地面5m处向地面拉一条长为13m的电缆，则地面电缆固定点与电线杆底部的距离应为（ ）.A.10m B.11m C.12m D.13m9.现有两根木棒,长度分别为44和55.若要钉成一个三角形木架，其中有一个角为直角，所需最短的木棒长度是（ ）.A.22 B.33 C.44 D.5510一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法正确的是（ ）A. 第三边一定为10 B. 三角形的周长为25 C. 三角形的面积为48 D. 第三边可能为1011直角三角形的斜边为20cm，两条直角边之比为34，那么这个直角三角形的周长为（ ）A . 27cm B. 30cm C. 40cm D. 48cm12. 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC6 cm、BC8 cm，现将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（）A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.10 cm13. 图中，每个小正方形的边长为1，的三边的大小关系式（）A. B. C. D.O14. 如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（ ）A2m B.3m C.6m D.9m15. 直角三角形三边的长分别为3、4、x，则x可能取的值有（ ）. A. 1个 B. 2 个 C. 3个 D. 无数多个16如果Rt两直角边的比为512，则斜边上的高与斜边的比为（）A.6013B.512C.1213D.6016917直角三角形一直角边长为11，另两边均为自然数，则其周长为（ ）A.121 B.120 C.132 D.以上答案都不对【填空题】1.已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为_2.直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为_.3.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_4.如图，学校有一长方形花圃，长4m，宽3m。，有极少数人为了避开拐角走捷径，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少了 步路（2步为lm），却踩伤了花草.5.图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的若AC=6 BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图2实线部分）是 . 6如图，将一根长 24 cm的筷子，置于底面直径为 5 cm，高为 12 cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯外的长度为h cm，则h的取值范围是 .7.在RtABC中, C=90,AB=15,BC:AC=3:4,则BC=_.8.已知：如图，在RtABC中，B=90，D、E分别是边AB、AC的中点，DE=4，AC=10，则AB=_.9.已知两条线段的长为9cm和12cm,当第三条线段的长为 cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.10.在RtABC中，C=90，（1）若a=5，b=12，则c= ；（2）b=8，c=17 ，则= . 11已知ABC是边长为1的等腰直角三角形，以RtABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰RtACD，再以RtACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰RtADE，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是 【解答题】1.如图，在RtABC中，ACB=90，CDAB， BC=6，AC=8， 求AB、CD的长2.如图，是由五个边长相同的小正方形组成的“红十字”形，A、B、C均在顶点上，试求BAC的大小.3. 某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造测得两直角边长为6m、8m.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形求扩建后的等腰三角形花圃的周长4.已知：如图，ABC中，C=90，D是AC的中点.求证：AB2+3BC2=4BD2.【四】勾股定理在非直角三角形中的应用1.若ABC中，高AD=12,则BC的长为（ ）A、14 B、4 C、14或4 D、以上都不对2一木工师傅测量了一个等腰三角形的腰、底边和底边上的高的长度，但他却把这三个数据弄混了，请你帮他找出来，应该是（ ）A. 13，12，12 B12，12，8 C13，10，12 D5，8，4【填空题】1.等腰三角形ABC的面积为122，底上的高AD3，则它的周长为 .2.已知，在ABC中，A= 45，AC= ，AB= +1，则边BC的长为 【解答题】1.已知等腰三角形腰长为10，底边长为16，求它的面积.2已知：如图，在ABC中，AB15，BC14，AC13求ABC的面积【五】利用勾股定理求不规则图形的面积1.如图，每个小正方形的边长都是1，求图中格点四边形ABCD的面积.2.如图，四边形ABCD中，AB3cm，BC4cm，CD12cm，DA13cm，且ABC900，求四边形ABCD的面积。3.四边形ABCD中，ADDC，AD=8，DC=6，CB=24，AB=26.求四边形ABCD的面积.【六】勾股定理在应用题中的运用1. 小明想测量教学楼的高度他用一根绳子从楼顶垂下，发现绳子垂到地面后还多了2 ，当他把绳子的下端拉开6 m后，发现绳子下端刚好接触地面，则教学楼的高为（ ）. A. 8 m B. 10 m C. 12 m D. 14 m 2.如果梯子的底端离建筑物9 ，那么15 长的梯子可以到达建筑物的高度是（ ）. A. 10 m B. 11 m C. 12 m D. 13 m 3.已知RtABC中，C=90，a+b=14，c=10，则RtABC的面积是（ ） A.24B.36 C.48D.604.等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（）A.56B.48C.40D.325.已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则ABE的面积为（ ）cm2.A. 6 B. 8 C. 10 D. 126.如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A，使梯子的底端A到墙根O的距离等于3m同时梯子的顶端B下降至B，那么BB（ ）A小于1m B大于1m C等于1m D小于或等于1m【填空题】1在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是_m.2在ABC中，CE是AB边上的中线，CDAB于D,且AB=5,BC=4,AC=6,则DE的长为_.3在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处.另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 .4.如图，在RtABC中，C=90，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C点，那么ADC的面积是 5、如右图将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F处,已知CE=3,AB=8,则BF=_.CDABABCDEF【解答题】1已知，如图，在RtABC中，C=90，AD平分CAB，CD=1.5，BD=2.5，求AC的长.BADCB2.如图，铁路上A、B两点相距25，C、D为两村庄，DAAB于A，CBAB于B，已知DA15，CB10，现在要在铁路AB上修建一个土特产收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应修建在离A站多少千米处？3.小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高1米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？4.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。5.如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）想一想，此时EC有多长？ 6.如图，平面直角坐标系中,ABAC，求点B的坐标.7.如图，已知将一矩形纸片ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C处，BC 交AD于点E，已知AD=8cm，AB=4cm，求重叠部分BED的面积。 【七】利用勾股定理求最值1如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（）A B25 C D2.