相变细观力学本构模型mori-tanaka.pdf

细观力学本构模型细观力学本构模型 引言引言 定向凝固成形技术是伴随高温合金的发展而逐渐发展起来的 是在凝固过程 中采用强制手段 在凝固金属和未凝固熔体中建立起特定方向的温度梯度 从而 使熔体沿着与热流相反的方向凝固 以获得具有特定取向柱状晶的技术 由于该 技术较好地控制了凝固组织的晶粒取向 大大提高了材料的力学性能 1 定向凝固试样 不同取向的晶体在同样大小的磁场作用下受到不同的驱 动力 将产生不同大小的磁致应变 合金定向凝固以后 合金的磁晶各向异性增 大 马氏体变体在磁场驱动力的作用下发生再取向时 变体间的自协作作用就被 消弱 导致合金的磁致应变增大 但是当磁晶各向异性很大时 易磁化轴数目减 少 低磁场下产生的驱动力就不足以驱动马氏体变体再取向 所以难以获得大的 宏观应变 这就说明了在低磁场下 012T 定向凝固试样的应变并不比铸态试样 明显提高的原因 马氏体形貌像可见 热致马氏体呈自协作组态 形成两个不同取向的变体 两个变体在界面处挤碰交叉 界面崎岖不平 呈台阶状 变体内部为平行排列的 板条状亚结构 2 多晶 Ni50Mn28Ga22 5M the microstructural features can be characterized as alternatively distributed lamellae 10 20um in width and separated by inter lamellar boundaries Moreover the lamellae with light mean contrast consist of sub lamellae and those with dark mean contrast consist of blocks that the lamellae are composed of pairs of thin plates with thickness in the nanometer range 文献 1 郭世海 张羊换 赵增祺 李健靓 王新林 定向凝固生长对 Ni Mn Ga RE RE Tb Sm 合金磁感生应变的影响 物理学报 2004 53 5 1659 1603 2 Zongbin Li Yudong Zhang Claude Esling Xiang Zhao Liang Zuo Twin relationships of 5M modulated martensite in Ni Mn Ga alloy Acta Materialia 59 2011 3390 3397 2 细观结构与变形机理 研究表明 采用定向凝固技术 Ni2MnGa polycrystals的力学性能在整个试 样内都是均匀的 1 定向凝固后合金具有一定晶体取向 晶粒沿定向方向排列 呈柱状 在晶粒内 马氏体状态处于两个变体的孪晶状态 光学显微图显示 沿 试样凝固方向和垂直于凝固方向 马氏体片体呈毫米级的板条细观结构 一个晶 粒内的马氏体片体互相平行 不同的晶粒中 马氏体片体的方位不同 2 6 多晶 FSMA在奥氏体相时 存在沿凝固方向的纤维织构 3 9 由文献 6 5M的NiMnGa试样 二轴向训练比三轴向训练好 因为 Compression along the third direction related to the c axis of the micro twins causes the motion and expansion of twins crossing each other which makes the training process much more complicated The repeated training of the same bicrystal was possible by heating up the sample above the martensite austenite transformation temperature Cooling leads again to a self accommodated microstructure three axis training leads to an increasing number of cycles being required to achieve the desired stress reduction and strain maximization 由文献 5 二轴向训练第一次循环结束后 细的孪晶界消失 主要孪晶界变 得更加有序和厚 c轴逐渐转而沿着外力的方向 三次训练循环后 最中产生一 种类型的孪晶 两个变体 或单个变体 