社会医疗保险问题的数学模型.pdf

2012 年年商丘师范学院商丘师范学院数学建模数学建模模拟练习模拟练习 承承 诺诺 书书 我们仔细阅读了商丘师范学院数学建模模拟练习的竞赛规则 我们完全明白 在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式 包括电话 电子邮件 网 上咨询等 与本队以外的任何人 包括指导教师 研究 讨论与赛题有关的问题 我们知道 抄袭别人的成果是违反竞赛规则的 如果引用别人的成果或其他公开的 资料 包括网上查到的资料 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出 我们郑重承诺 严格遵守竞赛规则 以保证竞赛的公正 公平性 如有违反竞赛规 则的行为 我们愿意承担由此引起的一切后果 我们的参赛报名号为 11 参赛组别 本科或专科 本科 参赛队员 签名 队员 1 程亚男 队员 2 张坤 队员 3 李佳举 2012 年年商丘师范学院商丘师范学院建模建模模拟练习模拟练习 编编 号号 专专 用用 页页 参赛队伍的参赛号码 请各个参赛队提前填写好 竞赛统一编号 由竞赛组委会送至评委团前编号 竞赛评阅编号 由竞赛评委团评阅前进行编号 2012 年年商商丘师范学院丘师范学院数学建模数学建模模拟练习模拟练习 题 目 社会医疗保险问题 摘摘要要 医疗保险是关系到国计民生和国家发展的重大问题 基金统筹定额标准对医疗保险 的发展 完善和社会稳定发展有重要影响 本文探讨了年基金支付总额与年龄之间的关 系 给出新的定额标准 并对按参保人年龄结构分类的每一类定点医疗机构下一年度的 定额总费用进行预测 针对问题一 我们建立模型一和模型二 模型一计算出人均支付基金总额 利用 excel 画出折线图 并且根据折线图的分布进行不同区间对你曲线进行拟合 利用隶函 数 确定出人均支付基金总额与年龄的之间的函数关系 并通过相关性检验 得到了相 应的方程 模型二分析得到年基金支付总额与看病次数近似成正比关系 然后将年基金 支付总额 0 到 180 万分成 6 段 利用每个年龄看病次数占总的看病次数的比重求的每段 一个平均年基金支付总额 再求的每个区间段的平均人数 平均总额与平均人数的比即 为新的定价 结果为 29 05 109 05 119 72 63 64 101 114 92 针对问题二 对附件 4 的数据进行分析 建立了聚类分析模型 对 46 个医疗机构 进行的分类 运用 SPSS 进行求解 把医疗机构分成了 5 类 分类结果见表五 然后在 新的定额标准下 利用 excel 求的每一个医疗机构的总费用 最后用均值表示为每一类 医疗机构的下一年的预测费用为 医疗机构 下一年总费用 第一类医疗机构 6075315 第二类医疗机构 21300 48 第三类医疗机构 9025437 第四类医疗机构 7326655 第五类医疗机构 50665404 关键字 统计回归 聚类分析 拟合 一 问题重述 近来 为给各县市居民的医保方便 各县市纷纷出台有关社会基本医疗保险普通门 诊统筹的相关办法 其中 职工医疗保险 外来劳务人员大病医疗保险 未成年人医疗 保险 城乡居民基本医疗保险的参保人全部纳入门诊统筹的范围 社会基本医疗保险门诊统筹实行定点医疗 某市医疗保险定点医疗机构为社区卫生 服务机构及镇卫生院 保险按照年度定额筹集 每人每年 100 元 由于医疗保险基金收 入规模是相对固定的 而医疗消费的种类与数量具有较大的不确定性 导致年基金支付 额是相对不确定的 因此医院 医疗保险经办机构 患者三者的经济关系是相当复杂的 经过分析已有数据发现 参保人的实际医疗费用与其年龄有很大的关系 因此必须考虑 年龄结构的因素来制定门诊统筹定额标准 分析附件中的数据 并建立模型求解下列问题 1 由已有数据分析年基金支付额与年龄之间的关系 并根据年龄的不同分成若干 类 为各年龄段的人给出新的定额标准 2 在新的定额标准下把各家定点医疗机构按照其目前定点签约人的年龄结构将其 分成若干类 制定每一类定点医疗机构下一年度的定额总费用模型 二 问题分析 从附件中发现 本题带有较多的数据表 分析数据表发现 年基金支付额与参保人 的年龄 看病次数 每个医疗机构的定点人数都有一定的相关性 可以先用 spss 对其 进行相关性分析 根据结果和用 excel 绘制的各种图表进一步分析 建立模型 求解出 年龄与年基金支付总额之间的关系 也可以根据各年龄的年基金支付总额对总基金支付 额的贡献值来求出它们的关系 然后可以根据年龄的不同将年支付基金按一定的标准进 行划分为若干类 在均衡各医疗机构所得利益与居民所获基金赔偿的条件下 并为各个 不同年龄段的人给出新的定额标准 由附件中给出的医疗机构与定点签约人年龄的关系可以看出 定点医疗机构与定点 