高数习题课4.pdf

1 积分法积分法 原函数原函数 注 意 u 的 选 取 注 意 u 的 选 取 基 本 积 分 表 基 本 积 分 表 第一换元法 第二换元法 第一换元法 第二换元法 直接 积分法 直接 积分法 分部 积分法 分部 积分法 不 定 积 分不 定 积 分 几种特殊类型 函数的积分 几种特殊类型 函数的积分 一 主要内容一 主要内容 1 原函数1 原函数 如果Ix 都有 xfxF 或dxxfxdF 那么 xF就称为 xf或dxxf 在区间I内的原函数 定义 原函数存在定理 定义 原函数存在定理 如果函数 xf在区间I内连续 那 么在区间I内存在可导函数 xF 使Ix 都有 xfxF 即 连续函数一定有原函数 2 不定积分2 不定积分 1 定义定义 在区间I内 函数 xf的带有任意常数项的原 函数称为 xf在区间I内的不定积分 记为 dxxf CxFdxxf 函数 xf的原函数的图形称为 xf的积分曲线 dxxgxf 10 dxxgdxxf 2 微分运算与求不定积分的运算是互逆的微分运算与求不定积分的运算是互逆的 dxxkf 20 dxxfk k是常数 是常数 0 k 3 不定积分的性质不定积分的性质 xfdxxf dx d dxxfdxxfd CxFdxxF CxFxdF 3 基本积分表3 基本积分表 kCkxkdx 1 是常数是常数 1 1 2 1 C x dxx Cx x dx ln 3 dx x21 1 4 Cx arctan dx x21 1 5 Cx arcsin xdxcos 6 Cx sin xdxsin 7 Cx cos xdxxtansec 10 Cx sec xdxxcotcsc 11 Cx csc dxex 12 Cex x dx 2 cos 8 xdx 2 secCx tan x dx 2 sin 9 xdx 2 cscCx cot dxax 13 C a ax ln Cxxdxcoslntan 16 Cxxdxsinlncot 17 Cxxxdx tanln secsec 18 Cxxxdx cotln csccsc 19 C a x a dx xa arctan 11 20 22 C xa xa a dx xa ln 2 11 22 22 C a x dx xa arcsin 1 23 22 Caxx dx ax ln 1 24 22 22 C ax ax a dx ax ln 2 11 21 22 Cx sh 14 xdxch xdxCx ch 15 sh 2 5 第一类换元法 4 直接积分法 5 第一类换元法 4 直接积分法 定理定理 1 设设 uf具有原函数 具有原函数 xu 可导 则有换元公式 可导 则有换元公式 dxxxf xu duuf 第一类换元公式 凑微分法 由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不 定积分的方法 第一类换元公式 凑微分法 由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不 定积分的方法 常见的几种凑微分形式常见的几种凑微分形式 dxbaxf 1 dxbaxfx nn1 2 dxxf x ln 1 3 dx xx f 2 11 4 dx x xf 5 dxaaf xx 6 1 baxdbaxf a 1 1 11 baxdbaxf na nn lnlnxdxf x d x f 11 xdxf 2 xx daaf a ln 1 xdxxfcossin 7 xdxxf 2 sec tan 9 dx x xf 2 1 arctan 10 xdxxfsincos 8 xdxfsinsin coscos xdxf xdxftan tan xdxfarctan arctan dx x xf 2 1 arcsin 11 xdxfarcsin arcsin 6 第二类换元法6 第二类换元法 定理定理 设设 tx 是单调的 可导的函数 并 且 是单调的 可导的函数 并 且0 t 又设 又设 ttf 具有原函数 则有换元公式 具有原函数 则有换元公式 xt dtttfdxxf 其中其中 x 是是 tx 的反函数的反函数 第二类换元公式第二类换元公式 a 三角代换三角代换 目的是化掉根式目的是化掉根式 一般规律如下 当被积函数中含有一般规律如下 当被积函数中含有 m xa 22 可令可令 sintax m xa 22 可令可令 tantax m ax 22 可令可令 sectax 第二类换元法中常用的几种代换第二类换元法中常用的几种代换 b 积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换 c 设设m n分别为分子 分母关于分别为分子 分母关于x的最高次数的最高次数 当当n m 1 时 可采用倒代换 时 可采用倒代换 1 t x 1 1 24 dx xx 如 如 d 当被积函数含有两种或两种以上的根式 时 可采用令 其中 为各根指数的最小公倍数 当被积函数含有两种或两种以上的根式 时 可采用令 其中 为各根指数的最小公倍数 lk xx L n tx n 1 1 3 dx xx 如 如 令令 6 tx e 积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换 或双曲代换 并不是绝对的 需根据被积函数的情况来定 积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换 或双曲代换 并不是绝对的 需根据被积函数的情况来定 dx x x 2 5 1 如如 三角代换可以 三角代换可以 2 1xt 可令可令 1 1 dx ex 又如 又如 x et 1可令可令 3 7 分部积分法7 分部积分法 