第三章31轮廓模型.pdf

2014 3 11 1 补充一 军备竞赛 在核军备竞赛中 两国之间核军备竞赛是否可 以协调 裁军可能吗 在核军备竞赛中 两国之间核军备竞赛是否可 以协调 裁军可能吗 背景知识 美国前任参谋长联席会议主席背景知识 美国前任参谋长联席会议主席 TaylorTaylor 曾提出如下核曾提出如下核 威慑目标威慑目标 为使战略核为使战略核TaylorTaylor 曾提出如下核曾提出如下核 威慑目标威慑目标 为使战略核为使战略核 力量的威慑效力达到最大限度 它们力量的威慑效力达到最大限度 它们必须在第 一次遭遇打击之后生存下来 必须在第 一次遭遇打击之后生存下来 而且而且还有足够的 能力破坏敌方目标 还有足够的 能力破坏敌方目标 人口和工业中心人口和工业中心 求什么 求什么 用数学语言表达 用数学语言表达 关键是什么 要考虑哪些因素 关键是什么 要考虑哪些因素 假 设 1 甲 乙两国对对方实施一次致命性打击所需 的核武器数目分别为x 1 甲 乙两国对对方实施一次致命性打击所需 的核武器数目分别为x0 0 y y0 0 2 甲 乙两国都采取保守战略 在遭受第一次 打击后 保证有足够的核武器保留下来 给 2 甲 乙两国都采取保守战略 在遭受第一次 打击后 保证有足够的核武器保留下来 给 以对方致命性的还击 记他们需要核武器数 量分别为x y 3 分别以p 以对方致命性的还击 记他们需要核武器数 量分别为x y 3 分别以p1 1 p p2 2表示甲 乙双方 其一件核武 器在遭受对方一件核武器袭击后保留下来的 概率 表示甲 乙双方 其一件核武 器在遭受对方一件核武器袭击后保留下来的 概率 先考虑甲方 如果x y 则在遭受一次打击后留下的核武器件 数为 p 先考虑甲方 如果x y 则在遭受一次打击后留下的核武器件 数为 p1 1x 按假设要求 px 按假设要求 p1 1x xx x0 0 如果x y 2 则在遭受一次打击后留下的核武器 如果x y 2 则在遭受一次打击后留下的核武器 件数为件数为 p p 2 2x x 按假设要求 按假设要求 p p 2 2x x x x 件数为件数为 p p1 1x x 按假设要求按假设要求 p p1 1x x x x0 0 在遭受一次打击后留下的核武器件数为 p 在遭受一次打击后留下的核武器件数为 p1y x 1y xx 甲方需要保持的核武器数量x满足 p x 甲方需要保持的核武器数量x满足 p1y x 1y xx x x x0 0 同样 乙方需要保持的核武器数量y满足 p 同样 乙方需要保持的核武器数量y满足 p2x y 2x yy y y y0 0 Y国安全区 例如 0 5y x y xx 6 0 2 x 6 0 2x y x yy 4 y 4 各自的安全区内代表各国满意的核军备水平 双 方安全区是核军备竞赛的可协调的稳定区 如果 不存在这样的区域 说明核军备竞赛无止尽 各自的安全区内代表各国满意的核军备水平 双 方安全区是核军备竞赛的可协调的稳定区 如果 不存在这样的区域 说明核军备竞赛无止尽 X国安全区 进一步 研究以下战略对军备竞赛的影响 如果x国核防御能力增强 如果x国核防御能力增强 导致导致 y y0上0上升升 导致导致 y y升升 如果x国将它的导弹放在移动发射架上 如果x国将它的导弹放在移动发射架上 导致p1增大 导致p1增大 如果x国使用多弹头导弹 如果x国使用多弹头导弹 导致交比x y增大 导致交比x y增大 补充二 交通流统计 2013年全国大学生数学建模竞赛年全国大学生数学建模竞赛A题题 提供视频数据 对事故发生后不同车道提供视频数据 对事故发生后不同车道 被占用后道路的实际通行能力和车辆排被占用后道路的实际通行能力和车辆排被占用后道路的实际通行能力和车辆排被占用后道路的实际通行能力和车辆排 队过程进行建模和分析 队过程进行建模和分析 题目的难点 题目的难点 通过视频资料获得车流数 据 通过视频资料获得车流数 据 以此建立数学模型 分析部分车道 被占用后 道路拥塞程度与上游来车辆 的关系 以此建立数学模型 分析部分车道 被占用后 道路拥塞程度与上游来车辆 