签约人年龄的关系不是很明显 而且只有年龄这一个单一的因素来将医疗机构分类 可 以用模糊聚类分析法来考虑医疗机构的分类问题 选取合适的相似系数 建立模糊相似 矩阵 从而对所有医保门诊进行分类 但首先对所给数据进行标准化可以提高数据计算 的精度 从而使计算结果的准确性得到进一步的提高 由新的定额标准结合各年龄的基 金支付特点来考虑下一年度的定额总费用 三 符号说明 x表示年龄 y表示年基金支付总额 i a表示每个年龄的总的看病次数 i y表示每个年龄的年基金支付总额 P表示所有年龄对应的看病次数的总和 i W表示看病次数的比重 X表示A段来说总的参保人数 i X表示每个年龄的参保人数 M表示平均参保人数 1 A表示A区间段的最终定价 iB y表示对于B区间段每个年龄的基金支付总额 iB W表示对于 B 区间段每个年龄的看病次数占看病次数总和的比重 1 Q表示平均基金支付总额 B M表示对于B区间段平均参保人数 1 B表示B区间段的最终定价 1 C表示对于C区间段最终的定价 2 Q表示C区间段的年基金支付总额 C M表示 C 区间段平均参保人数 1 D表示对于D区间段最终的定价 1 E表示对于E区间段最终的定价 1 F表示对于F区间段最终的定价 R表示参保人员缴纳的总的费用 I表示所在年龄的年基金支付总额的和 Z表示盈利比率 i G表示第i个医疗机构m个年龄的年基金支付总额的指标 im g表示第 i 个医疗机构第 m 个年龄的年基金支付总额 ik x表示正规化调整以后的第i个医疗机构第m个年龄的年基金支付总额 ik X表示调整以前第i个医疗机构第m个年龄的年基金支付总额 min i x表示第i个医疗机构中年基金支付总额的最大值 max i x表示第 i 个机构中年基金支付总额的最小值 ij r表示相似方阵中第i行第j列的相似系数 ik x表示调整后第i个医疗机构第k个年龄的年基金支付总额 jk x表示第j个医疗机构第k个年龄的年基金支付总额 i x表示第i个医疗机构的年基金支付总额的平均值 j x表示第j个医疗机构年基金支付总额的平均值 四 模型假设 1 假设该市基金金额只与年龄 参保人数 看保人数有关 排除其他因素的影响 2 假设不同人群间统筹共济 统一管理和统一待遇水平 3 假设所有参保人都遵守医疗保险的有关规定 没有发生侵害医疗保险基金行为的参 保人员 4 假设附件中的所有相关数据真实可靠 5 假设所有的相关数据具有独立性 各个指标也不相呼影响 6 由于数据过少 假设下一年度参保人数与今年一样 五 模型的建立与求解 模型一 为了研究年基金支付与年龄的关系 对附件 1 2 3 所给数据进行分析 分别得出 年龄与看病人数 年龄与看病次数 见表五 年龄与定点参保人数及年龄与年基金支 付总额之间的关系图 其中年龄与基金支付总额见下表 定点人数 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 11631466176 91 106 系列1 图一 年龄与年基金支付总额 0 200000 400000 600000 800000 1000000 1200000 1400000 1600000 1800000 2000000 1173349658197 系列1 图二 年龄与年基金支付总额关系图 由上图可知 年龄与年基金支付总额之间并不是一直存在简单的线性 二次或三次 的函数关系 故以图中两个最低点 17 和 19 为分割点 对年龄进行分段 并对各个年龄 段中年龄与基金支付总额的关系进行拟合 由图可将年龄分为三段 0 到 17 岁 18 到 49 岁 50 到 110 岁 1 0 到 17 岁 经过对 0 到 17 岁之间年龄与年基金支付总额之间的关系 用 spss 分别对其进行二 次三次的拟合 拟合结果如下 表一 第一次拟合结果 模型汇总和参数估计值模型汇总和参数估计值 因变量 年基金支付总额 方程 模型汇总 参数估计值 R 方 F df1 df2 Sig 常数 b1 b2 b3 二次 421 4 728 2 13 029 157960 687 189518 240 12180 599 三次 806 16 667 3 12 000 743166 892 743462 163 91226 878 3099 854 自变量为 年龄 由上表可知 对年龄与年基金支付总额进行二次拟合的 F 值为 4 728 sig 值为 0 029 而对其进行三次拟合时 F 的值为 16 667 sig 的值为 0 000 即相比之下 进行 三次拟合时显著性更强 故采用三次拟合的结果 即 743167 743462 91227 3100 23 xxxy 1 拟合结果图如下 图三 0 到 17 岁年龄与年基金支付总额之间的关系 2 18 到 49 岁 对 