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小学高年级学生算术思维向代数思维过渡的影响因素分析与对策研究 南昌市邮政路小学 徐 瑢摘要：从算术思维到代数思维的转变，是学生数学学习过程中的一个重要阶段，算术的基本对象是数，包括数的表示、数的意义、数之间的关系、数的运算等，代数中的基本对象除了数，还有更具广泛意义的基本对象符号，这是代数不同于算术的典型特征。学生从算术向代数过渡，是从数学思考向对符号思考的转变。因此，学生已有的算术、代数学知识，代数学的发展历史，教师、学生的代数认知，教材中代数内容的选取安排等等，都会对学生思维的转变产生重要的影响，从这些影响因素来分析，本文对初一学生如何有效的实现这一过渡，以及中小学教师如何有效地帮助学生实现这一过渡提出了自己的见解。关键词：算术思维 代数思维 自然语言 符号语言一、潜在的影响因素分析1、与生俱来的算术思维在1980年，Starkey和Cooper利用“习惯去习惯化”的范式发现46个月的婴儿对于一系列黑色圆点敏感，这表明婴儿能够准确地表征和理解小数量，婴儿在获得语言功能之前就表现出了对小数量的敏感性之后，幼儿算术的加法策略的发展一次经过数所有，从第一个加数接着数到从较大的数开始数三个阶段。这些都表明，在学习代数知识之前，算术思维已经在儿童的思想中根深蒂固，学生已经习惯在解决问题时采用算术的思维，因此，要求初一的学生转换思维方式，并不是一件容易的事情。2、代数学的发展史代数学的发展史一般有三个阶段：修辞代数阶段，是在丢番图以前的时期，他的特征是没有采用符号或特定的记号来表示未知量，而是用通常的语言来求解特定类型的问题；半符号代数阶段，以丢番图引进字母代表未知量为标志，这一阶段的代数学家并没有试图用字母来表示一般式；符号代数阶段，开始于韦达，开始用统一符号同时表示问题汇总的已知量和未知量，取代以往惯用的缩写的方法。这样，代数逐渐成为能够提供数值关系的普遍法则，方程和恒等式有了简洁清楚的表达式，代数式本身也变成了可以运算的对象。Haper曾将古希腊数学家丢番图算术中的一个问题：“已知两数的和与差，证明两数总能求出”拿给英国两所文法学校的学生做测试，结果表明，学生对符号代数的认知发展过程与符号代数的历史发展过程具有相似性。随着学习的深入、数学知识的增长和智力的成熟，学生要经历从用字母表示未知量到字母表示已知量的转变过程，而学生要达到这种水平，需要经历熟练使用字母的若干阶段，从中体会从特殊到一般的发展过程。因此，我们可以推测，学生在较短的实践内实现从对数的思考到对符号的思考，在一定程度上是存在困难的。3、算术与代数的联系与区别在这里，我们可以举一个很典型的例子，来说明两者的联系与区别。例：小明油24元，买了5支相同的铅笔后，还剩4元。问每支铅笔是多少钱？学生在面对这一题目时，可能会采取这样的解题方式： （还剩4元，表示花掉了20元买5支铅笔） (5支铅笔的价格是20元，因此20除以5就是每支铅笔的价格)显然，我们可以看出，通过上面两步之后，学生解决了问题，这种解题的方式就是运用了算术思维。另外一种解题方式：先假设每支铅笔的价格是元，依据已知条件列式得：，再根据等式的基本性质或移项法则求出的值。显然，这种解题的方式就是运用了代数的思维。从上述的例子，我们可以看出，在算术思维中，着重是利用数量的计算求出答案，思维是逆向的。这个过程是程序性的、含情境的、具有特殊性的、计算性的特点；而代数思维侧重的则是关系符号化的运算，首先分析问题中的等量关系，把问题表示为含有未知数的等式，把问题形式化，思维过程是顺向的。