dxvuuvdxvu duvuvudv 分部积分公式分部积分公式 cos sin axdxxaxdxxdxexa mmaxm 型如型如 m xu 令 令 ln arctan arcsin xdxxxdxxxdxxb mmm 型如型如 ln arctanxuxu 令 令 cos sin dxbaxedxbaxec axax 型如型如 但两次选取要一致的选取可任意但两次选取要一致的选取可任意dvu 用分部积分法的常见类型用分部积分法的常见类型 8 几种特殊类型函数的积分 8 几种特殊类型函数的积分 a 有理函数的积分 有理函数的积分 mm mm nn nn bxbxbxb axaxaxa xQ xP 1 1 10 1 1 10 L L 部分分式之和 真分式多项式有理函数由于 部分分式之和 真分式多项式有理函数由于 lnCaxA 1 1 1 C axk A k 04 3 2 2 qpdx qpxx CBx dx ax A 1 dx ax A k 2 04 4 2 2 xCx xCx xCx dxx故故 1 2 1 32 CCCC 可得 可得 1 CC 联立并令联立并令 例9 解 例9 解 1 1 3 42 xx dx 求求 1 1 1 1 1 2 3 4 3 42 x x x xxQ 1 1 x x t令令 1 2 2dx x dt 则有 则有 原式 原式 2 3 4 1 1 1 x x x dx dtt 3 4 2 1 Ct 3 1 2 3 1 1 2 3 3 C x x 例10 解 例10 解 1 1 22 dx xx x 求求 1 t x 令 令 dt t tt t 2 2 2 1 1 11 1 1 原式原式 dt t t 2 1 1 2 2 2 12 1 1 1 t td dt t Ctt 2 1arcsin 1 arcsin 1 2 C xx x 倒代换倒代换 例11 解 例11 解 dx xf xfxfxfxf 3 22 原式原式 3 2 dx xf xfxf xf xf 求求 dx xf xfxfxf xf xf 2 2 xf xf d xf xf 2 1 2 C xf xf 一 选择题 1 一 选择题 1 设设 21 xFxF是区间 是区间 I内连续函数内连续函数 xf的两个不 同的原函数 且 的两个不 同的原函数 且0 xf 则在区间 则在区间 I内必有 A 内必有 A CxFxF 21 B B CxFxF 21 C C 21 xCFxF D D CxFxF 21 2 若 2 若 xfxF 则则 xdF A A xf B B xF C C Cxf D D CxF 测 验 题测 验 题 8 3 3 xf在某区间内具备了条件 就可保证它的 原函数一定存在 A 有极限存在 B 连续 B 有界 D 有有限个间断点 4 下列结论正确的是 A 初等函数必存在原函数 B 每个不定积分都可以表示为初等函数 C 初等函数的原函数必定是初等函数 D 在某区间内具备了条件 就可保证它的 原函数一定存在 A 有极限存在 B 连续 B 有界 D 有有限个间断点 4 下列结论正确的是 A 初等函数必存在原函数 B 每个不定积分都可以表示为初等函数 C 初等函数的原函数必定是初等函数 D CBA 都不对 都不对 5 函数5 函数 2 xxxf 的一个原函数的一个原函数 xF A A 3 3 4 x B B 2 3 4 xx C C 3 2 2 2 xxx D D 3 2 2 xxx 6 已 知 一 个 函 数 的 导 数 为 6 已 知 一 个 函 数 的 导 数 为xy2 21 yx时且 这个函数是 A 时且 这个函数是 A 2 Cxy B B 1 2 xy C C C x y 2 2 D D 1 xy 7 下列积分能用初等函数表出的是 A 7 下列积分能用初等函数表出的是 A dxe x2 B B 3 1x dx C C dx xln 1 D D dx x xln 8 8 CxFdxxf且且 batx 则 则 dttf A A CxF B B CtF C C CbatF a 1 D D CbatF 9 9 dx x x 2 ln A A C x x x 1 ln 1 B B C x x x 1 ln 1 C C C x x x 1 ln 1 D D C x x x 1 ln 1 10 10 10 14 x dx A A C x 9 14 1 9 1 B B C x 9 14 1 36 1 C C C x 9 14 1 36 1 D D C x 11 14 1 36 1 二 求下列不定积分 1 二 求下列不定积分 1 dx xx 1 cos 1 2 2 2 52 2 xx dx 3 3 dx x xx 2 2 1 5 1ln 4 4 dx x x 22 2 1 5 5 2 11x dx 6 6 dx xx x 1 1 22 7 7 1 2xx ee dx 8 8 xdxx arccos 2 9 9 23 48 11 xx dxx 10 10 dx x x 32 1 arccos 三 设三 设 0 32 0 1ln 2 2 xexx xxx xf x 求 求 dxxf 四 设 四 设xbxaef x cossin ba 为不同时为零的 常数 求 为不同时为零的 常数 求 xf 五 五 0 x设当时 设当时 xf连续 求 连续 求 dx ex xfxxxf x2 1 9 一 1 D 2 D 3 B 4 D 5 D 6 B 7 D 8 B 9 D 10 C 一 1 D 2 D 3 B 4 D 5 D 6 B 7 D 8 B 9 D 10 C 二 1 二 1 C x 1 sin 2 2 C x 2 1 arctan 2 1 3 3 Cxx 3 2 2 5 1 ln 3 2 4 4 xarctan 2 1 C x x 2 12 1 5 5 Cx x x x arcsin 11 2