在压应力作用下 nearly the whole sample changed the orientation with the c axis parallel to the compressing direction 4 新材新材 料来后料来后 训练前和结束训练前和结束 重测细观结构重测细观结构 It is evident that the orientations within one twin variant are almost homogeneous and the misorientation angle between the two neighboring twins is about 80 85 3 图 1 a 定向凝固方向 图 1 b 垂直于定向凝固方向 图 1 c 垂直于定向凝固方向 图 1 Ni47 07Mn26 13Ga26 80at 细观结构光学图 本文实验材料为 Ni47 07Mn26 13Ga26 80at 其中 at 表示原子比 由 DSC 曲 线可知相变点温度为 Ms 38 9 Mf 29 8 As 39 1 Af 51 2 居里温 度 TC 99 5 室温时该材料完全处于马氏体相 图 1 为该材料在自由状态时 的细观结构图光学图 实验设备为超景深显微镜 实验前 用金相砂纸 200 400 600 800 1200 从粗到细打磨试样的定向凝固截面与横截面 打磨结束后 用抛光机抛光 使其表面光滑 最后进行化学腐蚀 使用的化学试剂为 三氯化 铁 2 5g 硝酸 7 5ml 酒精 50ml 将试剂搅拌均匀后 分别将定向凝固面与横截 面放入试剂中进行腐蚀 在腐蚀过程中需不断对截面进行观测以确定其腐蚀时 间 其中定向凝固界面腐蚀时间为 5 分 30 秒 横截面腐蚀时间为 2 分 54 秒 由 图 1 a 可知 沿试样凝固方向马氏体片体呈毫米级的树枝状细观结构 与文献 2 5 的结果基本一致 图 1 b c 为垂直于凝固方向的细观结构 其中图 1 b 的放大倍 数比图 1 c 大 由图可知 在垂直于凝固方向 试样呈现马氏体片体孪晶结构 3 本构模型 3 1 坐标变换 由文献 2 8 知 定向凝固加工的 FSMA 样品晶粒为柱状 平行于凝固方向 晶粒内马氏体状态片体处于两个变体的孪晶状态 不同的晶粒中 马氏体片体的 方位不同 因此 要研究该材料的力学性能及其响应特征 往往要使用几个不同 的坐标系 考虑它们之间的坐标转换 定向凝固加工的 FSMA 样品材料示意图见图 2 为了描述多晶材料中晶粒 的取向 引入第一个直角坐标系 KA ox1x2x3 坐标系 x2方向为材料的定向凝固方 向 该坐标系是固定在样品材料上 称为样品坐标系 图 2 定向凝固铁磁形状记忆合金样品材料示意图 Fig 2 Schematic view of directionally solidified FSMA sample 在晶粒中的马氏体片体方位与晶粒又不一样 引入第二个直角坐标系 KB 是沿马氏体片晶轴方向建立的坐标系 称为晶体坐标系 见图 2 KB三个轴的选 择必须符合晶体的对称性 对于立方对称的晶体 三个坐标轴的方向分别与晶胞 的边的方向平行 用欧拉 Euler 角来表示晶体坐标系与样品坐标系之间的相对转 动 见图 3 可以用 g 来表示样品坐标系 KA到晶体坐标系 KB的转动 x3 x1 x2 o KA坐标系 100 010 001 图 3 晶体取向的欧拉角 Fig 3 Euler angles between the crystallographic axes of each grain and the sample axes cossincossinsin sincoscoscoscossinsincoscossinsincos sinsincossincoscossincossinsincoscos 11 221212121 221212121 g 1 在具体实验测量时 试验试样的切割方向相对于定向凝固方向呈一角度 用 表示试样 引入第三个坐标系 KC oxyz 坐标系 该坐标系是固定在测量试样上 这是外部测量多晶材料宏观性能的坐标系 称为测量坐标系 见图 4 图中阴影 矩形为实验时的测量试样示意图 z 轴和 x1轴重合 这样可以用 g0来表示样品 坐标系 KA到测量坐标系 KC的转动 见图 4 由样品坐标系到测量坐标系的转换 矩阵为 100 0cossin 0sincos 0 g 2 其中 角表示试样切割的方向相对于凝固方向的夹角 那么 由晶体坐标系 KB到测量坐标系 KC的转动 g可表示为 10 11 0 ggg 1 图 4 定向凝固铁磁形状记忆合金坐标系示意图 Fig 4 The coordinate axes of directionally