高中数学 3.2.1 古典概型的特征和概率计算公式课件 北师大版必修3.ppt

2古典概型2 1古典概型的特征和概率计算公式 1 古典概型的特征 1 有限性 试验的所有可能结果只有 每次试验只出现其中的一个结果 2 等可能性 每一个试验结果出现的可能性 2 古典概型的计算公式p a 3 基本事件试验的每一个可能结果称为基本事件 有限个 相同 1 判一判 正确的打 错误的打 1 试验结果有限的概率模型一定是古典概型 2 只要每个试验结果出现的可能性相同 则该概率模型一定是古典概型 3 有限性和等可能性是判定一个事件是古典概型的关键 4 事件a包含的基本事件有m个 试验的所有可能结果数有n个 则p a 解析 1 错误 因为每个试验的结果不一定等可能出现 2 错误 因为试验的结果不一定有有限个 3 正确 有限性和等可能性是判定一个事件是古典概型的关键 4 错误 该概率模型未必是古典概型 答案 1 2 3 4 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 先后抛掷均匀的壹分 贰分的硬币各一次 一共可出现 种不同的结果 出现 一枚正面朝上 一枚反面朝上 的结果有 种 出现 一枚正面朝上 一枚反面朝上 的概率是 2 三张卡片上分别写上字母e e b 将三张卡片随机地排成一行 恰好排成英文单词bee的概率为 3 从甲 乙 丙 丁4位同学中任选两人参加演讲比赛 则甲入选的概率为 解析 1 先后抛掷均匀的壹分 贰分的硬币各一次出现的结果有4种 即 正 正 正 反 反 正 反 反 一枚正面朝上 一枚反面朝上 的结果有两种 即 正 反 反 正 出现 一枚正面朝上 一枚反面朝上 的概率为p 答案 4 2 2 将三张卡片排成一行 共有6种可能的结果 恰好排成英文单词bee的可能结果有2种 所以所求概率为p 答案 3 试验结果有6种 甲入选的情况有3种 所以甲入选的概率为答案 要点探究 知识点1基本事件对基本事件的两点认识 1 事件结果的不可再分性 每次试验有一个且只有一个基本事件出现 任何事件都可以表示成基本事件的和 但基本事件不可再分为更小的事件 例如 在抛掷一枚质地均匀的骰子的试验中 可能出现的结果是 1点 2点 3点 4点 5点 6 点 而且每次只可能出现其中一种结果 这六种结果就成为这个试验的基本事件 试验的结果也可以分为 奇数点 和 偶数点 两种情况 但它们不是基本事件 而是各由3个基本事件组成的一个复杂事件 2 每个基本事件发生的可能性相同 在一次试验中 每个基本事件发生的可能性都相同 例如 抛掷一枚质地均匀的骰子的试验中 有六个基本事件 每个基本事件发生的可能性相同 微思考 1 基本事件能否包含多个试验结果 提示 不能 因为试验的每一个可能结果对应一个基本事件 故每个基本事件只含有一个试验结果 2 判断一个事件是否是基本事件的关键是什么 提示 判断一个事件是否是基本事件的关键是看它是否能够再分 不能再分的事件才是基本事件 即时练 袋中装有标号分别为1 3 5 7的四个相同的小球 从中取出两个 下列事件不是基本事件的是 a 取出的两球标号为3和7b 取出的两球标号的和为4c 取出的两球的标号都大于3d 取出的两球的标号的和为8 解析 选d 由基本事件的定义知 选项a b c都是基本事件 d中包含取出标号为1和7 3和5两个基本事件 所以d不是基本事件 知识点2古典概型1 对古典概型的理解古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的可能性相等这两个重要特征 所以求事件的概率就可以不用通过大量的重复试验 而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可 2 使用古典概型的概率公式的注意点 1 首先要判断该概率模型是不是古典概型 2 要找出随机事件a所包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数 知识拓展 从集合的观点看古典概型 1 基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件 每次试验只出现其中的一个基本事件 其他事件可以用它来表示 2 若一个随机试验的数学模型是古典概型 意味着试验的基本事件只有有限个 用e1 e2 en表示这有限个基本事件 显然有限个基本事件能构成一个有限集 记为 即 e1 e2 en 由于任何一个事件a都可以用基本事件表示 这说明a 当a 时 a是不可能事件 当a 时是必然事件 另外p e1 p e2 p en 即每一个试验结果 基本事件 出现的可能性相同 微思考 判断一个试验是否为古典概型的关键是什么 提示 关键在于判断是否具备古典概型的两个特征 即有限性和等可能性 即时练 判断下列试验是不是古典概型 