竞争环境下航空公司动态定价特性.pdf

第12卷第3期 2009年6月 工 业 工 程 Industrial Engi neering Journal Vol 12 No 3 June 2009 收稿日期 2008209202 基金项目 国家自然科学基金资助项目 70571088 欧盟项目EU Asia IT收益管理 动态定价 竞争 中图分类号 F272 3 F714 1 文献标识码 A 文章编号 100727375 2009 0320043205 Dynam ic Pricing for A irline Compan ies in Competitive Markets Li Hao Xiong Zhong2kai School of Economy and BusinessAdministration ChongqingUniversity Chongqing 400030 China Abstract A mathematicmodelwith H2J equation is used to model dynamic pricing in competitive environ2 ments A case study is done on two airline companiesoperating the same airline The results show that the revenue will be improved if there are larger ranges of dynamic pricing Key words airline company revenue management dynamic pricing competition 收益管理作为航空公司提高收入 参与市场竞 争的不可或缺的手段 已经在国内外航空公司创造 了巨大奇迹 其具体手段包括超额预订 多等级票价 控制 动态定价 团体管理 季节性管理等 1 随着 收益管理研究的深入 有关这方面的研究已经比较 丰富 224 传统航空公司动态定价研究关注的主要 问题是垄断公司如何利用价格作为引导需求的一种 手段 获得最大的期望收入 5210 但是 如果考虑提 供同一航线的多个航空公司机票之间的可替代性 本文引入竞争无疑是对单个公司动态定价的扩展和 提升 具有更强的现实意义 目前竞争环境下动态定价研究主要有 Terry和 Reetabrata 11 在需求过于供给的条件下运用进化博 弈对多个厂商价格竞争问题进行了研究 并对 Cournot2Nash博弈微分不等式的解法问题提供算法 Nobuo 12 研究了解决价格和服务质量竞争的 2个策 略 产品差异化和纵向一体化 表明这两种策略 不但能解决由价格和服务质量竞争带来消极性 而 且能提高整个社会的福利水平 Cheng和Smith 13 通 过建立两航空公司收益的Euler2lagrange方程 证明 了价格均衡的唯一性 上述文章均没有证明均衡价 格的特性 本文研究市场上只有2个提供同一航线的航空 公司这样一个相对简单的情况 两公司通过建立动 态的价格体系来最大化自身收益 同时还要考虑竞 争对手价格对需求和自身收益的期定价的一些特 性 为航空公司价格决策提供了理论依据 1 模型假设及符号说明 假设两航空公司面临的需求率 t t 0 T 满足非齐次的泊松过程 令 1 ij t 为 t时刻航空 公司2所定价格为p 2 j和航空公司1所定价格为 p 1 j 时 航空公司1面临的需求率 2 ij t 为 t时刻航空 公司1所定价格为p 1 i和航空公司2所定价格为 p 2 j 时 航空公司2面临的需求率 V i t y 1 y 2 表示时刻t 工 业 工 程第12卷 航空公司1剩余座位为y 1 和航空公司2剩余座位为 y 2 的情况下航空公司i的收益 i 1 2 模型假设 两航空公司间信息对称 即在任一时刻t 两航空公 司均了解对方的价格 库存 收益状况等 定义 V1 t y1 y2 为t时刻给定对手剩余座位 y 2 航空公司1剩余座位的边际收益 其表达式 为 V1 t y1 y2 V1t y 1 y 2 V1t y 1 1 y 2 而 V1t y 1 y 2 为给定自身剩余座位数量 航空公司1 对竞争对手剩余座位变化的边际收益 其表达式为 V1t y 1 y 2 V1t y 1 y 2 V1t y 1 y 2 1 V2t y 1 y 2 V 2 t y1 y2 可类似推出 本文的讨论将基于以下4个假设 假设1 若p i 2 p i 1 i 1 2 则 1 2j t p 