2.3.2平面向量的坐标运算

向量复习（2） 年 级：高 三 辅导科目：数学 学科教师： 常丽雅课程主题： 向量的垂直与平行 授课时间：2017.12.10 10：10-12：10学习目标教学内容知识精讲：一、向量的垂直与平行1. 向量的夹角已知两个非零向量a与b,记=a,=b,则AOB叫作向量a与b的夹角,夹角的取值范围为0,.当=0时,a与b同向;当=180时,a与b反向;当=90时,则称向量a与b垂直.2. (1) 两个向量平行的充要条件:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),b0,则abx1y2-x2y1=0.(2) 两个向量垂直的充要条件:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则abx1x2+y1y2=0.1. (必修4习题5改编)已知向量a=(3,1),b=(2,).若ab,那么实数=.2. (必修4练习2改编)已知向量a=(5,12),b=(sin ,cos ),且ab,那么tan =.3. (必修4习题12改编)已知向量a=(6,2),b=(3,k).若ab,那么k=.4. (必修4练习1改编)已知向量a=(-3,4),向量ba,|b|=1,那么b=.5. (必修4习题10改编)已知a=(-3,1),b=(1,-2).若(-2a+b)(ka+b),那么实数k=.两个向量的垂直问题在ABC中,设=(2,3),=(1,k),且ABC是直角三角形,求k的值.(2016重庆卷改编)已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)c,那么实数k=.已知a=(cos,sin),b=(cos,sin),0.若|a-b|=,求证:ab.向量的平行(共线)问题 设向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),当k为何值时,A,B,C三点共线?已知,不共线,=a+b,求证:A,P,B三点共线的充要条件是a+b=1.与向量平行(垂直)有关的综合问题已知平面向量a=(1,2sin),b=(5cos,3).(1) 若ab,求sin2的值;(2) 若ab,求tan的值.(2016无锡期末)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosC=.(1) 若=,求c的最小值;(2) 设向量x=(2sinB,-),y=（cos2B,1-2sin2）,且xy,求sin(B-A)的值.已知向量a=,b=(sin 2x,-cos x),f(x)=ab-.设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=,f(C)=0.若向量m=(1,sin A)与n=(2,sin B)共线,求a,b的值.1. 已知向量m=(+1,1),n=(+2,2),若(m+n)(m-n),则=.2. 已知向量a=(1,k),b=(9,k-6).若ab,则实数k=.3. (2016韶关一模)已知向量与的夹角为120,且|=2,|=3.若=+,且,则实数的值为.4. (2016济南模拟)已知两点A(-1,0),B(1,3),向量a=(2k-1,2),若a,则实数k的值为.一、 填空题 1.已知向量a=(2,-3),b=(3,).若ab,则实数=. 2. 已知向量a=(sin x,cos x),b=(1,-2),且ab,那么tan x=. 3. 已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a(2a-b)=0,那么实数k=. 4. 已知向量a=(,1),b=(0,1),c=(k,).若a+2b与c垂直,则实数k=. 5. (2016湖北卷)设向量a=(3,3),b=(1,-1).若(a+b)(a-b),则实数=. 6. 已知向量a,b满足|a|=3,|b|=2,且a(a+b),则b在a方向上的投影为. 7. (2016苏州期末)已知两个单位向量a,b的夹角为60,c=ta+(1-t)b.若bc=0,则实数t的值为. 8. (2016扬州期末)已知a,b,c是单位向量,ab,那么(a+b+2c)c的最大值是.二、 解答题 9. 已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x),xR.(1) 若ab,求x的值;(2) 若ab,求|a-b|.10. 已知向量a=(sin,cos-2sin),b=(1,2).(1) 若ab,求tan的值;(2) 若|a|=|b|,0,求的值.11. (2016常州期末)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.