并说明理由 1 从6名同学中任选4人 参加数学竞赛 2 近三天中有一天降雨的概率 3 从10人中任选两人表演节目 解析 1 3 为古典概型 因为它们符合古典概型的两个特征 有限性和等可能性 而 2 不符合等可能性 题型示范 类型一求试验的基本事件 典例1 1 一个口袋内装有大小形状完全相同的5个球 其中3个白球 2个黑球 从中一次摸出两个球 则共有 个基本事件 事件 摸出的两个都是白球 包括 个基本事件 2 两个袋中 分别装有写着0 1 2 3 4 5六个数字的卡片 从每个袋中各任取一张卡片 使两数之和等于7的基本事件有 个 3 连续掷3枚硬币 观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面 写出这个试验的所有基本事件 求这个试验的所有基本事件的个数 恰有两枚正面向上 这一事件包含哪几个基本事件 解题探究 1 题 1 中 摸出的两个小球有先后顺序吗 我们可以用什么方法区分这些小球 2 题 2 中 从两个袋中各任取一张卡片 两个数字之和的最大值和最小值各是什么 3 题 3 中 正 正 反 和 正 反 正 是同一个基本事件吗 探究提示 1 摸出的两个小球不用考虑顺序问题 我们可以用白1 白2 白3 黑1 黑2或1 2 3表示3个白球 4 5表示黑球等方法 只要便于区分就好 2 从两个袋中各任取一张卡片 两个数字之和的最大值为10 最小值为0 3 正 正 反 和 正 反 正 是两个不同的基本事件 自主解答 1 分别记白球为1 2 3号 黑球为4 5号 从中摸出两个球 有如下基本事件 如摸到1 2号球用 1 2 表示 1 2 1 3 1 4 1 5 2 3 2 4 2 5 3 4 3 5 4 5 因此 共有10个基本事件 摸出的两个都是白球的基本事件有 1 2 1 3 2 3 3个 答案 103 2 从每个袋中任取一张卡片的情况如下 共有36个基本事件 设事件a为 两数之和等于7 则事件a包含 2 5 3 4 4 3 5 2 共4个基本事件 答案 4 3 画树状图 由树状图可知这个试验的所有的基本事件有 正 正 正 正 正 反 正 反 正 正 反 反 反 正 正 反 正 反 反 反 正 反 反 反 由 知基本事件的总数为8 恰有两枚正面向上 包含以下3个基本事件 正 正 反 正 反 正 反 正 正 方法技巧 基本事件的两个探求方法 1 列表法 将基本事件用表格的方式表示出来 通过表格可以弄清基本事件的总数 以及要求的事件所包含的基本事件数 列表法适用于较简单的试验的题目 基本事件较多的试验不适合用列表法 2 树状图法 树状图法是使用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法 树状图法便于分析基本事件间的结构关系 对于较复杂的问题 可以作为一种分析问题的主要手段 树状图法适用于较复杂的试验的题目 变式训练 2013 南通高二检测 箱子中装有6张卡片 分别写有1到6这6个整数 从箱子中任意取出一张卡片 记下它的读数x 然后放回箱子 第二次再从箱子中取出一张卡片 记下它的读数y 试求 1 x y是5的倍数的基本事件 2 x y是3的倍数的基本事件 解题指南 本题主要考查基本事件 根据题意我们可以用列举或列表的方法写出所有基本事件 然后找出符合条件的基本事件 解析 1 x y是5的倍数包含以下基本事件 1 4 4 1 2 3 3 2 4 6 6 4 5 5 共7个 列表略 2 x y是3的倍数包含的基本事件 如图 当x 1 2 4 5 时 y 3 6 当x 3 6 时 y 1 2 3 4 5 6 从而 x y是3的倍数包含的基本事件共20个 补偿训练 袋中有红 白色球各一个 每次任取一个 有放回地抽取三次 1 写出所有的基本事件 2 三次抽取的球中红色球出现的次数多于白色球出现的次数所包含的基本事件有多少个 解析 1 红 红 红 红 红 白 红 白 红 白 红 红 红 白 白 白 红 白 白 白 红 白 白 白 2 红色球次数多于白色球次数包含的基本事件数为4 类型二古典概型的判定 典例2 1 下面是古典概型的是 a 任意抛掷两枚骰子 所得点数之和作为基本事件时b 为求任意的一个正整数平方的个位数是1的概率 将取出的正整数作为基本事件时c 从甲地到乙地共n条路线 求某人正好选中最短路线的概率d 抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止 2 下列试验 从规格直径为40mm 0 5mm的产品中 任意抽一根 测量其直径d 抛掷一枚骰子 观察其出现的点数 某人射击 中靶或不中靶 从装有大小和形状都相同的3个黑球 4个白球的口袋中任取两个球 取到一个黑球 一个白球的概率 其中是古典概型的有 解题探究 1 题 1 中 两枚骰子的点数之和有几种 