solidified FSMA x3 x1 x2 o 100 010 001 1 2 x x3 x2 x1 z o 图 3 定向凝固方向 Ni2MnGa 试样再取向细观机理示意图 Fig 3 The microscopic mechanism schematic diagram of directional solidification Ni2MnGa 对于定向凝固的多晶铁磁形状记忆合金 Ni2MnGa 若加工所得到的试样处 于马氏体状态 根据实验的细观结构光学图1和文献 4 5 可得定向凝固Ni2MnGa 试样再取向细观结构示意图 见图 3 图 3 所示试样的长度方向沿定向凝固方向 即 0 其中 V1表示变体 1 V2表示变体 2 箭头表示马氏体变体的易轴 c 轴 方向 定向凝固 Ni2MnGa 存在 2 个马氏体片体 呈孪晶结构 5 见图 3 a 沿 试样的长度和宽度方向连续施加压应力进行力学训练 两个马氏体变体的 c 轴沿 压应力方向 见图 3 b 经过力学训练后的试样 在外压应力作用下 随着压应 力的增大 马氏体孪晶结构开始解孪 最终变为单一变体 为变体 2 变体的易 轴即 c 轴沿外力的方向 见图 3 c 设初始两变体的体积分数相同 9 根据 Eshelby 等效夹杂原理 将所考虑的问题看作为两相材料 定义马氏体 变体 1 为基体相 马氏体变体 2 为夹杂相 分别表示为第 0 相和第 1 相 见图 2 和图 3 设边界均匀应力 作用 等效弹性柔度张量为M 总的平均应变为 非弹 性应变为 in 有 M in 1 当只有基体时 在同样的外力作用下 材料的本构关系为 00 C 2 其中C0为基体材料的弹性刚度张量 设基体变体1的晶轴沿宏观坐标oxyz方向 见图4 由文献 10 11 知 马氏体变体为四方体结构 有6个独立的材料常数 有 66 44 44 331313 131112 131211 0 0 0 C C C CCC CCC CCC C 3 x3 Twin boundary o V1 a c a b V2 a c y x2 图 4 变体 1 方位示意图 Fig 4 Schematic of variant 1 当有夹杂时 夹杂和基体间相互影响 在基体中产生扰动应力 扰动应变 为 则基体中的平均应力为 0 00 C 4 基体中应力的扰动部分为 0 C 5 在外力场作用下 材料夹杂内的平均应力 平均应变与基体中的又有差别 设差值为 由于变体再取向引起本征应变记为 tr 由 Eshelby 等效夹杂原 理有 1 10 00 trtr C C 6 其中 1 C 分别是夹杂相的弹性常数张量和等效本征应变 则有 tr S 7 其中 S 为 Eshelby 张量 与基体的材料特性和夹杂的形状有关 由式 4 和式 6 解得 0 tr C SI 8 其中 I 为 4 阶等同张量 由于整个材料的体积平均应力等于边界作用的均匀应力 由式 4 和式 6 可 以推得 9 为马氏体变体 2 的体积分数 与温度 外加应力场和外磁场等因素有关 把式 5 和式 8 代入式 9 得 tr SI 10 由式 6 式 7 和式 10 解得 0101010 1 tr CCCSSICC SI 11 那么 铁磁形状合金的平均应变为 01010101 010101 1 tr ICCCSSICCC CCCSSICCSI 12 比较式 1 和式 12 铁磁形状合金相变时等效柔度模量张量为 y 010 z 001 x 100 c a a 01010101 MICCCSSICCC 13 上式充分体现了定向凝固材料中晶粒的形状 尺寸以及晶粒的择优取向对该材料 宏观等效模量的影响 由于相变 温度变化等因素引起的总的非弹性应变为 010101 1 intr CCCSSICCSI 14 从而获得了由相变引起的非弹性应变的全量表达式 马氏体变体 2 体积分数与温度 外加应力场有关 当马氏体变体 2 体积分数 已知 由方程 12 就可以求出再取向应变随外磁场 外应力或温度的变化曲线 3 热力学分析和再取向准则 Gibbs 自由能的变化量为马氏体变体再取向提供驱动力 对于 FSMA 材料 在外力和温度两个因素的诱导下 与基本现象有关的能量有弹性能 化学自由能 8 9 其他能量忽略不计 单位体积单位重量的 Gibbs 自由能的变化量可表达成 mech GTGTGT 14 其中下标 me 和 ch 分别表示力学势能和化学自由能 考虑一个均匀的各向异性的弹性基体 D 只含变体 1 包含另一异性的夹杂 材料 即变体 2 并含有本征应变 tr 如图 5 tr 图 5 Eshelby 相变示意图 Fig 5 Schematic of Eshelby transformation 那么该材料力学势能的变化量为 