高中数学 4.5.1向量的数量积课件 湘教版必修2.ppt

高中数学 必修2 湘教版 第4章向量4 5向量的数量积4 5 1向量的数量积 学习目标 1 理解向量数量积的含义及其物理意义 体会向量数量积与向量投影的关系 2 能正确熟练地应用向量数量积的定义 运算律进行运算 预习导学 知识链接 1 如图 一个物体在力f的作用下产生位移s 且力f与位移s的夹角为 那么力f所做的功w是多少 答w f s cos 预习导学 2 向量的数量积与数乘向量的区别是什么 答向量的数量积a b是一个实数 不考虑方向 数乘向量 a是一个向量 既有大小 又有方向 预习导学 预习导引 1 两个向量的夹角规定 a b 为a b之间所夹的的角 取值范围规定为 2 向量的数量积 内积 定义 a b cos a b 叫做向量a和b的数量积 或内积 记作a b 即a b a b cos a b 预习导学 最小 非负 0 3 定理5 数量积的运算律 1 交换律 a b b a 对任意向量a b成立 2 与数乘的结合律 a b a b a b 对任意向量a b和实数 成立 3 分配律 a a b a b a b 对任意向量a a b成立 预习导学 课堂讲义 要点一平面向量数量积的基本概念例1下列判断 若a2 b2 0 则a b 0 已知a b c是三个非零向量 若a b 0 则 a c b c a b共线 a b a b a b 0 则a与b的夹角为锐角 若a b的夹角为 则 b cos 表示向量b在向量a方向上的投影长 其中正确的是 答案 课堂讲义 解析由于a2 0 b2 0 所以 若a2 b2 0 则a b 0 故 正确 若a b 0 则a b 又a b c是三个非零向量 所以a c b c 所以 a c b c 正确 a b共线 a b a b 所以 错 对于 应有 a b a b 所以 错 对于 应该是a a a a 2a 所以 错 a2 b2 2 a b 2a b 故 正确 当a与b的夹角为0 时 也有a b 0 因此 错 b cos 表示向量b在向量a方向上的投影的数量 而非投影长 故 错 综上可知 正确 课堂讲义 规律方法对于这类概念 性质 运算律的问题的解答 关键是要对相关知识深刻理解 特别是那些易与实数运算相混淆的运算律 如消去律 乘法结合律等 当然还有如向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等 课堂讲义 跟踪演练1已知a b c是三个非零向量 则下列问题中真命题的个数为 a b a b a b a b反向 a b a b a b a b a b a b a c b c a 1b 2c 3d 4答案c 课堂讲义 解析 a b a b cos 由a b a b 及a b为非零向量可得cos 1 0或 a b 且以上各步均可逆 故命题 是真命题 若a b反向 则a b的夹角为 a b a b cos a b 且以上各步均可逆 故命题 是真命题 当a b时 将向量a b的起点确定在同一点 则以向量a b为邻边作平行四边形 则该平行四边形必为矩形 于是它的两条对角线长相等 即有 a b a b 反过来 若 a b a b 则以a b为邻边的四边形为矩形 a b 故命题 是真命题 课堂讲义 当 a b 但a与c的夹角和b与c的夹角不等时 就有 a c b c 反过来由 a c b c 也推不出 a b 故命题 是假命题 综上 在四个命题中 前3个是真命题 第4个是假命题 课堂讲义 要点二平面向量数量积的基本运算例2已知 a 3 b 6 当 a b a与b的夹角是60 时 分别求a b 解 当a b时 若a与b同向 则它们的夹角 0 a b a b cos0 3 6 1 18 课堂讲义 规律方法非零向量共线的充要条件是a b a b 因此 当a b时 有0 或180 两种可能 课堂讲义 跟踪演练2若向量a b c满足a b c 0 且 a 3 b 1 c 4 求a b b c c a 当堂检测 答案c 当堂检测 2 若向量a b满足 a b 1 a与b的夹角为120 则a a a b 当堂检测 答案 25 当堂检测 当堂检测 1 两向量a与b的数量积是一个实数 不是一个向量 其值可以为正 当a 0 b 0 0 90 时 也可以为负 当a 0 b 0 90 180 时 还