若一个正整数平方的个位数是1 则该正整数有什么特点 任取一个正整数有多少种可能 试验 投掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止 所包含的基本事件数确定吗 2 题 2 中 某人射击 中靶 与 不中靶 的概率相同吗 从规格直径为40mm 0 5mm的产品中任抽一根 测其直径 所得数据的情况可数吗 探究提示 1 两枚骰子的点数之和有2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 共11种 若一个正整数平方的个位数是1 则该正整数个位是1或9 任取一个正整数有无数种可能 试验 投掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止 所包含的基本事件数不能确定 2 某人射击 中靶 与 不中靶 的概率不相同 从规格直径为40mm 0 5mm的产品中任抽一根 测其直径 所得数据有无数种情况 自主解答 1 选c 古典概型的基本事件是等可能事件 a中的点数之和出现的概率不相等 故不正确 b中的基本事件数有无数多个 与古典概型的基本事件的总数应有有限个不相符 故不正确 c符合古典概型的要求 d中基本事件数不确定 不正确 2 试验 中 虽然基本事件只有两个 但是两个基本事件发生的可能性不相等 故不是古典概型 试验 中 所有可能出现的基本事件有无数多个 故不是古典概型 试验 是古典概型 答案 方法技巧 古典概型的判断方法判断一个事件是否是古典概型 关键看该事件是否具备古典概型的两大特征 1 有限性 在一次试验中 所有可能出现的基本事件只有有限个 例如 从自然数集中任选一个数 把它和5比较大小 因为所有可能的结果有无限多个 所以该试验不是古典概型 2 等可能性 每个基本事件出现的可能性相等 例如 在适宜的条件下种下一粒种子观察它是否发芽 这个试验的结果只有 发芽 和 不发芽 两种 但这两种结果出现的可能性一般不是均等的 所以该试验不是古典概型 变式训练 下列试验是否属于古典概型 1 一个盒子中有三个除颜色外完全相同的球 其中红球 黄球 黑球各一个 从中任取一球 取出的是红球 取出的是黄球 取出的是黑球 2 向一个圆内随机地投一个点 该点落在圆内任意一点都是等可能的 解析 1 中给出三个随机事件 由于球除颜色外完全相同 因此这三个事件是等可能的 且试验结果个数是有限的 因此属于古典概型 2 试验的所有可能结果是圆内的所有点 是无限的 因此这个试验不属于古典概型 类型三古典概型的概率计算 典例3 1 2013 新课标全国卷 从1 2 3 4 5中任意取出两个不同的数 其和为5的概率是 2 2013 山东高考 某小组共有a b c d e五位同学 他们的身高 单位 米 以及体重指标 单位 千克 米2 如下表所示 从该小组身高低于1 80的同学中任选2人 求选到的2人身高都在1 78以下的概率 从该小组同学中任选2人 求选到的2人的身高都在1 70以上且体重指标都在 18 5 23 9 的概率 解题探究 1 题 1 中 选取的两个数字与顺序有关吗 试验所包含的基本事件的总数为多少 2 题 2 中 身高低于1 80的同学和身高在1 78以下的同学各有多少人 中身高在1 70以上且体重指标在 18 5 23 9 的同学有几人 探究提示 1 因为选取的两个数字求和 所以与顺序无关 从中取出两个不同的数字有10中不同的选法 所以基本事件总数为10 2 身高低于1 80的同学有4人 身高在1 78以下的同学有3人 身高在1 70以上且体重指标在 18 5 23 9 的同学有3人 自主解答 1 从5个正整数中任意取出两个不同的数 有10种取法 若取出的两数之和等于5 则有 1 4 2 3 共有2个 所以取出的两数之和等于5的概率为答案 2 从身高低于1 80的同学中任选2人 其一切可能的结果组成的基本事件有 a b a c a d b c b d c d 共6个 由于每个人被选到的机会均等 因此这些基本事件的出现是等可能的 选到的2人身高都在1 78以下的事件有 a b a c b c 共3个 因此选到的2人身高都在1 78以下的概率为p 从该小组同学中任选2人 其一切可能的结果组成的基本事件有 a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e 共10个 由于每个人被选到的机会均等 因此这些事件出现是等可能的 选到的2人身高都在1 70以上且体重都在 18 5 23 9 的事件有 c d c e d e 共3个 因此选到的2人身高都在1 70以上且体重指标都在 18 5 23 9 的概率为p1 延伸探究 在题 1 的条件下 求这两个数字正好相差1的概率 解析 记两个数字正好相差1为事件a 则事件a包含的结果为 1 2 2 3 