10 11 10 010010 10 010010 1 2 2 trtrtr me tr G C SI CC SCCC C SICC SCCC 15 化学自由能的变量可以写成 21 0MMch STTG 16 T0为参考状态的温度 21 MM S 为马氏体变体再取向熵的变化量 马氏体变体再 取向的驱动力为 12 10 010010 10 0100100 1 2 2 trtrtr drv tr MM G f TTS C SI CC SCCC C SICC SCCC 17 在马氏体再取向的过程中 由于新核的形成 变体的再取向等过程都伴有表 面能和由于孪晶界面运动引起的能量耗散 设表面能密度为 s 夹杂的整个表面 的面积 1 A 体积为 1 V 变体 2 的平均厚度为 t 单位体积的表面能变量 s G 为 10 tVAAG ssss 2 111 18 能量耗散迄今为止没有明确的计算公式 在传统的形状记忆合金本构模型的 研究中 为了进行近似估算 Sun 和 Hwang 12 13 假设耗散能是夹杂相体积分数的 线性函数 在铁电陶瓷和多孔形状记忆合金本构模型的研究中 Li 和 Weng 14 以及 Nemat Nasser 15 假设耗散能是夹杂相体积分数的指数函数 然后再根据实验 数据确定待定常数 对于铁磁形状记忆合金 根据具体实验数据 采取如下经验 公式 10 1 b d eDG 19 其中 D 和 b 是待定常数 那么马氏体变体再取向时的阻力可表示为 b sdsres DbetGGf 2 20 在变体再取向的平衡状态 驱动力应该等于阻力 从而可得马氏体变体再取 向的动力学方程 12 10 0010010 10 010010 1 2 2 2 trtrtr MM trb s TTS tDbe C SI CC SCCC C SICC SCCC 21 当给定外力和温度 根据上式可以求出马氏体再取向平衡时变体 2 体积分数 然后由式 11 可以得到定向凝固铁磁形状记忆合金的宏观应变 相似地 当外 力减少时 马氏体变体 2 会向变体 1 逆定向 此时可以选变体 2 为基体 变体 1 为夹杂 同理可以求出逆定向时夹杂相的体积分数 假设初始变体 1 沿晶轴方向 见图 5 马氏体变体为四方体结构 有 6 个独 立的材料常数 41 C11 39GPa C12 30GPa C13 27 6GPa C33 28GPa C44 51GPa C66 49GPa 即 66 44 44 331313 131112 131211 0 0 0 C C C CCC CCC CCC C 26 图 5 变体 1 和变体 2 的示意图 Fig 5 Schematic of variant 1 and variant 2 从变体 1 到变体 2 转变时 通过一转动张量作用于参考状态而获得 弹性 刚度矩阵可表示为 01 pqrsstkrjqipijks CaaaaC 26 其中 mn a表示相对于晶体参考系的转换矩阵的分量 转动后 变体 2 的弹性 刚度矩阵为 44 66 44 111312 133313 121311 1 0 0 C C C CCC CCC CCC C 27 Eshelby 张量为一个四阶张量 它与基体材料的弹性模量 夹杂的形状 以及夹杂的方向有关 为简化计算 本章分析球形夹杂的 Eshelby 张量 对于一 般的各向异性基体材料 Eshelby 张量可以表示为 29 dGGdCS jimjnijklijkl 8 1 min 2 0 1 1 3 0 27 其中 ljijklikkmjmniklijlnmmnl ii ijlkimjn CKKKddNKKKdD R DNG 0 ln321 33 2 12 32 2 12 31 2 1 sin 1 cos 1 28 其中 ijk d是置换张量 R 是球形夹杂的半径 由以上式子可知 对于各向异性的基体材料 Eshelby张量没有解析表 达式 相应的结果只能采用数值计算 42 所以 式 27 的双重积分可以采用下 述的高斯积分公式 pqpqjpqimjnmnkl N q M p ijkl WGGCS 8 1 3min3 0 11 29 其中 M 和 N 分别是指在 3 和 q 上的积分点 Wpq 是 Gaussian 权重 根据 文献 42 中选取的合适计算值M 和N 铁磁形状记忆合金的Eshelby张量分量为 1686 0 1671 00 1862 0 1204 03153 00828 0 01721 03201 02021 0 0751 00858 01274 0 S 30 由实验知 磁控形状记忆合金 Ni2MnGa 奥氏体相为面心立方 马氏体相为 四方晶体 材料常数为 92 C11 39GPa C12 30GPa C13 