一只蚂蚁从长为4cm、宽为3 cm，高是5 cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是_cm3如图，C为线段BD上一动点，分别过点 B D作ABBD，EDBD，连结AC、EC,已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x （1）用含x的代数式表示AC十CE的长； （2）试求AC十CE的最小值 4. 如图所示，无盖玻璃容器，高18，底面周长为60，在外侧距下底1的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1的F处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度.AB520LDCBAD5. 如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？【八】勾股定理逆定理及其应用1下列各组数中，以它们为边的三角形不是直角三角形的是（ ）A1.5，2，3 B. 7，24，25 C6，8，10 D. 3，4，52.分别以下列四组为一个三角形的三边的长：6、8、10；5、12、13；8、15、17；7、8、9，其中能构成直角三角形的有（ ）.A.4组 B.3组 C.2组 D.1组3在ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，则该三角形为（ ）A锐角三角形 B直角三角形 C 钝角三角形 D等腰直角三角形4.下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（ ）A.9，12，15 B. C.0.2，0.3，0.4 D.40，41，95.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A.三个内角比为121 B.三边之比为12 C.三边之比为2 D. 三个内角比为1236.已知三角形两边长为2和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（ ）A. B. C. D.以上都不对7. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）8.三角形的三边 a、b、c满足关系：（a十b）2=c2 2ab，则这个三角形是（ ）A直角三角形 B、锐角三角形 C钝角三角形 D条件不足，不能确定9若ABC的三边a、b、c满足a2b2c2十33810a24b26c，则ABC的面积是（）A.338B.24C.26D.3010ABC的三边a、b、c满足a3+b3+a2b+ab2-ac2-bc2=0，则ABC的形状是（ ）A、直角三角形；B、等边三角形；C、等腰三角形；D、等腰直角三角形。11如果Rt的两直角边长分别为n21，2n（n1），那么它的斜边长是（）A.2nB.n+1C.n21D.n2+1【填空题】1.若一个三角形的三边满足，则这个三角形是 .2. ABC的三边分别是7、24、25，则三角形的最大内角的度数是 .3.三边为9、12、15的三角形，其面积为 .4.已知三角形ABC的三边长为满足，则此三角形为 三角形.5.在三角形ABC中，AB=12，AC=5，BC=13，则BC边上的高为AD= .6.已知两条线段的长为5cm和12cm,当第三条线段的长为 cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.【解答题】1. 如图，已知四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积. FEACBD2. 如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE=BC，F为CD的中点，连接AF、AE，问AEF是什么三角形？请说明理由.3. 在ABC中，BC=m2-n2，AC=2mn，AB=m2+n2(mn).求证：ABC是直角三角形.【九】勾股定理及逆定理与实际问题1.如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 （ ）.A.17m B.18m C.25m D.26m2.将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（ ）Ah17cm Bh8cm C15cmh16cm D7cmh16cm3.木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm，则这个桌面 .（填“合格”或“不合格” ）4.轮船在大海中航行，它从A点出发，向正北方向航行20，遇到冰山后，又折向东航行15，则此时轮船与A点的距离为 .7.如图1，一个梯子AB长2.5m，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5m，梯子滑动后停在DE的位置上，如图2，测得BD长为0.5m，求梯子顶端A下落了多少米8.如图，矩形零件上两孔中心A、B的距离是多少（精确到个位）？10.如图，甲船以 16海里时的速度离开港口 O向东南方向航行，乙船在同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两处，且知AB长为30海里，求乙船的速度.11.树根下有一蛇洞，树高 15 m，树顶上的一只苍鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去，如果鹰与蛇的速度相等收与蛇的路线都是直线段，请求出鹰向何处扑击才能恰好抓到蛇？参考答案：20米ABCDL15如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？勾股定理评估试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1. 直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为( ).（A）30 （B）28 （C）56 （D）不能确定2. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm，另一直角边长为6 cm，则它的斜边长（A）4 cm （B）8 cm （C）10 cm（D）12 cm3. 已知一个Rt的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（） （A）25（B）14（C）7（D）7或254. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) （A）13 （B）8 （C）25 （D）645. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ） 6. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )（A） 钝角三角形 （B） 锐角三角形 （C） 直角三角形 （D） 等腰三角形.7. 如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是 ( )（A） 25 （B） 12.5 （C） 9 （D） 8.58. 三角形的三边长为,则这个三角形是( )（A） 等边三角形 （B） 钝角三角形 （C） 直角三角形 （D） 锐角三角形.9.ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知C=90，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮元计算，那么共需要资金（ ）.（A）50元 （B）600元 （C）1200元 （D）1500元10.如图，ABCD于B，ABD和BCE都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC的长为（ ）.（A）12 （B）7 （C）5 （D）13BADCD （第10题） （第11题） （第14题）二、填空题（每小题3分，24分）11. 如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要_米.12. 在直角三角形中，斜边=2，则=_.13. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 .14. 如图，在ABC中，C=90，BC=3，AC=4.以斜边AB为直径作半圆，则这个半圆的面积是_. （第15题） （第16题） （第17题）15. 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞_米.ABCD第18题图7cm16. 如图，ABC中，C=90，AB垂直平分线交BC于D若BC=8，AD=5，则AC等于_.17. 如图，四边形是正方形，垂直于，且=3，=4，阴影部分的面积是_.18. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为_cm2.三、解答题（每小题8分，共40分）19. 11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望.一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标.问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？20. 如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4.求这个三角形各边的长.21. 如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河