的关系 2014 3 11 2 A题目 视频视频1 附件 附件1 和视频 和视频2 附件 附件2 中的 两个交通事故处于同一路段的同一横断 中的 两个交通事故处于同一路段的同一横断 面面且完全占用两条车道且完全占用两条车道请研究以下请研究以下面面 且完全占用两条车道且完全占用两条车道 请研究以下请研究以下 问题 问题 1 根据视频根据视频1 附件 附件1 描述视频中交 通事故发生至撤离期间 描述视频中交 通事故发生至撤离期间 事故所处横断面 实际 事故所处横断面 实际通行能力通行能力的变化过程 的变化过程 题目视频下载网址 题目视频下载网址 ftp 202 112 84 5 pub mathmodel cumc m2013problems 进一步 车辆排队长度的建模与计算 车辆排队长度的建模与计算 从视频本身还可以统计出很多别的数据从视频本身还可以统计出很多别的数据 车流量车流量车辆类型车辆类型排队长度排队长度上有上有 车流量车流量 车辆类型车辆类型 排队长度排队长度 上有上有 来车情况 小区出入车辆 直行和拐弯 比例 可以以不同的长度区间统计等等 来车情况 小区出入车辆 直行和拐弯 比例 可以以不同的长度区间统计等等 补充三 人员疏散问题 数学建模书数学建模书P 18 主要因素 时间 人与人之间距离 速主要因素 时间 人与人之间距离 速 度度度度 模拟方法 元胞自动机模拟方法 元胞自动机 是一时间和空间都离散的动力系统是一时间和空间都离散的动力系统 可以应用在美赛车辆微观通行问题可以应用在美赛车辆微观通行问题 第三章 常用数学模型及建模方法 3 1 量纲分析与轮廓模型3 1 量纲分析与轮廓模型 1 量及其度量1 量及其度量 1 10 0 模型所涉及的主要是量 而不只是数 2 模型所涉及的主要是量 而不只是数 20 0 量 物理量 可以分为 量 物理量 可以分为 基本量基本量 基础的基础的独立的量独立的量 一 量与量纲 基本量基本量 基础的基础的 独立的量独立的量 长度 质量 时间 长度 质量 时间 导出量 由基本量通过自然规律导出的量 速度 加速度 力 导出量 由基本量通过自然规律导出的量 速度 加速度 力 3 30 0 量的度量体系 量的度量体系 单位制 基本量及其度量单位 单位制 基本量及其度量单位 2014 3 11 3 国际单位 SI 制国际单位 SI 制 基本量基本量 名称单位符号名称单位符号 长度 L 米m长度 L 米m 质量质量千克千克k k 导 出 量导 出 量 名称单位符号名称单位符号 力牛顿N kgms力牛顿N kgms 2 2 能量能量焦焦耳耳J J kgmkgm2 2s s 2 2 质量质量 M M 千克千克k kg 时间 T 秒s 电流强度I 安培A 温度 开尔文K 光强 J 坎德拉cd 物质的量N 摩尔mol g 时间 T 秒s 电流强度I 安培A 温度 开尔文K 光强 J 坎德拉cd 物质的量N 摩尔mol 能量能量焦焦耳耳J J kgmkgm2 2s s 2 2 功率瓦特W kgm功率瓦特W kgm2 2s s 3 3 频率赫兹Hz s 频率赫兹Hz s 1 1 压强帕斯卡Pa kgm 压强帕斯卡Pa kgm 1 1s s 2 2 2 量纲2 量纲 1 10 0 量纲 一个物理量Q一般都可以表示为基本 量乘幂之积 称为量纲积或量纲表达式 Q L 量纲 一个物理量Q一般都可以表示为基本 量乘幂之积 称为量纲积或量纲表达式 Q L M M T T I I J J N N 称 为量纲指数 例 长度 L 质量 M 时间 T 面积 L 称 为量纲指数 例 长度 L 质量 M 时间 T 面积 L2 2 体积 L 体积 L3 3 速度 LT 速度 LT 1 1 加速度 LT 加速度 LT 2 2 力 MLT 力 MLT 2 2 能量 ML 能量 ML2 2T T 2 2 注注 1 物理量的量纲只依赖于基本量的选择 独立 于单位的确定 2 对于某个物理量Q 如果 1 物理量的量纲只依赖于基本量的选择 独立 于单位的确定 2 对于某个物理量Q 如果 Q L Q L M M T T I I J J N N 有 0 