而这个运算是结构性的、去情境的、具有一般性的、形式化的特点。在算术思维中，表达式的功用是一种思考的记录，是直接连接题目与答案的桥梁；而在代数思维中， 表达式的功用，不仅是直接联结问题与答案之间的过程记录，也充当一个问题转译的角色。然而，这两种思维还是存在联系的，它们都是化未知为已知，都要通过一系列分析、综合活动来揭示条件及问题的相互联系，从而找到问题的关系链条。尤塞斯金认为代数可以从以下四个方面来刻画：（1）代数作为一般化了的算术；（2）代数作为解决某种类型问题的过程的研究；（3）代数作为数量之间的关系研究；（4）代数作为结构的研究。算术以代数的区别与联系可以从两个方面来认识：算术和代数共用许多符号，但有些符号在算术和代数上的意义是不同的，例如，等号“=”在算术上表示结果，而在代数中却表示一种等价关系；运算客体的扩充，即代数的客体除了数字以外，还包括代数式，方程等。4、自然语言与符号语言符号的引入是代数与算术的最典型的区别，符号语言与自然语言相比，它省略了对象及运算的实际情境，使得符号语言能够适应一般的情况。但事实上，有不少学生脱离了实际情境导致了他们对数学问题的不理解。学生在接触符号语言之初，学生不能弄清、不熟悉、不习惯符号语言的理解的方法、规律和约定，导致不了理解数学问题是人之常情。Laborde(1990)曾指出，学生经常受到自然语言的影响，使得他们从算术的自然语言到代数的符号语言的转换比较困难。例如，给出一个题目“选出1到10中的任一个数，加上10，记下得数，另外，从10中减去你所选的这个数，记下得数。将两得数相加，你所得结果是什么，无论选什么数，结果都相同吗？”将这一题目对学生进行测试，学生中大多数都是选择了具体的数，将思考过程复述一遍，并未采取代数方法描述数之间的确定关系，因此，Laborde 得出分析，学生不使用代数式的原因可能是在摆脱问题背景，忽略时间及活动过程因素方面存在困难，而要实现从自然语言到符号语言的转换，必须忽略这些因素。在这种情况下，使用符号书写系统的困难产生于学生所详尽阐述的数学说对象的思维表象，因此学生自然语言的特点会影响从自然语言想代数式子的转换。而在教师的教学过程中以及学生的学习过程中并没有花足够的时间和精力来处理学习过程中的语言问题。5、学生的认知发展 根据皮亚杰的认知发展理论，初中生的年龄正符合形式思维的发展期，七年级学生（11、12岁）正处于具体运算阶段（7、811、12岁）想形式运算阶段（1115、16岁）的过渡期，学生虽然有能力去从事抽象符号的假设及演绎推理工作，但是思维发展水平有可能限制初一学生从算术到代数的转变。6、学生已有的算术基础我们都知道知识的获得与理解是通过同化来实现的。但是，初一学生在学习代数之前只学过算术，就不能单靠同化方式在原有的算术认知结构的基础上学习代数，他们首先要改造算术认知结构，因此，初一的学生学习代数不是同化的过程，而是典型的顺应学习的过程。但是无论从同化理论的角度还是从顺应的角度来看，学生已有的知识、经验都对新知识的学习产生很大的影响。奥苏贝尔在教育心理学：认知的观点一书中的扉页写道：“如果我不得不把教育心理学还原为一条原理的话，我将会说，影响学习最重要的因素就是学习者已经知道了什么。”他把学生原有的知识、经验当做新知识学习的重要变量。研究发现，小学学生就难以“将新知识纳入已有的图式之中“，难以对新知识达到真正的数学知识薄弱的学生转变较为困难，这部分学生阅读理解能力、推理能力不强，储存在脑海里的知识点零散、杂乱无章，新旧知识无法形成有机联系。只有组织良好的、结构化的知识才有利于新知识的学习与理解。这是由于没有合适的图式，理解，因此，小学数学基础是影响学生转变的一个重要因素。