18 到 49 岁之间年龄与年基金支付总额之间的关系 通过对图一的分析 同样对 其进行二次和三次拟合 拟合结果如下 表二 第二次拟合结果 模型汇总和参数估计值模型汇总和参数估计值 因变量 年基金支付总额 方程 模型汇总 参数估计值 R 方 F df1 df2 Sig 常数 b1 b2 b3 二次 898 132 308 2 30 000 2526353 906 226127 900 3055 685 三次 903 89 617 3 29 000 3611079 040 336311 382 6569 913 35 497 自变量为 年龄 由上表可知对其进行二次和三次拟合时sig值均为0 00 而二次拟合时R方值为0 898 小于三次拟合时的 R 方值 0 903 即二次拟合的决定系数小于三次拟合的决定系数 故 采用三次拟合方程 即 3611079 336311 6570 35 23 xxxy 2 由以上拟合结果绘制拟合图像如下 图四 18 到 49 岁年龄与年基金支付总额拟合图 3 50 到 110 岁 由图一可以看出在 49 到 110 岁的年龄之内年龄与年基金支付总额大致呈线性关系 故 对其进行线性和二次拟合 拟合结果见下表三 表三 第三次拟合结果 模型汇总和参数估计值模型汇总和参数估计值 因变量 年基金支付总额 方程 模型汇总 参数估计值 R 方 F df1 df2 Sig 常数 b1 b2 线性 898 528 796 1 60 000 1620149 063 16298 065 二次 957 652 716 2 59 000 3223806 982 58211 852 260 334 自变量为 年龄 由上表结果可知 在50到110的年龄区间内对其进行的线性和二次拟合结果中sig 值相等 都为 0 即系数的显著性都很强 但进行二次拟合时的 F 值 652 716 R 方值 0 957 都大于线性拟合时的 F 值 528 796 和 R 方值 0 898 即进行二次拟合时的拟合优 度大于线性拟合 二次拟合方程如下 3223807 58212 260 2 xxy 3 拟合结果图如下 图五 50 到 110 岁年龄与年基金支付总额拟合图 综上所述 可综合分析得出总体年龄与年基金支付总额之间的函数关系 1 743167 743462 91227 3100 23 xxxy 16 0 x 2 3611079 336311 6570 35 23 xxxy 49 17 x 3 3223807 58212 260 2 xxy 110 50 x 问题一要求从已有数据分析年基金支付额跟年龄之间的关系 我们根据题中给的第 一个表利用 excel 做出了一个年基金支付总额跟年龄的折现统计图 如图一 我们观察图形得到 从图形看我们可以把图形大致划分成几段来分析 从刚出来开始 在很小的一个年龄段中 年基金支付总额随着年龄的增加而增加 在从五岁到十五六这个年龄段里 年基金支付总额随着年龄的增加而减小 从十五六岁 再到四十岁左右这个年龄段里 年基金支付总额随着年龄的增加而增加 在接下来的年 龄段中 四十岁到五十岁 六十岁以后这两个年龄段中 年基金支付总额随着年龄的增 加而减小 五十岁到六十这个年龄段 年基金支付总额随着年龄的增加而增加 年基金支付总额从图中分析 与年龄没有成数学上某种特定的函数关系 因此我们又做 出一个看病次数与年龄的关系 如图 各年龄的看病次数 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 1163146617691 106 系列1 图六 年龄与看病次数关系图 从图形中 我们不难发现 各年龄的看病次数与年龄的关系 跟年基金支付总额跟 年龄的关系大致相同 在不同年龄段的上升趋势以及在不同年龄段的下降趋势都基本上 是吻合一致的 为此 我们运用统计学中的知识以及年基金支付总额与看病次数的关系建立模型二 统计学模型 模型二 从数据表中我们得出 年基金支付总额都在 0 到 180 万这个区间范围内 因此 我 们可以把年基金支付总额所属的区间段分为六段 A段年基金支付总额0到30万的区间 B 段年基金支付总额 30 万到 60 万的区间 C 段年基金支付总额 60 万到 90 万的区间 D 段年基金支付总额 90 万到 120 万的区间 E 段年基金支付总额 120 万到 150 万的区间 F 段年基金支付总额 150 万到 180 万的区间 对于 A 段 年基金支付总额与看病次数与年龄见附录 设每个年龄的总的看病次数为 每个年龄的年基金支付总额为 对于 A 段来说 P 表示所有年龄对应的看病次数的总和 可得 P 3 利用 Excel 可以算得 P 72957 为了要得到 A 段一个平均的年基金支付总额 我们需要根据每个年龄的看病次数占 