2012研究生数值分析课期末考试复习题及答案.doc

一、填空1. 设 ，取5位有效数字，则所得的近似值x=2.3150 .2.设一阶差商 ， 则二阶差商 11/63. 设, 则 ，3 。p494. 4求方程 的近似根，用迭代公式 ，取初始值 ， 那么 1.55解初始值问题 近似解的梯形公式是 6、 ，则A的谱半径 。7、设 ，则 3 和 _0_。8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都收敛 。9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为_O(h）_。10、为了使计算的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写成_。 二、计算题 1、已知 的 满足 ，试问如何利用 构造一个收敛的简单迭代函数 ，使 0，1收敛？由 ，可得 ， 2、 试确定常数A，B，C和 a，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？，该数值求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的3、利用矩阵的LU分解法解方程组 4、写出求解下列初始值问题的欧拉迭代式，欧拉预-校迭代式及四阶龙格-库塔法迭代式。5. 设 ， 假定 g是准确的，而对的测量有秒的误差，证明当增加时的绝对误差增加，而相对误差却减少。解： 6. 在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求的近似值，要使截断误差不超过， 问使用函数表的步长应取多少？解： 7. 已知单调连续函数的如下数据 0.110.001.501.801.230.101.171.58 用插值法计算约为多少时 （小数点后至少保留4位）0.2008解：作辅助函数则问题转化为为多少时，此时可作新的关于的函数表。 由单调连续知也单调连续，因此可对的数值进行反插。的牛顿型插值多项式为 故 8. 设函数在区间0,3上具有四阶连续导数,试用埃尔米特插值法求一个次数不高于3的多项式 ， 使其满足 ，, 并写出误差估计式。解：由所给条件可用埃尔米特插值法确定多项式， 由题意可设为确定待定函数，作辅助函数： 则在0,3上存在四阶导数且在0,3上至少有5个零点为二重零点），反复应用罗尔定理，知至少有一个零点使，从而得。 故误差估计式为9、利用Remez算法，计算函数 ，在区间0，1 上的二次最佳一致逼近多项式 （要求 精度为0.0005）.10、用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据拟合，并计算均方误差。 192531384419.032.349.073.387.8解：11、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数进度。 1）2）3）4）解：（1）三个参数，代入（2）三个参数，代入12. 对线性代数方程组设法导出使雅可比（Jacobi）迭代法和高斯赛德尔（G-S）迭代法均收敛的迭代格式，要求分别写出迭代格式，并说明收敛的理由。13. 设线性方程组为 （1） 证明用雅可比迭代法和高斯赛德尔迭代法解此方程组要么同时收敛，要么同时发散。（2） 当同时收敛时，试比较其收敛速度。14. 写出用四阶经典的龙格库塔方法求解下列初值问题的计算公式15. 证明对任意参数，下列龙格库塔公式是二阶的 16. 证明在内仅有一个根，若用二分法求误差不大于