7、课程设置以及教师的教学观 卡彭特和利维认为：“算术和代数之间的人为割裂不仅剥夺了学生在小学低年级思考数学的有效图式，而且还给他们在后继学习代数时造成了更大的困难。”同时，反观我们现有的小学数学教师，一些教师不能经常意识到学生的后继发展，只关注小学阶段的学习，于是教师就不可避免的使用并强化算术的方法。这也为学生的转变带来了困难。二、对策为了有效的实现学生在这一阶段的过渡，无论是学生本身、中小学教师，还是课程编制者都要做出努力。首先，教师应该认识到初一学生在这一阶段认知发展的特点，注意引发学生的认知冲突，促进新图式的形成。教师应该让学生感到已有图式已经不适用于当前的学习情况，应该在学习过程中鼓励学生建立有意义学习的心向。通过引发认知冲突，让他们感觉到代数方法的优越性。如：一开始就设计一组稍复杂的方程的教学（即用方程解两步计算应用题），然后学生发现不会做或做起来有困难。这时教师引导学生尝试用方程解这道题，很快原来不会或做错的同学都做对了，学生获得了成功的体验，激发了他们用代数方法解决问题的兴趣。再次，学生本身应该增强学习数学的信心。加强同伴之间、师生之间的数学交流，在交流过程中要敢于表达自己的见解，暴露自己在学习中的问题，从而及时发现问题，逐步实现自然语言向符号语言的转变，建立数学模型，解决问题。然后，教师通过一些有效的手段强化代数方法的优越性。1. 进行审题，选择解法的专项训练。例如:判断，选择合适的解法。等腰三角形的周长是30厘米，底边长12厘米，腰长多少厘米？一个正方形的面积是36平方米，边长多少米？一根绳子围成一个长8米，宽4米的长方形，现在要把这根绳子改围一个正方形，这个正方形的边长是多少米？以题组的形式出现，将算术方法与代数方法联系起来，在反复沟通比较中，甄选最合理的方法，关注学生代数意识的培养。2.开放式练习我们根据要求补充条件与问题。同学们做红花，-，明明做的红花比小金的2倍多1朵，-？已知什么，求什么，适合列算式解答（已知小金的红花数，求明明的红花数）还是适合用列方程解答（已知明明的红花数，求小金的红花数）。教师设计一些条件开放，问题开放，解题方法开放等形式多样的开放题，让学生在具体的情境和丰富的实例中，体验感受，理解抽象，体会到代数思想在数学学习中的重要性和优越性。3.数学魔术篮子里有若干苹果，取出它的一半又一个给小明，再取余下的一半又两个给小红，还剩6个苹果，篮子里原有苹果多少个？老师迅速的说出答案，想想老师为什么算得这么快呢？同学们分别用算术的方法和代数的方法，试一试哪种方法更准确迅速，显然用方程解答是比较准确方便。又例如，请同学们心里想一个数，把这个数先乘2再加7，再把结果乘3减21，告诉我你的计算结果，我立即知道你想的数是多少。学生说，教师即刻回答学生心里的数。奥秘在哪里呢？板书：（2+7）3-21=6其实，只要把计算结果除以6就是同学们心里的数了。教师通过数学游戏让学生兴趣盎然，在“玩”中，进一步让学生感受到用代数方法解决问题的现实意义。4.心有灵犀在课堂上可以先让学生用自然语言阐述现实问题，然后抽象出数学表达式，充分感悟和体验，教师还要强化数学符号的使用，帮助学生用数学符号建立表达式，例如各种平面图形的周长，面积计算公式以及立体图形的表面积，体积计算公式，解决生活中的实际问题。教师可采用学生喜闻乐见的方式，运用字母表示数，解释一些有趣的数学现象，体会到用代数的方法来思考的优越性，从而提高学生学习的兴趣。当然教师还要适当说明，有些题目既可以运用了算术思维解答，也可以运用了代数的思维解答。但到了初中，题目复杂了，用算术的方法很难，甚至不可能。因此我们在小学阶段就要养