1 2 1 1j t p 1 1 2 i2 t p 1 1 2 i1 t p 2 1 假设1表明需求与价格应满足以上关系 厂商 才会有降价的动力 否则 低价永远不会被采用 这 是收益管理领域的一个基本假设 假设2 在任意时刻t 有 V1t y1 y2 1 V 1 t y1 y2 V2t y 1 1 y2 V 2 t y 1 y 2 V1t y 1 1 y 2 V 1 t y 1 y 2 V2t y1 y2 1 V 1 t y1 y2 假设2表明 对座位有限的需求来说 如果竞争 对手剩余座位越少 或自己剩余座位数量越多 自己 将越有可能在剩余的时间内垄断市场 从而使得剩 余座位的边际收益增加 假设3 V 1 t y 1 0 M 1 t y 1 V 2 t 0 y2 M 2 t y 2 0 t T 其中 M 1 t y 1 和M 2 t y 2 是垄断市 场下航空公司1 2的收益 假设3表明如果竞争对手座位卖完 那么自己 将垄断整个市场 假设4 V 1 T y 1 y 2 V2 T y 1 y 2 M 1 T y 1 M 2 T y 2 0 y1 y2 假设4表明销售期一结束 机票残值为0 2 模型 考虑在任意时刻t 给定剩余库存状态 y 1 t y 2 t 如果没有乘客到达 那么两航空公司的库存 将没有变化 即在t 1时刻 库存为 y 1 t 1 y 1 t 1 且y i t y i t 1 i 1 2 如果在t时 刻有乘客到达 那么航空公司i将选择最优价格p i3 来最大化自身收益V i t 在任意时间t t 0 航空公司1的收益为 V 1 t y 1 y 2 max i 1 ij t t p 1 i V 1 t t y 1 1 y 2 2 ij t t V 1 t t y 1 y 2 1 1 1 ij t t 2 ij t t V 1 t t y 1 y 2 1 令 t 0 化简 可得航空公司 1收益的Hamil2 ton2Jacobi方程为 9V 1 t y 1 y 2 9t max i 1 ij t p 1 i V 1 t y 1 1 y 2 V 1 t y 1 y 2 2 ij t V 1 t y 1 y 2 1 V 1 t y 1 y 2 2 相应的 航空公司2收益的Hamilton2Jacobi方 程为 9V 2 t y 1 y 2 9t max i 2 ij t p 2 j V 2 t y 1 y 2 1 V 2 t y 1 y 2 1 ij t V 2 t y 1 1 y 2 V2t y 1 y 2 3 为了讨论方便 以下的研究以航空公司1为 基准 定理1 给定时间t和对方剩余座位数y 2 V 1 t y 1 y 2 是自身剩余座位数y1的凹函数 证明 只需证明对所有的y 1 0 下列关系式成立 V 1 t y 1 y 2 1 2 V 1 t y 1 1 y 2 V1t y 1 1 y 2 4 假设航空公司1有1 2 1 2四种状态 在状态 1下剩余座位为y 1 1个 在状态2下剩余座位为 y 1 1个 而在状态1 2下剩余座位为y 1 个 令P 1 P 2 分别为 0 t 状态1 2的最优价格策略 其期望收 益为V 1 t y 1 1 y 2 V1t y 1 1 y 2 令p i 0 t 为 时刻下状态i的价格 p i 0 t 为 时刻下状态j的价格 i j 1 2 令p 1 max p 1 p 2 p 2 min p 1 p 2 分 别为 t0 t 时刻状态1 2下的价格 t0定义为状态1 剩余座位的数量刚好比状态1少一个 令p i p i 为 0 t0 状态i的价格 i 1 2 显然只有在时刻 0 t0 且p 1 p 2 下 状 态1 2 和状态1 2 可能产生不同的收益 且1剩余 座位的数量刚好比状态1少一个 可分为以下情况 讨论 1 乘客不发生购买 这种情况下整个收益不变 2 乘客可能购买任何价格的机票 若乘客在价 格p 1 下购买 那么状态1和状态2的收益增加 p 1 若乘客在价格p 2 下购买 那么状态2和状 态1的收益增加p 1 对于状态1 2和状态1 2收 益的比较没有影响 3 乘客购买状态1和状态2的机票 而不购买 44 第3期李 豪 熊中楷 竞争环境下航空公司动态定价特性 状态2和状态1 由于p 1 p 2 乘客购买状态 1和状态2的机票 而不购买状态2和状态1 这时1 卖出的机票比1少一个 也就是t0时刻 状态1和 状态2的收益增加p 1 与状态1 状态2的收益相同 所以 对于状态1 2来说 其价格策略p1 p2所产 生的收益与状态1 2最优价格产生的收益相等 