所有年龄对应的看病次数的总和的比重 然后给出一个相应的平均年基金支付总额 设每个年龄的看病次数占看病次数的总和为 得到 4 平均年基金支付总额是每个年龄的年基金支付总额与所对应的看病次数的比重的 乘积 然后在求总的和 设平均年基金支付总额为 Q 可得 Q 5 同样利用 excel 计算得到 Q 180315 1634 设每个年龄的参保人数为 对于 A 段来说总的参保人数为 X 可得 X 6 平均参保人数 M 可得 M 利用 excel 计算得到 M 17236 最终的定价为每个区间段的平均年基金支付总额与平均参保人的比值 A 段的最终 定价设为 得到 利用 excel 求解得到下面结果 20 46 根据上面的算法 对于 B 段区间 设平均基金支付总额为 7 表示对于 B 区间段每个年龄的基金支付总额 表示对于 B 区间段每个年龄的 看病次数占看病次数总和的比重 利用 excel 计算得到结果 442060 0447 又因为对于 B 区间段平均参保人数为 利用 excel 计算得到 5782 可以得到最终的定价为 得 利用 excel 求解 可得结果 76 8 对于 C 区间段来说 可以得到 表示对于 C 区间段最终的定价 表示 C 区间段的年基金支付总额 表示 C 区间段平均参保人数 利用 excel 求解 结果如下 84 31 对于 D E F 区间段 同样利用 excel 求解 可得各自的结果如下 对于 D 区间段来说 44 82 对于 E 区间段来说 71 13 对于 F 区间段来说 80 93 此上的数据定价是按照基金会不以盈利为目的的参保定价 如果我们需要把基金会 盈利考虑到其中 我们做了下面的改进计算 以后的盈利按照现在的盈利比率 根据表中的数据我们得到参保人员所缴纳的总的 费用是总的参保人数与每个人参保所要缴纳的金额 利用 excel 我们计算得到参保人员 缴纳的总的费用为 R 103857400 元 所在年龄的年基金支付总额的和为 I 73114113 所以我们设盈利比率为 z 可得 z 100 100 8 利用 excel 就行求解 可以的到 z 0 42 然后我们按照此比率 分别将每个区间段的定价调整新的定价 可得 对于 A 区间段来说 1 0 42 29 05 对于 B 区间段来说 1 0 42 109 05 对于 C 区间段来说 1 0 42 119 72 对于 D 区间段来说 1 0 42 63 64 对于 E 区间段来说 1 0 42 101 对于 F 区间段来说 1 0 42 114 92 所以从年龄上看 0 岁 1 岁以及 79 岁到 110 岁都属于 A 区间段 他们新的定额为 30 元 2 岁 9 到 18 岁 63 岁到 78 岁都属于 B 区间段 他们新的定额为 110 元 7 岁 8 岁 51 到 62 岁都属于 C 区间段 他们新的定额为 120 元 5 岁 6 岁 19 到 23 岁都属于 D 区间段 他们新的定额为 45 元 3 岁 4 岁 24 到 28 43 到 50 度属于 E 区间段 他们新的定额为 101 元 29 岁到 42 岁都属于 F 区间段 他们新的定额为 115 元 问题二要求新的定额标准下把各家定点医疗机构按照其目前定点签约人的年龄结 构将其分为若干类 因为考虑到医疗机构比较多 年龄数量也比较多 总体的数据量比 较大 因此在分类方面也没有很严格的标准 综合这些特点 我们可以运用基于模糊等 价关系的动态聚类分析法来建立模糊数学模型对所有的医疗机构进行分类 模型三 要将所有的医疗机构进行分成若干类 我们需要对表 4 的数据进行分析 由表中数 据我们看到各个年龄作为标量级 他们的差别有点大 因此我们可以先对所有的数据做 一个预处理 做一个数据得内部处理 即正规化 表示第 i 个医疗机构 m 个年龄的年基金支付总额的指标表示 表示第 i 个医疗 机构第 m 个年龄的年基金支付总额 正规化函数 min max min ii iik ik xx xx x 9 正规化调整以后的第 i 个医疗机构第 m 个年龄的年基金支付总额 表示 调整以前第i个医疗机构第m个年龄的年基金支付总额 min 表示第i个医疗机构中 年基金支付总额的最大值 max 表示第 i 个机构中年基金支付总额的最小值 我们利用 excel 求解 得到标准化的结果见附录中表 在正规标准化的基础之上 我们将计算相似系数来得到最终的分类结果 选用相似系数 其函数关系为 m k m k jjkiik jik m k iik ij xxxx xxxx r 11 22 1 10 ij r表示相似方阵中第i行第j列的相似系数 ik x表示调整后第i个医疗机构第k个年龄 的年基金支付总额 jk x表示第j个医疗机构第k个年龄的年基金支付总额 i x表示第i个 