则称之为无量纲量 记为 Q 1 它将不依赖于选定的基本量 3 无量纲量不一定是无单位的量 有 0 则称之为无量纲量 记为 Q 1 它将不依赖于选定的基本量 3 无量纲量不一定是无单位的量 2 20 0 量纲齐次法则 一个物理规律的数学表达式中每一个加项的 量纲必须是一致的 或者都是无量纲量 例如 牛顿第二定律F ma 量纲齐次法则 一个物理规律的数学表达式中每一个加项的 量纲必须是一致的 或者都是无量纲量 例如 牛顿第二定律F ma F MLT F MLT 2 2 ma MLT ma MLT 2 2 F MLT F MLT 2 2 ma MLT ma MLT 2 2 满足量纲齐次法则的物理规律与这个规律所 涉及的物理量的量纲单位的选择无关 满足量纲齐次法则的物理规律与这个规律所 涉及的物理量的量纲单位的选择无关 二 量纲分析 Dimensional Analysis 量纲分析是量纲分析是20世纪初提出的在物理 领域中建立数学模型的一种方法 利 世纪初提出的在物理 领域中建立数学模型的一种方法 利 用物理量的量纲提供的信息 根据量 纲齐次法则确定物理量之间的关系 用物理量的量纲提供的信息 根据量 纲齐次法则确定物理量之间的关系 分析过程归结为 Buckingham 定理分析过程归结为 Buckingham 定理 例1 建模描述单摆运动的周期例1 建模描述单摆运动的周期 质量为 m 的小球系在长度为 l 的线的一端 铅垂悬挂 小球稍稍偏离平衡位置后将在重力的作用 下做往复的周期运动 质量为 m 的小球系在长度为 l 的线的一端 铅垂悬挂 小球稍稍偏离平衡位置后将在重力的作用 下做往复的周期运动 分析小球摆动周期的规律分析小球摆动周期的规律 x l m 分析小球摆动周期的规律分析小球摆动周期的规律 问题 求小球摆动的周期对小球质量和摆线长 度的依赖关系 问题 求小球摆动的周期对小球质量和摆线长 度的依赖关系 假设 1 单摆作平面运动 2 忽略可能存在的磨擦力 3 忽略空气阻力 4 忽略摆线的质量和变形 假设 1 单摆作平面运动 2 忽略可能存在的磨擦力 3 忽略空气阻力 4 忽略摆线的质量和变形 2014 3 11 4 分析建模 1 分析建模 10 0 列出有关的物理量 运动周期 t 摆线长 l 摆球质量 m 重力加速度 g 振幅 x 2 列出有关的物理量 运动周期 t 摆线长 l 摆球质量 m 重力加速度 g 振幅 x 20 0 形式上写出规律 形式上写出规律 F t l m g x 0 方程左边具有如下形式的项一定是无量纲 F t l m g x 0 方程左边具有如下形式的项一定是无量纲 35124 p yyyyy t l m gx 3 30 0 写出量纲 t T l L m M g LT 写出量纲 t T l L m M g LT 2 2 x 1 涉及的基本量 时间T 长度L 质量M 4 x 1 涉及的基本量 时间T 长度L 质量M 40 0 根据 根据 331241424 22 1 yyyyyyyyy pT L MLTTLM 解方程组 AY 0 即 y 解方程组 AY 0 即 y1 1 2y 2y4 4 0 y 0 y2 2 y y4 4 0 y 0 y3 3 0 0 10020 01010 00100 A p 因为量纲矩阵A 的秩为3 所以AY 0有2个基本解 已知y 因为量纲矩阵A 的秩为3 所以AY 0有2个基本解 已知y5 5为自由变量 5 为自由变量 50 0 选择 y选择 y1 1 y y5 5 为自由变量 为自由变量 令y 令y1 1 1 y 1 y5 5 0 0 10020 01010 00100 A 1 1 5 5 和y和y1 1 0 y 0 y5 5 1 得到基本解 1 得到基本解 1 0 0 0 0 0 2 1 0 2 1 1 y y y y y 5 4 3 2 1 60 0 写出无量纲量p 将方程的解代入加项 p 的表达式 可得2个函 数无关项 p 写出无量纲量p 将方程的解代入加项 p 的表达式 可得2个函 数无关项 p1 1 t t1 1 l l 1 2 1 2 g g1 21 2 p p2 2 x 