3 4 4 5 共4种 故p a 方法技巧 古典概型问题的解题方法与步骤 变式训练 如图 从a1 1 0 0 a2 2 0 0 b1 0 1 0 b2 0 2 0 c1 0 0 1 c2 0 0 2 这6个点中随机选取3个点 1 求这3点与原点o恰好是正三棱锥的四个顶点的概率 2 求这3点与原点o共面的概率 解题指南 把从6个点中取3个点的情况全部列举出来 然后找出 1 2 情况中所包含的基本事件的个数 把比值求出来得所求概率 解析 从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是x轴上取2个点的有a1a2b1 a1a2b2 a1a2c1 a1a2c2 共4种 y轴上取2个点的有b1b2a1 b1b2a2 b1b2c1 b1b2c2 共4种 z轴上取2个点的有c1c2a1 c1c2a2 c1c2b1 c1c2b2 共4种 所选取的3个点在不同坐标轴上的有a1b1c1 a1b1c2 a1b2c1 a1b2c2 a2b1c1 a2b1c2 a2b2c1 a2b2c2 共8种 因此 从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种 1 选取的这3个点与原点o恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有 a1b1c1 a2b2c2 共2种 因此 这3个点与原点o恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为p1 2 选取的这3个点与原点o共面的所有可能结果有a1a2b1 a1a2b2 a1a2c1 a1a2c2 b1b2a1 b1b2a2 b1b2c1 b1b2c2 c1c2a1 c1c2a2 c1c2b1 c1c2b2 共12种 因此 这3个点与原点o共面的概率为p2 拓展类型 古典概型综合问题 备选例题 1 设a b 1 2 3 那么函数f x x2 bx a无零点的概率为 2 渐升数 是指每个数字比其左边的数字大的自然数 如2578 在两位的 渐升数 中任取一个数比37大的概率是 3 有6根细木棒 长度分别为1 2 3 4 5 6 从中任取3根首尾相接 能搭成三角形的概率是 解析 1 选c 由题意知本题是一个古典概型问题 因为试验发生包含的事件是从含有三个元素的集合中取元素 每一个有3种取法 共有3 3 9种结果 满足条件的事件是使函数f x x2 bx a无零点的结果 要满足b2 4a 0 即b2 4a 从所给的数据中 有b 1时 a有3种结果 b 2时 a有2种结果 b 3时 a有1种结果 综上所述 共有3 2 1 6 种 结果 所以概率是 2 十位是1的 渐升数 有8个 十位是2的 渐升数 有7个 十位是8的 渐升数 有1个 所以两位的 渐升数 共有8 7 6 5 4 3 2 1 36个 以3为十位数 比37大的 渐升数 有2个 分别以4 5 6 7 8为十位数的 渐升数 均比37大 且共有5 4 3 2 1 15个 所以比37大的两位 渐升数 共有2 15 17个 故在两位的 渐升数 中任取一个数比37大的概率是 答案 3 从这6根细木棒中任取3根首尾相接 共有 1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 2 6 1 3 4 1 3 5 1 3 6 1 4 5 1 4 6 1 5 6 2 3 4 2 3 5 2 3 6 2 4 5 2 4 6 2 5 6 3 4 5 3 4 6 3 5 6 4 5 6 20种 能构成三角形的取法有 2 3 4 2 4 5 2 5 6 3 4 5 3 4 6 3 5 6 4 5 6 共有7种情况 所以由古典概型概率公式可得所求概率为 答案 方法技巧 古典概型综合问题的解题方法 1 古典概型的综合问题 一般从学科知识的内在联系出发 在知识交汇点上做文章 一个题目往往包含多个知识点 所以解题时要深刻理解该问题所涉及的其他数学知识 在解决这个数学问题的基础上结合古典概型的计算公式进行 2 古典概型信息迁移题是近年高考命题改革的一个新的亮点 此类试题通过给出一个新概念或定义一种新运算或给出几个新模型等来创设新的问题情境 要求同学们在阅读理解的基础上 应用所学的知识和方法 实现信息的迁移 以达到灵活解题的目的 规范解答 古典概型的应用 典例 12分 2013 辽宁高考 现有6道题 其中4道甲类题 2道乙类题 张同学从中任取2道题解答 试求 1 所取的2道题都是甲类题的概率 2 所取的2道题不是同一类题的概率 审题 抓信息 找思路 解题 明步骤 得高分 点题 警误区 促提升失分点1 解题时 若 处出现数据统计错误 则后面的数据计算均会出现错误 从而导致整个解答错误 解答不得分 失分点2