医疗机构的年基金支付总额的平均值 j x表示第j个医疗机构年基金支付总额的平均值 利用 spss 对数据进行求解 得到结果如下 表五 第一类 8 11 第二类 13 17 第三类 1 2 3 7 14 24 27 28 29 37 34 46 第四类 19 21 23 26 35 36 39 41 42 44 第五类 4 5 6 9 10 12 15 16 18 20 22 25 30 31 32 33 38 40 43 45 图六 在将医疗机构分类以及新的定额标准基础上 得到每一个医疗机构新的年基金支付总 额 然后对于每一类医疗机构的基金支付总额是对其每一个医疗机构的求和 表示第 i 类医疗机构的新的年基金支付总额 表示新的每个医疗机构的年基金 支付额 利用 excel 进行求解 得到最终每类的基金支付总额 医疗机构 下一年总费用 第一类医疗机构 6075315 第二类医疗机构 21300 48 第三类医疗机构 9025437 第四类医疗机构 7326655 第五类医疗机构 50665404 六 模型的评价与改进 优点 1 本论文中采用几个多样化的模型 灵活独特的对题中所涉及的问题进行详细准确的 求解 2 思路清晰 语言严谨 假设比较合理 所用模型具有一般性 有利于推广 并且能 合理的解决问题 3 建立年龄与年基金支付总额之间的函数关系 选用spss进行拟合 具有一定的实际 价值 4 建立的模糊聚类模型分析模型能与实际紧密联系 结合实际情况对问题进行求解 使模型具有很好的通用性和推广性 5 对附件中的中众多表格进行了处理找出了许多变量之间的潜在关系 缺点 由于题中数据量很大 所建模型对数据的计算存在一定的难度 从而导致求解模型 的最终结果不是很容易 改进 本文所建模型为信息的反馈提供了依据 充分发挥了评价的导向和激发功能 从而 促进学生综合素质的提高 但大量的数据计算浪费了大量的时间 故寻找合适的计算方 法是本文所要改进的具体方向 七 参考文献 1 姜启源 谢金星 叶俊 数学模型 北京 高等教育出版社 2003 8 2 王红 王云 基于模糊聚类分析的奖学金评定系统分析 1671 7597 2011 0910153 01 153页 149页 2011 3 秦小铁 郑辉昌 基于模糊聚类分析的图书馆选决策方法 重庆科学学院学 报 1673 1999 2011 11 0165 02 165 166页 2011 11 附件 A 区间段年基金支付总额 看病次数 年龄的数据 0 0 0 0 0 88 34 155 33 249 41 305 31 365 27 591 91 1305 24 1310 41 2003 77 5528 93 7348 33 8926 34 9338 12625 18 14751 09 22578 44 35631 57 36300 94 51633 31 72935 55 102521 73 122262 02 135326 2 167312 26 178246 46 185064 91 222595 05 267871 57 274038 59 103 105 107 108 109 110 101 104 106 102 100 97 99 98 95 96 93 94 92 0 91 90 89 88 87 86 85 84 83 81 82 1 80 79 0 0 0 0 0 8 8 6 3 20 29 52 65 65 151 215 318 335 423 968 763 1222 1328 1882 2158 3365 4359 5010 5806 6163 6373 13964 8909 8989 B区间段年基金支付总额 看病次数 年龄的数据 300670 03 305388 35 327544 28 336988 61 369014 94 372816 04 375602 13 378711 19 379543 26 381957 53 384870 386696 04 398364 55 402592 04 405070 24 413482 94 419328 33 440148 12 459083 88 477014 44 480527 87 499150 43 525871 5 560805 97 562407 81 567513 44 576790 48 9303 9666 77 78 75 76 14 74 73 15 71 13 70 69 67 16 72 68 12 17 10029 9940 10783 10604 10642 10741 10114 11231 10360 10050 10364 10910 10526 10644 12752 11643 11700 12572 12809 15171 24626 17090