27 6GPa C33 28GPa C44 51GPa C66 49GPa 6 40 根据各向同性假设 等效 Lam 常数取为 22 4 1 22 4 1 664413121133 664413121133 CCCCCC CCCCCC 6 41 对于各向同性材料 不同形状夹杂的平均 Eshelby 张量几乎与球形夹杂的相 等 164 为简化计算 本章采用球形夹杂的 Eshelby 张量代入计算 由变体 1 到变体 2 再取向时 根据实验数据选定材料常数 b0 2 1 b1 5 5 由实验数据 当压应力为 1MPa 时 根据 0 1 这两个点对应的临界磁场强 度 2 1 2 1 fs HH 值 通过方程 6 36 可以求出对应的材料常数 s t 和 h 从而可 得马氏体变体再取向时体积分数的一般表达式 同理 当逆定向时 选定 b0 2 5 b1 5 5 根据01 两点对应的临界 磁场强度 1 2 1 2 fs HH 值 可以求出逆定向时的 s t 和 h 值 从而可得马氏体逆 再取向时体积分数的一般表达式 在其它压应力值时 根据已有的材料常数 由 动力学方程 6 36 可以求得相应的临界磁场强度 由式 6 27 可以得到马氏体变体 再取向时应变随外磁场的预测曲线 为便于比较 各应变值都移到了坐标的原点 图 6 4 轴向重定向应变 外磁场曲线与实验数据比较 91 Fig 6 4 Comparison of the model curves and the experimental data 91 图6 4绘出了在不同的常压应力下 轴向重定向应变随横向磁场的变化曲线 并与实验数据进行比较 1MPa 为模拟曲线 为了求出材料常数 3MPa 和 5MPa 为预测曲线 其中实线为本章模型的预测结果 点线为实验数据 87 图中垂直 轴只表示材料的再取向应变 从图中可知 模型的预测结果和文献 87 中的实验 数据是基本吻合的 描述了宏观响应的非线性和滞后性 尽管为了简化计算 本 节作了一些假设 但从图 6 4 比较可知 该模型是可行的 能够描述磁控形状记 忆合金变体再取向的宏观行为 从图中可知 外压应力越小 再取向应变越大 这是因为当施加纵向磁场后 沿磁场方向被磁化的孪晶出现并得以生长 引起试 样逆着外加应力方向生长 应力越小 越容易产生应变 图 6 5 在不同的压应力下轴向重定向应变随外磁场变化曲线 Fig 6 5 Axial reorientation strain magnetic field for different bias stress level 图 6 6 在磁场和压应力作用下变体再取向过程示意图 Fig 6 6 Schematic of variants reorientation applied field and stress b 在零磁场以及较低的磁场作用下 a For zero or small field 图 6 8 在马氏体再取向时磁场强度对应力 应变曲线的影响 Fig 6 8 Effects of magnetic field on stress strain curves during martensite reorientation 图 6 9 残余应变随外磁场变化曲线 Fig 6 9 Curve of residual strain against magnetic field 时残余应变最大 随磁场强度的增大 残余应变越来越小 因为 MSMA 首 先在磁场的作用下 所得变体 1 的易轴沿外磁场方向 在施加于磁场垂直的压应 力时 压应力要择优变体 2 其易轴的方向沿压应力的方向 所以外磁场强度越 大 孪晶边界运动所需的应力就越大 残余应变随磁场强度的变化曲线见图 6 9 从图中可知 随磁场强度的增大 残余应变不断减少 参考文献 1 T Liang C B Jiang H B Xu Z H Liu M Zhang Y T Cui G H Wu Phase transition strain and large magnetic field induced strain in Ni50 5Mn24Ga25 5 unidirectionally solidified alloy Journal of Magnetism and Magnetic Materials 268 2004 29 32 2 Gaitzsch U P tschke M Roth S et al Mechanical training of polycrystalline 7M Ni50Mn30Ga20 magnetic shape memory alloy Scripta Mater 2007 57 493 495 3 D Y Cong Y D