（试题 试卷 真题）导数的综合应用

导数的综合应用(推荐时间：70分钟)1 设函数f(x)x3x26xa.(1)对于任意实数x，f(x)m恒成立，求m的最大值；(2)若方程f(x)0有且仅有一个实根，求a的取值范围解(1)f(x)3x29x6，因为x(，)，f(x)m，即3x29x(6m)0恒成立，所以8112(6m)0，解得m，即m的最大值为.(2)因为当x0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0.所以当x1时，f(x)取极大值f(1)a；当x2时，f(x)取极小值，f(2)2a，故当f(2)0或f(1)0时，f(x)0仅有一个实根解得a.2 已知x1是函数f(x)(ax2)ex(aR)的一个极值点(1)求a的值；(2)当x1，x20,2时，证明：f(x1)f(x2)e.(1)解f(x)(axa2)ex，由已知得f(1)0，解得a1.当a1时，f(x)(x2)ex在x1处取得极小值所以a1.(2)证明由(1)知，f(x)(x2)ex，f(x)(x1)ex，当x0,1时，f(x)(x1)ex0，f(x)在区间0,1上单调递减；当x(1,2时，f(x)(x1)ex0，f(x)在区间(1,2上单调递增，所以在区间0,2上，f(x)的最小值为f(1)e.又f(0)2，f(2)0，所以在区间0,2上，f(x)的最大值为f(2)0，对于x1，x20,2，有f(x1)f(x2)f(x)maxf(x)min，所以f(x1)f(x2)0(e)e.3 已知函数f(x)xln x.(1)求函数f(x)的极值；(2)设函数g(x)f(x)k(x1)，其中kR，求函数g(x)在区间1，e上的最大值解(1)f(x)ln x1(x0)令f(x)0，得ln x1ln e1，x；令f(x)0，得x.所以f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是，f(x)的极小值为f.f(x)无极大值(2)g(x)xln xk(x1)，则g(x)ln x1k，由g(x)0，得xek1，所以，在区间(0，ek1)上，g(x)为递减函数，在区间(ek1，)上，g(x)为递增函数当ek11，即k1时，在区间1，e上，g(x)为递增函数，所以，g(x)的最大值为g(e)ekek；当1ek1e，即1k2时，g(x)的最大值是g(1)或g(e)，由g(1)g(e)，得k，当1k0g(1)，g(x)最大值为g(e)ekek，当k2时，g(e)eekk0g(1)，g(x)最大值为g(1)0；当ek1e，即k2时，在区间1，e上，g(x)为递减函数，所以g(x)最大值为g(1)0.综上，当k时，g(x)最大值为ekek；当k时，g(x)的最大值为0.4 某网店专卖当地某种特产，由以往的经验表明，不考虑其他因素，该特产每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克，1x5)满足：当1x3时，ya(x3)2(a，b为常数)；当3x5时，y70x490，已知当销售价格为2元/千克时，每日可售出该特产700千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出该特产150千克(1)求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；(2)若该特产的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该特产所获利润f(x)最大(x精确到0.01元/千克)解(1)因为x2时，y700；x3时，y150，所以，解得a400，b300.每日的销售量y.(2)由(1)知，当1x3时，每日销售利润f(x)(x1)400(x3)2(x1)300400(x37x215x9)300(10，f(x)单调递增；当x时，f(x)700；当3x5时，每日销售利润f(x)(70x490)(x1)70(x28x7)f(x)在x4时有最大值，且f(4)6300恒成立，即xln xx0恒成立，整理得a2ln xx.设(x)2ln xx，则(x)1.若x(0,1)，(x)0，(x)为增函数(x)min(1)4.由题意，a0)当a0时，ax10，从而f(x)0时，若0x，则ax10，从而f(x)，则ax10，从而f(x)0，函数在上单调递减，在上单调递增(2)解根据(1)函数的极值点是x，若1，则a1.所以f(x)bx2，即x1ln xbx2，由于x0