那 么状态1 2最优价格策略下所产生的收益2V 1 t y 1 y 2 大于等于状态1 2最优价格策略下所产生的收 益 V 1 t y 1 1 y 2 V1t y 1 1 y 2 定理得证 同理 对航空公司2也有此结论成立 定理1 表明如果知道对方的剩余座位数量 在给定时间存 在最优座位数量使自身收益达到最大 由假设 在 任意时刻t 竞争双方均了解对手库存情况 各航空 公司可以根据实际情况决定什么时候卖出机票 下面考虑座位的边际收益随时间的变化情况 定理2 给定y 2 V 1 t y1 y2 随时间的增加而 减少 证明 当两航空公司剩余座位分别为y 1 1 y 2 时 航空公司1的收益为 V 1 t y 1 1 y 2 max i 1 ij t t p 1 i V 1 t t y 1 y 2 2 ij t t V 1 t t y 1 1 y 2 1 1 1 ij t t 2 ij t t V 1 t t y 1 1 y 2 5 式 1 减去式 5 得 V1t y1 y2 V1t t y1 y2 t 1 ij t V 1 t t y 1 1 y 2 V1t t y 1 y 2 V1t t y 1 y 2 V1t t y 1 1 y 2 2 ij t V 1 t t y 1 y2 1 V 1 t t y 1 y 2 V1t t y 1 1 y 2 1 V 1 t t y 1 1 y 2 6 令 t 0 式 6 左边为 lim t 0 V1t y1 y2 V1t t y1 y2 t 9 V 1 t y1 y2 9t 而由假设2和式 4 可得 式 6 右边为负 所以 9 V 1 t y 1 y 2 9t 0 即 V 1 t y1 y2 对于给定的y2随 时间的增加而减少 定理得证 由对称性 给定y 1 V 2 t y 1 y 2 随时间的增加 而减少 定理2表明 竞争对手剩余座位数量一定 时 自己座位越早卖出其边际收益越大 定理3 给定自身剩余座位数量y 1 V 1 t y 1 y2 随时间的增加而增加 证明 当两航空公司剩余座位分别为y 1 y 2 1 时 航空公司1的收益为 V 1 t y 1 y 2 1 max i 1 ij t t p 1 i V 1 t t y 1 1 y 2 1 2 ij t t V 1 t t y 1 y 2 1 1 ij t t 2 ij t t V 1 t t y 1 y 2 1 7 式 1 减去式 7 得 V1t y 1 y 2 V1t t y 1 y 2 t 1 ij t V 1 t t y 1 1 y 2 V1t t y 1 1 y 2 1 V 1 t t y 1 y 2 V1t t y 1 y 2 1 2 ij t V 1 t t y 1 y 2 1 V 1 t t y 1 y 2 V1t t y 1 y 2 V1t t y 1 y 2 1 8 令 t 0 式 8 左边为 lim t 0 V1t y 1 y 2 V1t t y 1 y 2 t 9 V 1 t y 1 y 2 9t 而 由 假 设2 式 8 等 式 右 边 为 正 所 以 9 V 1 t y 1 y 2 9t 0 定理得证 同理 V 2 t y1 y2 也有此结论成立 由定理2 和定理3可知 假设对手剩余座位数量不变 自身机 票越早卖出其边际收益越大 给定自身座位不变 对 方机票越晚卖出对自己越有利 由本文假设 价格 是影响需求的唯一因素 要达到自身收益最大化 必 须降低价格才能使自己座位越早卖出同时利用价格 优势使对方座位越晚卖出 由对称性 航空公司2 也如此 那么竞争双方会在销售期开始采用最低价 格来吸引乘客 且最低价是销售期开始时航空公司 对对手策略的最优反应 推论 在销售期开始 双方竞争的纯策略纳什 均衡为最低价格 3 算例分析 本节将用算例来分析模型的实际应用过程 首 先应指出 Lin和Sibdari 14 中定理 2证明了此多周 期离散时间动态定价问题存在价格均衡 为我们的 研究提供了理论依据 由推论 在销售初期两航空 公司均采用最低价 以此为条件 对单个航空公司 的最优价格在 2 和 3 上进行一维搜索 可以依次 推出低价之后的最优价格及价格的转换时间 为了 计算方便 假定2个航空公司可行的价格集合为P 110 112 114 115 记p i 1 110 p i 2 112 p i 3 114 p i 4 115 航空公司1 2所面临的需求率随机假设 如下 1 11 0150 1 12 0155 1 13 0160 1 14 0165 54 工 业 工 程第12卷 1 21 0140 1 