Zhang Y D Wang M Humbert X Zhao T Watanabe L Zuo C Esling Experiment and theoretical prediction of martensitic transformation crystallography in a Ni Mn Ga ferromagnetic shape memory alloy Acta Materialia 55 2007 4731 4740 4 Z H NIE Y D WANG G Y WANG J W RICHARDSON G WANG Y D LIU P K LIAW and L ZUO Phase Transition and Texture Evolution in the Ni Mn Ga Ferromagnetic Shape Memory Alloys Studied by a Neutron Diffraction Technique METALLURGICAL AND MATERIALS TRANSACTIONS A 2008 39A 3113 3119 5 C H rrich H Wendrock M P tschke U Gaitzsch S Roth B Rellinghaus and L Schultz Analysis of Variant Orientation Before and After Compression in Polycrystalline Ni50Mn29Ga21 MSMA Journal of Materials Engineering and Performance 2009 18 554 557 6 R Chulist W Skrotzki C G Oertel A B hmb and M P tschke Change in microstructure during training of a Ni50Mn29Ga21 bicrystal Scripta Materialia 63 2010 548 551 7 C Hurrich S Roth M Potschke B Rellinghaus L Schultz Isothermal martensitic transformation in polycrystalline Ni50Mn29Ga21 Journal of Alloys and Compounds 494 2010 40 43 8 Gaitzsch U P tschke M Roth S et al A 1 magnetostrain in polycrystalline 5M Ni Mn Ga Acta Mater 2009 57 365 370 9 P tschke M Weiss S Gaitzsch U et al Magnetically resettable 0 16 free strain in polycrystalline Ni Mn Ga plates Scripta Mater 2010 63 383 386 10 H J Bunge Texture analysis in materials science London Butterworths 1982 11 毛卫民 金属材料的晶体学织构与各向异性 北京 科学出版社 2002 12 13 Miguel A Marioni Robert C O Handley and Samuel M Allen Analytical model for field induced strain in ferromagnetic shape memory alloy polycrystals J Appl Phys 2002 Vol 91 No 10 7807 7809 14 Dai L Cui J Wuttig M 2003 Elasticity of Austenitic and Martensitic NiMnGa Proc SPIE 5053 595 602 15 Zhu Yuping Yu Kai A model considering mechanical anisotropy of magnetic field induced superelastic strain in magnetic shape memory alloys Journal of Alloys and Compounds 2013 550 308 313 16 17 V D Buchelnikov S I Bosko The 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