7 x 70 0 建模 建模 单摆运动的规律单摆运动的规律F t l m g x 0F t l m g x 0单摆运动的规律单摆运动的规律F tF t l l m m g g x x 0 0 可以表示成 f p 可以表示成 f p1 1 p p2 2 0 解出 p 0 解出 p1 1可得 p 可得 p1 1 k k1 1 p p2 2 即 t l 即 t l 1 2 1 2g g 1 2 1 2 k k1 1 x x 周期t与小球质量无关 周期t与小球质量无关 glxkt 80 0 检验检验 周期与 质量 m周期与 质量 m 关系关系 m 390g m 237g l 276cm 3 327s 3 350s l 226cm3 058s3 044sl 226cm 3 058s 3 044s 周期与振幅周期与振幅 x l 276cm m 390g x 0 8 34 13 18 18 17 23 31 28 71 33 92 39 99 46 62 k x 6 346 6 346 6 354 6 354 6 388 6 388 6 471 6 524 当 0当 00 0 x 15 x 150 0时 k x 2 时 k x 2 当 15当 150 0 x 时 k x 与 x 有关 x 时 k x 与 x 有关 注1 在 常微分方程 注1 在 常微分方程 丁同仁 李承治编丁同仁 李承治编 书中 通过建立单摆方程 讨论单摆运动 规律 得到 在初始条件 x t 书中 通过建立单摆方程 讨论单摆运动 规律 得到 在初始条件 x t0 0 x x0 0 x x t t0 0 0 0 下下单摆振荡周期单摆振荡周期 T T xT T x 满足规律满足规律下下 单摆振荡周期单摆振荡周期 T T xT T x0 0 满足规律满足规律 当 x 当 x0 0 0 时 T x 0 时 T x0 0 2 l g 2 l g 1 2 1 2 当 x当 x0 0 时 T x 时 T x0 0 与这里所得到的结论相同 与这里所得到的结论相同 0sin 2 2 x l g dt xd 2014 3 11 5 总结 总结 Buckingham 定理Buckingham 定理 由m个由m个物理量 q物理量 q1 1 q qm m 构成一个物理系统 其数学表达式 F q 构成一个物理系统 其数学表达式 F q1 1 q qm m 0 是量纲齐 次的 当且仅当它可以表示为由m r个相互独 立的无量纲量 p 0 是量纲齐 次的 当且仅当它可以表示为由m r个相互独 立的无量纲量 p1 1 p pm r m r 构成的函数关系 构成的函数关系 式 f p式 f p1 1 p pm r m r 0 其中 0 其中 m y 1 pq 1 r sj sj j sm T s1sm y y y 1 r s sm 是线性齐次方程组AY 0的基本解 其中n m矩阵 A a 是线性齐次方程组AY 0的基本解 其中n m矩阵 A aij ij 秩为r 其第j列元素是物理量 q 秩为r 其第j列元素是物理量 qj j 的量纲指数的量纲指数 其中其中 XX 是基本量是基本量称称A为量纲矩阵为量纲矩阵 n 1j X q n 1i a ij ij 其中其中 X1 Xn 是基本量是基本量 称称A为量纲矩阵为量纲矩阵 事实上事实上 n 1i ya i n 1i ya i m 1j m 1j y js m 1j sjij sjs XX q p 1 ijj n 1i0 ya m 1jsjij 正确使用量纲分析法 正确确定与系统有关的物理量 正确确定与系统有关的物理量 合理选择基本量 合理选择基本量 力学问题选L M T 热学问 题加上温度 电学问题加上电量 力学问题选L M T 热学问 题加上温度 电学问题加上电量 恰当构造基本解 恰当构造基本解 关键在选择自由变量 关键在选择自由变量 例如 y5已经是自由变量 另一个必须取t的指标 y1 例如 y5已经是自由变量 另一个必须取t的指标 y1 注意结果的局限性注意结果的局限性 量纲分析有助于选择适当的模型 降低预测 所做的实验次数 以最简洁的形式提交结果 