22 0145 1 23 0149 1 24 0153 1 31 0128 1 32 0138 1 33 0141 1 34 0145 1 41 0125 1 42 0133 1 43 0136 1 44 0139 2 11 0140 2 12 0132 2 13 0124 2 14 0124 2 21 0145 2 22 0136 2 23 0130 2 24 0127 2 31 0150 2 32 0141 2 33 0134 2 34 0131 2 41 0155 2 42 0145 2 43 0137 2 44 0134 经检验 上面给出的需求率满足假设1 如果航空公司1或2垄断整个市场 假设需求 率如下 1 1 t 0197 1 2 t 0182 1 3 t 0177 1 4 t 017 2 1 t 0195 2 2 t 0180 2 3 t 0172 2 4 t 0165 取 t 1 y1 t y 2 t 10 假设航空公司1和 2销售周期为 0 100 运用Matlab 7 0编程 得到 的结果如表1 表2所示 表1 两航空公司的最优价格序列 时间间隔 航空公司1的 最优价格 时间间隔 航空公司2的 最优价格 0 33 p 13 1 1 0 0 25 p23 1 1 0 33 44 p 13 4 1 5 25 38 p23 4 1 5 44 56 p 13 3 1 4 38 49 p23 3 1 4 56 61 p 13 2 1 2 49 60 p23 2 1 2 61 75 p 13 1 1 0 60 70 p23 1 1 0 75 100 p 13 4 1 5 70 100 p23 4 1 5 表2 均衡价格 时间间隔均衡价格时间间隔均衡价格 0 25 p 13 1 p23 1 56 60 p13 2 p23 2 25 33 p 13 1 p23 4 60 61 p13 2 p23 1 33 38 p 13 4 p23 4 61 70 p13 1 p23 1 38 44 p 13 4 p23 3 70 75 p13 1 p23 4 44 49 p 13 3 p23 3 75 100 p13 4 p23 4 49 56 p 13 3 p23 2 由表1可以看到 在销售期初 两航空公司都采 用低价进行促销 与推论相符 在期初的低价结束 后 两航空公司均会恢复高价 然后采用降价策略 最后两航空公司均采用高价 同时 竞争双方的均 衡价格均没有表现出垄断环境下价格的单调性 这 与Lin和Sibdari 14 所得结论相同 需求假设如上 如果令y 2 t 20 取 t 1 在 y 1 t 分别等于10 20 30时 可得航空公司1边际收 益的变化情况如图1 图2所示 可以看出 航空公 司1自身库存的边际收益 V 1 t y1 y2 随销售时间 t的增加而减少 而竞争对手库存的边际收益 V 1 t y 1 y 2 随销售时间t的增加而增加 验证了定理2 和定理3 图1 y2 t 10时航空公司1自身库存的边际收益 图2 y2 t 10时航空公司1竞争对手库存的边际收益 最后来看收益的情况 需求假设如上 同时令 y 1 t 30 T 200 所得结果如表3所示 表3 y1 t 30 T 200时的均衡收益 y2 t 均衡收益 t 015 均衡收益的比值 1 航空公司1航空公司2航空公司1航空公司2 107 7313 0610 999 70 999 6 207 5464 7940 999 50 998 3 307 3505 9010 999 80 996 3 407 1676 5210 999 00 999 2 507 0106 8120 998 90 999 8 1 均衡收益的比值为 t2 t1 其中 t1 0 5 t2 1 由表3可以看到 本文得出的收益在 t 015 时 要比在 t 1时高 这是由于所取的时间间隔 较小使得航空公司有更充足的时间来调整价格 这 说明如果航空公司有更大空间进行动态定价 将提 高均衡收益 4 结论 本文讨论竞争环境下提供同一航线的两家航空 公司的动态定价策略 两公司通过建立动态的价格 64 第3期李 豪 熊中楷 竞争环境下航空公司动态定价特性 体系来最大化自身收益 同时还要考虑竞争对手的 价格对需求和自身收益的影响 通过建立的模型 本文得出了两航空公司在销售期定价的一些性质 1 给定时间和竞争对手剩余座位数量 收益是 自身剩余座位的凹函数 2 给定竞争对手剩余座位数量 航空公司自身 剩余座位的边际收益随时间的增加而减少 3 给定自身剩余座位数量 航空公司对竞争对 