设向量m=(a,c),n=(cosC,cosA).(1) 若mn,c=a,求A;(2) 若mn=3bsinB,cosA=,求cosC的值.二、平面向量的数量积1. 两个向量的数量积已知两个非零向量a与b,它们的夹角为,则ab=|a|b|cos ,其中|b|cos 称为向量b在a方向上的投影.规定:零向量与任一向量的数量积为0.2. 两个向量的数量积的性质设a与b是非零向量,是a与b的夹角.(1) 若a与b同向,则ab=|a|b|;若a与b反向,则ab=-|a|b|.特别地,aa=|a|2.(2) ab=0 ab.(3) cos =.3. 数量积的运算律(1) 交换律:ab=ba.(2) 数乘结合律:(a)b=a(b).(3) 分配律:(a+b)c=ac+bc.1. (必修4习题2改编)已知向量a和向量b的夹角为30,|a|=2,|b|=,那么ab=.2. (必修4练习4改编)已知向量a=(1,-1),b=(2,x).若ab=1,则x=.3. (必修4习题2改编)已知a,b的夹角为120,=1,=3,那么=.4. (必修4习题10改编)已知向量a=(x,4),b=(-2,-1).若向量a与b的夹角为钝角,则x的取值范围为.5. (必修4习题13改编)若|a|=2,|b|=4,且(a+b)a,则a与b的夹角是.平面向量数量积的运算(1) 已知|a|=4,|b|=5,且a与b的夹角为60,求(2a+3b)(3a-2b)的值.(2) 已知|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为60,c=3a+5b,d=ma-3b.当m为何值时,cd?当m为何值时,cd?(2016苏北四市期末)在平面四边形ABCD中,已知AB=3,DC=2,点E,F分别在边AD,BC上,且=3,=3.若向量与的夹角为60,则的值为.利用向量的数量积求模和夹角已知向量x=a-b,y=2a+b,且|a|=|b|=1,ab,求x与y的夹角的余弦值.(2016南京、盐城二模)已知|=1,|=2,AOB=,=+,那么与的夹角大小为.向量数量积的综合应用如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上.若=,则=.(例3)【题组强化重点突破】1. (2016淮安、宿迁摸底)已知非零向量a,b满足(a-2b)a,(b-2a)b,那么向量a与b的夹角为.2. (2016南京、盐城一模)在ABC中,BC=2,A=,则的最小值为.3. (2016苏中三市、宿迁一调)在ABC中,D是BC的中点,AD=8,BC=20,则的值为.4. (2016南通期末)若向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),且|a+b|2ab,则cos(-)的值是.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,0),B(0,1),C(2,5),D是AC上的动点,满足=(R).(1) 求|2+|的值;(2) 求cosBAC;(3) 若,求实数的值.1. (2016江西卷)已知单位向量e1与e2的夹角为,且cos=,向量a=3e1-2e2,b=3e1-e2,a与b的夹角为,那么cos=.2. (2016全国卷)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则ab=.3. 已知两个单位向量a,b的夹角为60,c=ta+(1-t)b,若bc=0,那么t=.4. 已知向量a=(2,1),ab=10,|a+b|=5,那么|b|=.课后作业：一、 填空题 1. 已知平面向量a与b的夹角为60,且a=(2,0),|b|=1,那么|a+b|=. 2. (2016苏州调研)设xR,向量a=(x,1),b=(3,-2),且ab,则x=. 3. 已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,a,b之间的夹角为60,那么a(a+b)=. 4. 若|a|=1,|b|=,且a(a-b),则向量a,b的夹角大小为. 5. (2016北京卷)已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且a+b=0(R),那么|=. 6. (2016山东卷)在ABC中,已知=tanA,当A=时,ABC的面积为. 7. (2016天津卷改编)已知菱形ABCD的边长为2,BAD=120,点E,F分别在边BC,DC上,BE=BC,DF=DC.若=1,=-,则+=. 8. (2016南京、盐城二模)在ABC中,点D在边BC上,且DC=2BD,ABADAC=3k1,则实数k的取值范围为.(第8题)二、 解答题 9