量纲分析有助于选择适当的模型 降低预测 所做的实验次数 以最简洁的形式提交结果 问题 英国物理学家Taylor通过研究美国 试爆的全球第一颗原子弹的录像带 用量 纲分析和数值模拟方法建立数学模型 对 这次爆炸所释放的能量进行了估计 问题 英国物理学家Taylor通过研究美国 试爆的全球第一颗原子弹的录像带 用量 纲分析和数值模拟方法建立数学模型 对 这次爆炸所释放的能量进行了估计 首先 Taylor 利用录像带测出从爆炸开始 不同时 刻 1ms 10 首先 Taylor 利用录像带测出从爆炸开始 不同时 刻 1ms 10 3 3s 爆炸所产生的 蘑菇云 的半径 m s 爆炸所产生的 蘑菇云 的半径 m t 0 1 0 24 0 38 0 52 0 66 0 8 0 94 1 08 1 22 1 36 1 5 1 65 1 79 1 93 3 26 3 53 3 8 4 07 4 34 4 61 15 2 5 34 53 62 15 2 5 34 53 62 r 11 1 19 9 25 4 28 8 31 9 34 2 36 3 38 9 41 42 8 44 4 46 46 9 48 7 59 61 1 62 9 64 3 65 6 67 3 106 5 130 145 175 185 然后 由量纲分析得到时间 半径与能量的关系 然后 由量纲分析得到时间 半径与能量的关系 讨论 已知原子弹爆炸时产生的冲击波以 爆炸点为中心呈球面向四周传播 在时刻 t 冲击波达到的半径 r 与释放的能量 E 大气的密度 大气压强 p 有关 讨论 已知原子弹爆炸时产生的冲击波以 爆炸点为中心呈球面向四周传播 在时刻 t 冲击波达到的半径 r 与释放的能量 E 大气的密度 大气压强 p 有关 E L E L2 2 M TM T 2 2 L L 3 3 M p L M p L 1 1 M T M T 2 2 用量纲分析方法证明 用量纲分析方法证明 32 65 5 1 2 E tpEt r 2014 3 11 6 0 32 65 E tp b5 2 5 15 1 2 at t E Et r 10 小实验小实验 最后 利用观测数据 运用最小二乘法确定最后 利用观测数据 运用最小二乘法确定 a 37 2637 和和 b 0 3883 2 5 能量值能量值 E a5 由 由 1 25kg m3 计算得 计算得 E 8 9814 1013焦耳焦耳 1千吨千吨 4 184 1012焦耳焦耳 E 21 466千吨 千吨 实际上实际上E 21千吨 千吨 三 量的比例关系 1 10 0 模型反映了不同量纲的量之间的转换规律 2 模型反映了不同量纲的量之间的转换规律 20 0 由量纲分析原理可知 不同量纲的量的乘幂 之间一定存在比例关系 由量纲分析原理可知 不同量纲的量的乘幂 之间一定存在比例关系 例如 单摆运动 T例如 单摆运动 T L L1 1 2 2 匀速运动 T L 匀加速运动 T L 匀速运动 T L 匀加速运动 T L1 2 1 2 3 30 0 在同一模型中 若量 y 在同一模型中 若量 y1 1和 y和 y2 2的量纲分别 为 y 的量纲分别 为 y1 1 X X 和 y和 y2 2 X X 则一定有 y 则一定有 y1 1 k y k y2 2 例如 S 面积 L例如 S 面积 L2 2 体体 3 3 V V 体体积积 L L3 3 V kSV kS3 2 3 2 S kV2 3 在在简单的几何体简单的几何体 正方体 球 正方体 球 中 相应部位的面积与相应部位长度的平方呈正比 S 中 相应部位的面积与相应部位长度的平方呈正比 Si i L Lj2 j2 即 S 即 Si i k k1 1L Lj2 j2 相应部位的体积与相应部位长度的立方呈正比 相应部位的体积与相应部位长度的立方呈正比 3 3 k k 3 3 V V i i L Lj j3 3 即 即 V V i i k k2 2L Lj j3 3 相应部位的体积与相应部位面积的3 2次方呈正比 V 相应部位的体积与相应部位面积的3 2次方呈正比 Vi i S Sj3 2 j3 2 即 V 即 Vi i k k3 