手剩余座位的边际收益随时间的增加而增加 这些性质表明追求收益最大化的航空公司一方 面采取措施让自身越早卖出座位 另一方面希望能 让竞争对手越晚卖出 博弈的结果是两航空公司在 销售初期均采用最低价格 最后 本文应用算例展 现了模型的实际应用过程 并发现 如果航空公司有 更大空间进行动态定价 将提高均衡收益 本文的 研究不仅弥补了竞争环境下动态定价研究的不足 同时对于指导竞争环境下航空公司对价格的实际管 理具有重要的指导意义 参考文献 1 肖勇波 陈剑 刘晓玲 基于乘客选择行为的双航班机票 联合动态定价模型 J 系统工程理论与实践 2008 7 1 46255 2 Wedad El maghraby Pinar Keskinocak Dynamic pricing in the presence of inventory considerations Research overview Current practices and Future direction J Management Sci2 ence 2003 49 10 128721309 3 Bitran G Caldentey R An overview of pricingmodels for rev2 enue management J Manufacturing Service Operations Management 2003 5 3 2032229 4 McGillVan Ryzin Revenue management Research overview and prospects J Transportation Science 1999 33 2332 256 5 Gallego G G J Van Ryzin Optimal dynamic pricing of inven2 tories with stochastic demand over finite horizons J Man2 agement Science 1994 40 3 99921020 6 ZhaoWen Zheng YuSheng Optimal dynamic pricing for per2 ishable assets with nonhomogeneous demand J Manage2 ment Science 2000 46 3 3752388 7 Yossi Aviv Amit Pazgal A partially observed Markov Deci2 sion Process for dynamic pricing J Management Science 2005 51 9 140021416 8 Dimitrs Bertsimas Sanne de Boer Dynamic pricing and in2 ventory control formultiple products J Journal of Revenue and PricingManagement 2005 3 4 3032319 9 熊中楷 李根道 唐彦昌 等 网络环境下考虑动态定价的 渠道协调问题研究 J 管理工程学报 2007 21 3 452 55 10 熊中楷 李豪 向东 需求函数为非线性的按订单生产企 业动态定价的特性研究 J 科技管理研究 2007 27 5 1282131 11 Terry L Friesz Reetabrata MookhErjee An evolutionary game2theoretic model of network revenue manage2ment in oligopolistic competition J Journalof Revenue and Pricing Management 2005 4 2 1562173 12 Nobuo Matsubayashi Price and quality competition the effect of differentiation and vertical integration J Europe2 an Journal ofOperational research 2007 180 1 9072921 13 Cheng Currie Smith HK Dynamic pricing of airline tickets with competition J Journal of the Operational Research Society 2007 5