3S Sj3 2 j3 2 同样的结论对 同样的结论对相似的几何体相似的几何体 长方体 椭球 长方体 椭球 成立 对 成立 对抽象几何体抽象几何体 生物体 生物体 一般也成立 一般也成立 例2 人的体重W与身高L关系例2 人的体重W与身高L关系 体重 W 体积 V L 体重 W 体积 V L 3 3 W k LW k L3 3 W kg 12 17 22 35 48 54 66 75 L m 0 86 1 08 1 16 1 35 1 55 1 67 1 78 1 85 W kg 12 17 22 35 48 54 66 75 L m 0 86 1 08 1 16 1 35 1 55 1 67 1 78 1 85 k W Lk W L3 318 9 13 5 14 1 14 2 12 9 11 6 11 7 11 8 确定参数 k 18 9 13 5 14 1 14 2 12 9 11 6 11 7 11 8 确定参数 k 8 1i i k 8 1 k 3 8 1i i 8 1i i L 8 1 W 8 1 k 人的体重W和身高L人的体重W和身高L3 3关系关系 推论 人的身高每增加5 身体表面积则增加10 体重则增加16 推论 人的身高每增加5 身体表面积则增加10 体重则增加16 2014 3 11 7 1 雨滴匀速下降 空气阻力与雨滴表面积和 速度平方的乘积呈正比 建模描述雨速与 1 雨滴匀速下降 空气阻力与雨滴表面积和 速度平方的乘积呈正比 建模描述雨速与 雨滴质量的关系雨滴质量的关系 讨论 雨滴质量的关系雨滴质量的关系 2 云和灰尘为什么会 浮 在空气中 3 树木为什么不长高到天顶 2 云和灰尘为什么会 浮 在空气中 3 树木为什么不长高到天顶 推荐书目 别莱利曼 趣味力学 趣味物理学 中 国青年出版社 别莱利曼 趣味力学 趣味物理学 中 国青年出版社 3 生物学家认为 正在休息的温血动物体 内的能量就是为了保持其体温 体内的 生物学家认为 正在休息的温血动物体 内的能量就是为了保持其体温 体内的 能量与通过心脏的血流量成正比能量与通过心脏的血流量成正比建立建立能量与通过心脏的血流量成正比能量与通过心脏的血流量成正比 建立建立 一个数学模型将通过心脏的血流量与体 重联系起来 进一步建立心搏率与体重 的关系 讨论你模型中的假设 并用下 面数据检验模型 一个数学模型将通过心脏的血流量与体 重联系起来 进一步建立心搏率与体重 的关系 讨论你模型中的假设 并用下 面数据检验模型 动物名体重动物名体重 克 克 脉搏率脉搏率 心跳次数 分钟 心跳次数 分钟 鼠25 670 大鼠200 420 豚鼠300 300 鼠25 670 大鼠200 420 豚鼠300 300 兔2000 205 小狗5000 120 大狗30000 85 羊50000 70 马450000 38 兔2000 205 小狗5000 120 大狗30000 85 羊50000 70 马450000 38 直接利用不同量纲的量之间直接利用不同量纲的量之间 的比例关系所得到的模型称之的比例关系所得到的模型称之 四 轮廓模型四 轮廓模型 的比例关系所得到的模型称之的比例关系所得到的模型称之 为轮廓模型 为轮廓模型 例例3 划艇比赛的成绩划艇比赛的成绩 问题1 划艇按艇上桨手的人数分为问题1 划艇按艇上桨手的人数分为单人 双人 四人和八人 单人 双人 四人和八人艇四种 赛程 2000m 称划行时间为比 赛成绩 种类 4 次记录的成绩 分钟 平均 艇四种 赛程 2000m 称划行时间为比 赛成绩 种类 4 次记录的成绩 分钟 平均 单人 7 16 7 25 7 28 7 17 7 215 双人 6 87 6 94 6 95 6 77 6 8775 四人 6 33 6 42 6 48 6 13 6 34 八人 5 87 5 92 5 82 5 73 5 835 单人 7 16 7 25 7 28 7 17 7 215 双人 6 87 6 94 6 95 6 77 6 8775 四人 6 33 6 42 6 48 6 13 6 34 八人 5 87 5 92 5 82 5 73 5 835 为什么不同类型的赛艇比赛成绩不同 为什么不同类型的赛艇比赛成绩不同 2014 3 11 8 试组建模型描述划艇的比赛成绩与艇上运动员 人数的关系 试组建模型描述划艇的比赛成绩与艇上运动员 人数的关系 目标 求比赛成绩 时间 目标 求比赛成绩 时间 T T对人数对人数n n的依赖 关系 T T n 的依赖 关系 T T n 假设 假设 比赛 成绩 距离为D 艇速定常 v 比赛 成绩 距离为D 艇速定常 v 于是T D v于是T D v n位桨手划艇输出的功完全用于克服水的阻力F 每位浆手输出功率为 P n位桨手划艇输出的功完全用于克服水的阻力F 每位浆手输出功率为 P 物理定律 功 力 距离 功率 力 速度 于是n P k 物理定律 功 力 距离 功率 力 速度 于是n P k1 1 F v F v 运动员体重 W 相等 每人输出功率 P 不变 且与 体重 W 呈正比 即P k 运动员体重 W 相等 每人输出功率 P 不变 且与 体重 W 呈正比 即P k2 2W W 水的阻力 F与赛艇在水中的浸没面积S与艇速平方 v 水的阻力 F与赛艇在水中的浸没面积S与艇速平方 v2 2乘积呈正比 即F k乘积呈正比 即F k3 3SvSv2 2 n Pn P k k1 1F vF v 由假设由假设 k k2 2n Wn W k k1 1k k3 3S vS v3 3 n n P P k k1 1 F F v v 由假设由假设 k k2 2 n n WW k k1 1 k k3 3S S v v 速度模型 v k速度模型 v k4 4 nW S nW S 1 3 1 3 赛艇在水中的浸没面积与排水体积V之间有关系 S k 赛艇在水中的浸没面积与排水体积V之间有关系 S k5 5V V2 3 2 3 由阿基米德原理可知划艇排水的体积V与艇重U和人 重nW总和呈正比 V k 由阿基米德原理可知划艇排水的体积V与艇重U和人 重nW总和呈正比 V k6 6 U nW U nW 单人艇双人艇四人艇八人艇 艇长 m 7 939 7611 7518 28 艇宽 m 0 2930 3560 5740 610 有关赛艇的资料 各种赛艇的长宽比分别为 27 1 27 4 20 5 30 0 人均艇重 16 3 13 6 18 1 14 7 各种赛艇的长宽比分别为 27 1 27 4 20 5 30 0 人均艇重 16 3 13 6 18 1 14 7 艇宽 m 0 2930 3560 5740 610 艇重 kg 16 327 272 4117 6 艇身相似 艇重 U 与桨手人数 n 呈正比 U k 艇身相似 艇重 U 与桨手人数 n 呈正比 U k7 7n n 于是 V k于是 V k6 6 U nW nk U nW nk6 6 k k7 7 W k W k8 8n S k n S k5 5V V2 3 2 3 k k9 9 n n2 3 2 3 代入速度模型 可得 v k 代入速度模型 可得 v k4 4 nW n nW n2 3 2 3 1 31 3 k k10 10n n1 9 1 9 比赛成绩模型 T D v k n比赛成绩模型 T D v k n 1 9 1 9 验证 根据上面的数据 利用最小二乘法拟合 可得 验证 根据上面的数据 利用最小二乘法拟合 可得 T 7 29 nT 7 29 n 0 104 0 104 模型的结论相当准确 模型的结论相当准确 问题2 如果八人艇分为问题2 如果八人艇分为重量重量级组和级组和轻量轻量级组 级组 规定重量级组运动员体量为86公斤 轻量级组 运动员体重为73公斤 表列八人艇成绩是重量级组的成绩 请推断 轻量级组的成绩 规定重量级组运动员体量为86公斤 轻量级组 运动员体重为73公斤 表列八人艇成绩是重量级组的成绩 请推断 轻量级组的成绩 设 轻量级组的运动员体重 划艇浸没面积 艇速和成绩分别为 W 设 轻量级组的运动员体重 划艇浸没面积 艇速和成绩分别为 W1 1 S S1 1 v v1 1 T T1 1 相应的 重量级组为 W 相应的 重量级组为 W2 2 S S2 2 v v2 2 T T2